2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市 衡東縣石灣中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析

1、2021-2022學(xué)年湖南省衡陽市 衡東縣石灣中學(xué)高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1. 已知平面向量，且，則的值為（ ） A.3 B.-1 C.1 D.3參考答案：C2. 設(shè)向量=（2，1），=（0，2）則與+2垂直的向量可以是（）A（3，2）B（3，2）C（4，6）D（4，6）參考答案：A【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系【分析】求出+2=（2，3），由此利用向量垂直的性質(zhì)能求出與+2垂直的向量的可能結(jié)果【解答】解：向量=（2，1），=（0，2）+2=（2，3），（2，3）?（3，2）

2、=66=0，與+2垂直的向量可以是（3，2）故選：A3. 設(shè)(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則( )A. B. C. D. 參考答案：D4. 設(shè)直線x3y+m=0（m0）與雙曲線=1（a0，b0）的兩條漸近線分別交于點(diǎn)A，B，若點(diǎn)P（m，0）滿足|PA|=|PB|，則該雙曲線的離心率是( )ABCD+1參考答案：A【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【專題】計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】先求出A，B的坐標(biāo)，可得AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），利用點(diǎn)P（m，0）滿足|PA|=|PB|，可得=3，從而可求雙曲線的離心率【解答】解：由雙曲線的方程可知，漸近線為y=x，分別與x3y+m=0（m0）聯(lián)立，解得A（，），

3、B（，），AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，），點(diǎn)P（m，0）滿足|PA|=|PB|，=3，a=2b，c=b，e=故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題考查雙曲線的離心率，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題5. 參考答案：C6. 將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，則平移后得到圖象的解析式是（ ）A B C D參考答案：A，故選擇A。7. 若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值為（ ）A1 B5 C. D4參考答案：D由題設(shè)直線過圓心即故選8. 二項(xiàng)式的展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（）ABC5D15參考答案：B【考點(diǎn)】二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；演繹法；二項(xiàng)式

4、定理【分析】先利用展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大求出n=6，再求出其通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)為0，求出r，再代入通項(xiàng)公式即可求出常數(shù)項(xiàng)的值【解答】解：的展開式中只有第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以n=6其通項(xiàng)公式Tr+1=C6r?（）r?，令3=0，求得r=2，可得展開式中的常數(shù)項(xiàng)為C62?（）2=，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理中的常用結(jié)論：如果n為奇數(shù)，那么是正中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果n為偶數(shù)，那么是正中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大9. 過圓的圓心，作直線分別交x、y正半軸于點(diǎn)A、B，被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足則直線AB有（ ）（A） 0條 （B） 1條 （C） 2

5、條 （D） 3條參考答案：B解析：由已知，得：，第II，IV部分的面積是定值，所以，為定值，即為定值，當(dāng)直線AB繞著圓心C移動(dòng)時(shí)，只可能有一個(gè)位置符合題意，即直線AB只有一條，故選B。10. 某地區(qū)教育主管部門為了對(duì)該地區(qū)模擬考試成績(jī)進(jìn)行分析，隨機(jī)抽取了150分到450分之間的1 000名學(xué)生的成績(jī)，并根據(jù)這1 000名學(xué)生的成績(jī)畫出樣本的頻率分布直方圖(如圖)，則成績(jī)?cè)?50，400)內(nèi)的學(xué)生共有 人參考答案：750 二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸入N的值為2012，則輸出S的值是 。 參考答案：2011略12. 函數(shù)的圖象為C,如下結(jié)論

6、中正確的是 ， (寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)).圖象C關(guān)于直線對(duì)稱; 圖象C關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;函數(shù))內(nèi)是增函數(shù);由的圖象向右平移個(gè)單位長度可以得到圖象C.參考答案：略13. 容量為60的樣本的頻率分布直方圖共有n（n1）個(gè)小矩形，若其中一個(gè)小矩形的面積等于其余n1個(gè)小矩形面積和的，則這個(gè)小矩形對(duì)應(yīng)的頻數(shù)是_ 參考答案：略14. 已知圓C的圓心是直線與y軸的交點(diǎn)，且圓C與直線相切，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 參考答案：X2+(Y-1)2=8略15. 若實(shí)數(shù)滿足，則的范圍是參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)C3實(shí)數(shù)x，y滿足，（2x+）2+（y+）2= ,即2（2x+）2+2（y+）2=1，令（2x+）=cos

7、，（y+）=sin，x=cos-，y=sin-2x+y=cos+sin-1=sin（+）-1-2，0，故x+y的范圍是-2，0，【思路點(diǎn)撥】將圓，化為參數(shù)方程，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得x+y的范圍16. 設(shè)m是實(shí)數(shù)，若xR時(shí)，不等式|xm|x1|1恒成立，則m的取值范圍是參考答案：0，2【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法【專題】不等式的解法及應(yīng)用【分析】由絕對(duì)值三角不等式，可得|xm|x1|m1|，再根據(jù)|m1|1求得m的取值范圍【解答】解：|xm|x1|（xm）（x1）|=|m1|，故由不等式|xm|x1|1恒成立，可得|m1|1，1m11，求得0m2，故答案為：0，2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考

8、查絕對(duì)值三角不等式，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題17. 已知冪函數(shù)的圖像過定點(diǎn)且點(diǎn)在直線則的最小值為.參考答案：3三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. .定義函數(shù)，為型函數(shù)，共中（1）若是型函數(shù)，求函數(shù)的值域；（2）若是型函數(shù)，求函極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）若是型函數(shù)，在上有三點(diǎn)A、B、C橫坐標(biāo)分別為、，其中，試判斷直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小并說明理由參考答案：（1）；（2）1個(gè)；（3）見解析.【分析】（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)求出其單調(diào)性，結(jié)合端點(diǎn)值求出值域；（2）先求導(dǎo)令導(dǎo)數(shù)等于0，求極值點(diǎn)個(gè)數(shù)只需判斷導(dǎo)數(shù)

9、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，化簡(jiǎn)整理后得，將導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用圖像觀察求出交點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）先求導(dǎo)再進(jìn)行二階求導(dǎo)，利用二階導(dǎo)數(shù)研究一階導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性與范圍，再得出原函數(shù)的單調(diào)性，因?yàn)槎A導(dǎo)數(shù)小于0，所以函數(shù)是三凸的單調(diào)遞減函數(shù)，結(jié)合函數(shù)圖像很容易得出兩直線斜率的關(guān)系.【詳解】解：（1）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減又因?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖像易知與在上有且只有一個(gè)交點(diǎn)當(dāng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，且當(dāng)時(shí)，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增當(dāng) 時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減所以函數(shù)只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)（3）因?yàn)?，所以所以所以在上單調(diào)遞減，且，所以構(gòu)造函數(shù)則記,則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)

10、，單調(diào)遞減又因?yàn)椋?，所以所以在和上單調(diào)遞減因?yàn)樗运运灾本€AB的斜率大于直線BC的斜率【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、極值，遇到一階導(dǎo)數(shù)等于0不好解時(shí)，常繼續(xù)進(jìn)行二階求導(dǎo)，在解題的過程中多結(jié)合函數(shù)簡(jiǎn)圖可以更加形象直觀.19. （本小題滿分12分）已知橢圓（ab0）的離心率為，且過點(diǎn)（） （）求橢圓E的方程；（）設(shè)直線l:y=kx+t 與圓（1R2）相切于點(diǎn)A，且l與橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)B.求證：； 當(dāng)R為何值時(shí)，取得最大值？并求出最大值參考答案：() ；（）證明見解析；時(shí)，取得最大值為1（） 因?yàn)橹本€與圓C: 相切于A, 得, 即 . . . . . . . .5分

11、又因?yàn)榕c橢圓E只有一個(gè)公共點(diǎn)B， 由 得 ,且此方程有唯一解. 則 即 由,得 . . . . .8分 設(shè)，由 得 由韋達(dá)定理, 點(diǎn)在橢圓上, , . . . . . .10分在直角三角形OAB中, . . .12分考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓相切，直線與橢圓相切.20. 設(shè)橢圓、拋物線的焦點(diǎn)均在軸上，的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上至少取兩個(gè)點(diǎn)，將其坐標(biāo)記錄于下表中：x324y0 4- （1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）設(shè)直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)且，請(qǐng)問是否存在這樣的直線過拋物線的焦點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由參考答案：解：（1）設(shè)拋物線，則有，據(jù)此驗(yàn)證5個(gè)點(diǎn)知只有（3，）、

12、（4，-4）在統(tǒng)一拋物線上，易求 2分 設(shè)，把點(diǎn)（-2，0）（，）代入得 解得 方程為 5分 （2）假設(shè)存在這樣的直線過拋物線焦點(diǎn)（1，0） 設(shè)其方程為設(shè)， 由。得 7分 由消去，得 9分 將代入（*）式，得 解得 11分 假設(shè)成立，即存在直線過拋物線焦點(diǎn)F 的方程為： 12分21. 已知函數(shù)，aR（I）若a=-1，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若f（x）0在x1，+）上恒成立，求正數(shù)a的取值范圍；（）證明：參考答案：（I）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（II）；（III）詳見解析.【分析】（）求出導(dǎo)函數(shù)，解不等式和可得單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；（）采用參數(shù)討論的方法求出函數(shù)在區(qū)間上的最小值，通過

13、逐步排除可得正數(shù)的取值范圍；（）根據(jù)（）中的結(jié)論，當(dāng)時(shí)有，然后令，代入整理得，相加后可得所證不等式【詳解】（）當(dāng)時(shí)，所以，則當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減；所以單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（）因?yàn)椋瑒t，.當(dāng) ，時(shí)，有，故當(dāng)，則，在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，與在恒成立矛盾。 當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上成立， 所以在上是增函數(shù)，所以，即在上恒成立綜上所述，所求的取值范圍為（）由（）知當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即，當(dāng)時(shí)，則有，所以當(dāng)時(shí)，令，則有，即，將上述個(gè)不等式依次相加得：，整理得.【點(diǎn)睛】（1）解決不等式恒成立問題時(shí)，常用的方法是分離參數(shù)，即通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值的問題處理；若參數(shù)不易分離時(shí)，則可采用參數(shù)討論的方法，通過逐步排除參數(shù)的取值從而達(dá)到求解的目的（2）對(duì)于函