線性代數(shù)期末考試試卷+答案合集

1、大學(xué)線性代數(shù)期末考試題一、填空題（將正確答案填在題中橫線上。每小題 2 分，共 10 分）1311.若01x 0，則 。 2 x x 0123若齊次線性方程組x x 0只有零解，則 應(yīng)滿足。123 123x x x 0123已知矩陣A，B，C (c )滿足AC CB則A與B分別是階ijsn矩陣。aa11Aaaa3112 的行向量組線性。a22aa32n 階方陣A滿足A23AE0，則A1 。二、判斷正誤（210）若行列式D中每個(gè)元素都大于零，則D0（）零向量一定可以表示成任意一組向量的線性組合（）向量組 a1 ，a2a a1對(duì)應(yīng)的分量成比例， 則向量組a ，a1 ，a2線性相關(guān)（）014. A

2、000100000，則A1 A（）0010105.若為可逆矩陣A的特征值，則A1 的特征值為。()三、單項(xiàng)選擇題 (每小題僅有一個(gè)正確答案，將正確答案題號(hào)填入括號(hào)內(nèi)。每小題 2 分，共 10 分)設(shè)A為n階矩陣，且2，則AT（。 2n 2n1 2n14n維向量組 1 ，2（3 s n）線性無(wú)關(guān)的充要條件是（。 1 1 1 1 ，2 ，2 ，2 ，2中任意兩個(gè)向量都線性無(wú)關(guān)中存在一個(gè)向量不能用其余向量線性表示中任一個(gè)向量都不能用其余向量線性表示中不含零向量下列命題中正確的是()。 任意n個(gè)n1維向量線性相關(guān) 任意n個(gè)n1維向量線性無(wú)關(guān) 任意n1個(gè)n維向量線性相關(guān) 任意n1個(gè)n維向量線性無(wú)關(guān)設(shè)A，

3、B均為n 階方陣，下面結(jié)論正確的是()。 若A，B均可逆，則AB可則 A B可逆A B 可逆，則 A B B 均可逆AB均可逆，AB可逆，則 A，5. 若， ， ，是線性方程組 A 0的基礎(chǔ)解系，則 是12341234A 0的（）解向量基礎(chǔ)解系通解A的行向四、計(jì)算題 (每小題9分，共63分)x ax abcdax bcdabx cdabcx d解3012.設(shè)AB A2B，且A 110,求B 。01解 . ( A 2E)B A(A2E)1 21 22 522B(A2E)1 A 43111 223 1100 21340110 0213B ,C 且矩陣 滿足關(guān)系式 X (C B) E,0011002

4、1求 。0001 00021 1 a 2121問(wèn)a, a ,。1221321 a x x222 321 為何值時(shí)線性方程組x x3 2有唯一解無(wú)解和有無(wú)窮多解？當(dāng)213 123x xx 2123方程組有無(wú)窮多解時(shí)求其通解。 當(dāng) 1且 2 時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng) 2 時(shí)方程組無(wú)解2當(dāng) 1 0 c1 c0 120 1 2 1 3 0 1 設(shè)1 4, 9 , 0 , 10 求此向量組的秩和一個(gè)極大無(wú)關(guān)031031組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線性表示。100設(shè)A 010，求A021(7若A是n階方陣，且AA 證明 AI0。其中I 為單位矩陣。大學(xué)線性代數(shù)期末考試題答案一、填空題1. 5A 3E二、判

5、斷正誤2. 13. ssn n4.1. 2. 3. 4.5.三、單項(xiàng)選擇題1. 2.3. 4.5.1.2.(A2E)B A(A2E)1 21 522 22(A2E)1 A 432111 223 3.4.1212aa1212a2111a，a，a a(2a(2a2)當(dāng)a 或a1時(shí)，向量組a，a，a12328 1 1222123線性相關(guān)。5. 當(dāng) 1且 2 時(shí)，方程組有唯一解；當(dāng) 2 時(shí)方程組無(wú)解2當(dāng) 1時(shí)，有無(wú)窮多組解，通解為 0 c1 c0 120 0 1 6.則 aa3，其中aa 2a 2a a123412341237.特征值 1，對(duì)于1100010E A 000，特征向量為k0l01231

6、02001五、證明題2 A 0， A 0一、選擇題（本題共4416一項(xiàng)符合題目要求）1、設(shè)A，B為n階方陣，滿足等式AB 0，則必有（）(A)A 0或B 0; (B)AB 0； （C）0或B0; (D)AB0。2、A和B均為n階矩陣，且(AB)2 A2 2ABB2 ，則必有（）A E ；(B)B E；（C） A B.(D)AB BA 。3、設(shè)A為mn矩陣，齊次方程組Ax 0僅有零解的充要條件是（(A)A的列向量線性無(wú)關(guān)；(B) A的列向量線性相關(guān)；A的行向量線性無(wú)關(guān)；(D) A的行向量線性相關(guān)4、 n階矩陣A為奇異矩陣的充要條件是（）A的秩小于n；(B) 0 ；(C) A的特征值都等于零；(D

7、) A的特征值都不等于零二、填空題（本題共4小題，每題4分，滿分16分）5、若4階矩陣A的行列式，A是A的伴隨矩陣，則A=。6、A為nn階矩陣，且A2A2E 0，則(A2E)1 。12117、已知方程組23a 21a 2 1 3無(wú)解，則 。38f (x x x 2x2 3x2 tx2 2x x2x xt 123121 21 3是。1 x1 x11111 x11111 y11111 y9、計(jì)算行列式 D 10、計(jì)算n 階行列式四、證明題（本題共 2 小題，每小題 8 分，滿分 16 分。寫出證明過(guò)程）11、若向量組 , ,123線性相關(guān)，向量組2, ,3線性無(wú)關(guān)。證明：(1) 1能有 ,2線性表

8、出；(2) 4不能由 , ,12線性表出。12A是nE是nAEfA(EA)(EA)1。證明（1） (E f ( A)(E 2E；（2） f ( f ( A) A。五、解答題（31232驟）20013、設(shè)A032，求一個(gè)正交矩陣P使得P1AP為對(duì)角矩陣。023x xx014、已知方程組 x 2 0與方程組123xax2xx a 1有公共解。12123x 4x a2x 0求a 的值。12315設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣的秩為已知1且是它的三個(gè)解向量，2321 3，14232355求該方程組的通解。解答和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題1、C； 2、D； 3、A； 4、A。二、填空題5、-125;6、2；7

9、、-1；8、t 3 5三、計(jì)算題9、解：第一行減第二行，第三行減第四行得：x0001x0001x1000y0101y（4 分）按第一行展開(kāi)得按第三列展開(kāi)得x0D xy x2 y2 。（4分）1y10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子換化為上三角形行列式xii13，再通過(guò)行列式的變1xLx2nD x 313x（4）2nnii1 MM1x2Mx 3n 3n1 x 3（4）ii1四、證明題11、證明：(1)(1)、因?yàn)?, 線性無(wú)關(guān)，所以23323又 1線性相關(guān)，故3能由 2 線性表出。(4分)3r 12 ) 3，3（2（反正法）若不，則4 ,2線性表出，不妨設(shè)4 k 1k 2k 。33

10、由（1）知，能由 線性表出，123不妨設(shè)1 t1t 。23所以4 k (t11t2) k2 k ，33這表明 2 ,3線性相關(guān)，矛盾。12、證明（1）(E f (A)(E A) E (E A)(E A)1 (E A)(EA(EA)(EA)1(EA(EA(EA2E（4）（2）f ( f (A) E f (A)E f (A)1由（1）得：E f (A)1 1 (E A) ，代入上式得2 1(E1(E A22五、解答題13、解：（4 分）（1）EA 0A 的特征值為1 1，2 2 ，3 5 （4 分） 0 （2） 1的特征向量為1，11111 2的特征向量為0，220 5 的特征向量為 0 1。（3

11、分）331 （3）因?yàn)樘卣髦挡幌嗟?，則 , ,123正交。（2分） 0 10（4）將 , ,單位化得p 1 1，p 0，p 1 1（2 分）22123221 1 2031001001（5）P p , p , p1236）P1 AP 020（1）00514、解：該非齊次線性方程組 Ax b 對(duì)應(yīng)的齊次方程組為因R( 3，則齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系有1個(gè)非零解構(gòu)成，即任何一個(gè)非零解都它的基礎(chǔ)解系。（5分）另一方面，記向量 21 (2 ) ，則3直接計(jì)算得 (3,4,5,6)T 0 ， 就是它的一個(gè)基礎(chǔ)解系。根據(jù)非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)知，原方程組的通解為x

12、k 32 k43，k R。（7分）1546615、解：將與聯(lián)立得非齊次線性方程組:若此非齊次線性方程組有解, 則與有公共解, 且的解即為所求全部公共解. 對(duì)的增廣矩陣 A 作初等行變換得:1A 11112a4a0001101a 10.（4）0(a 2)(a0121a1001aa11當(dāng)a 1 rA) rA) 2 3 即為的通解，此時(shí)011001100000A 000000 ，000 1則方程組為齊次線性方程組，其基礎(chǔ)解系為: 0 ,111所以與的全部公共解為k 0 ，k為任意常數(shù).（4分）112 當(dāng)a 2 時(shí)，有 r( A) r( A) 3 ，方程組有唯一解, 此時(shí)10A 010 1 ，0011

13、0000 0 0 0故方程組的解為: 1 ,即與有唯一公共解x 1 .（4分）11線性代數(shù)習(xí)題和答案第一部分選擇題 (共28 分)一、 單項(xiàng)選擇題（14228分）或未選均無(wú)分。a11a21a12 =m，a13 aa2223a11 =n，則行列式a11 aa2121aa1213aa2223等于（）A. m+nC. n- mB. - (m+n)D. m- n1002設(shè)矩陣A= ，則A- 10200010303A. 0 12 0 0 B.B.0 010210 31 1 0 00 020 1 C. 0 1 1D. 01 0 12 3 1 2 3 0 0 設(shè)矩陣A= 10 A*是A的伴隨矩陣則A中位（1

14、2的元素（）2 1466C.2D.2設(shè)A是方陣，如有矩陣關(guān)系式AB=AC，則必有（）A=0B. BCA=0C. A0時(shí)B=CD. |A|0時(shí)B=C已知34矩陣A的行向量組線性無(wú)關(guān)，則秩（AT）等于（）1C. 3B.2D.4設(shè)兩個(gè)向量組1，2和1，2均線性相關(guān)，則（）0，使+=0+121122s112+=02ss0，（1211222s+）=0ss0，使（）+（- ）+1211222s（ -s）=0s0，0，+12s12s11+=0+=022ss1122ss設(shè)矩陣A的秩為r，則A中（）所有r-1階子式都不為0B.所有r-1階子式全為0C.至少有一個(gè) r 階子式不等于 0Ax=b是一非齊次線性方程組

15、，12D.所有 r 階子式都不為 0是其任意 2 個(gè)解，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.Ax=0的一個(gè)解B.1 +1Ax=b的一個(gè)解122122C.-1Ax=0的一個(gè)解-1Ax=b的一個(gè)解設(shè)n階方陣A不可逆，則必有（）秩(A)n=0秩(A)=n-1D.Ax=0只有零解設(shè)A是一個(gè)n(3)階方陣，下列陳述中正確的是（）如存在數(shù)和向量A=，則A的屬于特征值B.如存在數(shù)和非零向量，使(EA)=0，則A的特征值的 2 個(gè)不同的特征值可以有同一個(gè)特征向量D.如，A3A的屬于123123，有可能線性相關(guān)123123設(shè)0A3A的屬于0的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)為k，則必有（）k3C. k=3B. k3設(shè)A是正交矩陣

16、，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）|A|2必為1=AT|A|1的行（列）向量組是正交單位向量組設(shè)A是實(shí)對(duì)稱矩陣，C是實(shí)可逆矩陣，B=CTAC.則（與B相似AB不等價(jià)AB有相同的特征值A(chǔ)B合同下列矩陣中是正定矩陣的為（）A. 2 A. 3 4 3 4B. 2 B.1 00C. 0 2 1 1 D. 1 2 0 3 51 0 第二部分非選擇題（共72分）二、填空題（10220分）不寫解答過(guò)程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯(cuò)填或不填均無(wú)分。1 1115.3 56 .9 25 3616.設(shè)A=1 1 1 ，B= 12. 則A+2B=.1 1 1 2 417.設(shè) A=(a ) ，|A|=2，A 表示|A|中元

17、素 a的代數(shù)余子式（i,j=1,2,3）,則ij 33ijij(a A A +a )2+(aA +a +a )2+(aA +a +aA)2=.11 2112 2213 21 2122 23 2331 2132 33 2318.設(shè)向量（2，-3，5）與向量（-4，6，a）線性相關(guān)，則a=.A343，若，12Ax=b2同的解，則它的通解為.設(shè)A是mn矩陣，A的秩為r(n)，則齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解中含有解的個(gè)數(shù)為.設(shè)向量、23，則向量+與的內(nèi)積（+，-）=.設(shè)3階矩陣A的行列式|A|=8，已知A有2個(gè)特征值-1和4，則另一特征值為. 0 10 6 2A 1 3 ，已知1 是它的一個(gè)特征

18、向量，則所對(duì)應(yīng)的特征2 10 8 值為.2設(shè)實(shí)二次型f(x,x,x,x,x)的秩為4正慣性指數(shù)為則其規(guī)范形為.12345三、計(jì)算題（7642分） 1 2 2 3 A3 4 ，B= .求（1）ABT（2）|4A|.2 4 01 2 315 11 23 4 .201 11 5 3 3 4 2 3A= 1 1 0BAB=A+2B.1 2 2 1 3 0 13 0128.給定向量組 ，= ，= ，= .1 02 23 24 4 3 4 9試判斷4是否為1，2的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。 . 1 2 .A=2 42 21 06 2 3 333 3 4 1）秩（A；（2）A的列向量組的一個(gè)最大線性無(wú)

19、關(guān)組。 0 2 2 A= 2 3 48TD，24 使T- 1AT=D.試用配方法化下列二次型為標(biāo)準(zhǔn)形f(x,x)=x2 2x 3x4x 4x 4x x ，1231231 21 32 3并寫出所用的滿秩線性變換。四、證明題（2510分）設(shè)方陣A滿足A3=0，試證明E-A可逆，且（E-A- 1EA+A2.設(shè)0Ax=b12Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.試證明=+101=+20Ax=b的解；答案：，01線性無(wú)關(guān)。一、單項(xiàng)選擇題（本大題共 14 小題，每小題 2 分，共 28 分）二、填空題（本大題共 10 空，每空 2 分，共 20 分）15.616. 33717.418. 1019. +c(- )（或11

20、2137+c(2-)，c為任意常數(shù)2120.n-r21.522.223.124. z2zzz21234三、計(jì)算題（7642分） 120 22 86=.25.解1）ABT= 3=.40 341812102）|4A|=43|A|=64|A|，3|A|=120340 2.所以|4A|=64（-2）=-1285111111=20 5111111=20 550550312511201120110010153355303411131=1562解 AB=A+2B即（A- 2E）B=A，而 221 141655 30 10 40.A-2E）- 1=11 15 3 123 14 42 38所以B=(A-2E)- 1A=15 = 2196.164 1221292130 2130 053 1301 1305 03解一 0112 0112 02240112 088 001 341901311201414000002101,所以0100=241+，組合系數(shù)為（2，1，1）.23解二 考慮=x+x+x，41122332x1 x2 3x3 0 1即 x3x 12x2x423x1 4x2 x3 .方程組有唯一解（2，11）T，組合系數(shù)為（，1，）.解 A施行初等行變換12102121021