幾何證明題的技巧

1、幾何證明題的技巧1）證明線段相等，角相等的題，通常找到線段所在圖形，證明全等2）隱藏條件：比如特殊圖形的性質(zhì)自己要清楚，有些時(shí)候幾何題做不出來就是因?yàn)闆]有利用好隱藏條件3）輔助線起到關(guān)鍵作用4）幾何證明步驟：依據(jù)結(jié)論定理切記勿忽略細(xì)微條件5）遇到面積問題，輔助線通常做高，遇到圓，多為做半徑，切線6）個(gè)別題型做輔助線：1通過連結(jié)，延長，作垂直，作平行線等添加輔助線的方法，構(gòu)造全等三角形。2遇到有中點(diǎn)條件時(shí)，常常延長中線（即倍長中線），或以中點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，使分散的條件匯集起來。3遇到求邊之間的和，差，倍數(shù)關(guān)系時(shí)，通常采用截長補(bǔ)短的方法，求角度之間的關(guān)系時(shí)，也一樣。要掌握初中數(shù)學(xué)幾何證明題技巧，熟練

2、運(yùn)用和記憶如下原理是關(guān)鍵。下面歸類一下，多做練習(xí)，熟能生巧，遇到幾何證明題能想到采用哪一類型原理來解決問題。一、證明兩線段相等.兩全等三角形中對應(yīng)邊相等。.同一三角形中等角對等邊。.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。.平行四邊形的對邊或?qū)蔷€被交點(diǎn)分成的兩段相等。.直角三角形斜邊的中點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離相等。.線段垂直平分線上任意一點(diǎn)到線段兩段距離相等。.角平分線上任一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。.過三角形一邊的中點(diǎn)且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。*9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。*10.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線的切線長相等或圓內(nèi)垂直于直

3、徑的弦被直徑分成的兩段相等。11.兩前項(xiàng)（或兩后項(xiàng)）相等的比例式中的兩后項(xiàng)（或兩前項(xiàng)）相等。*12.兩圓的內(nèi)（外）公切線的長相等。13.等于同一線段的兩條線段相等。二、證明兩個(gè)角相等.兩全等三角形的對應(yīng)角相等。.同一三角形中等邊對等角。.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。.兩條平行線的同位角、內(nèi)錯(cuò)角或平行四邊形的對角相等。.同角（或等角）的余角（或補(bǔ)角）相等。*6.同圓（或圓）中，等弦（或?。┧鶎Φ膱A心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。*7.圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。8.相似三角形的對應(yīng)角相等。*9.圓的內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對角

4、。10.等于同一角的兩個(gè)角相等。三、證明兩條直線互相垂直.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。.在一個(gè)三角形中，若有兩個(gè)角互余，則第三個(gè)角是直角。.鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直。.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。.利用到一線段兩端的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。.利用勾股定理的逆定理。.利用菱形的對角線互相垂直。0.在圓中平分弦（或?。┑闹睆酱怪庇谙?。1.利用半圓上的圓周角是直角。四、證明兩直線平行.垂直于同一直線的各直線平行。.同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ)的兩直線平行

5、。.平行四邊形的對邊平行。.三角形的中位線平行于第三邊。.梯形的中位線平行于兩底。.平行于同一直線的兩直線平行。.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應(yīng)成比例，則這條直線平行于第三邊。五、證明線段的和差倍分.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。.取長線段的中點(diǎn)，再證其一半等于短線段。.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質(zhì)等）。六、證明角的和差倍分.與證明線段的和、差、倍、分思路相同。.利用角平分線的

6、定義。.三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。七、證明線段不等.同一三角形中，大角對大邊。.垂線段最短。.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。*5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。6.全量大于它的任何一部分。八、證明兩角的不等.同一三角形中，大邊對大角。.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內(nèi)角。.在兩個(gè)三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。*4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。5.全量大于它的任何一部分。九、證明比例式或等積式.利用相似三角形對應(yīng)線段成比例。.利用內(nèi)外角平分線定理。.

7、平行線截線段成比例。.直角三角形中的比例中項(xiàng)定理即射影定理。*5.與圓有關(guān)的比例定理-相交弦定理、切割線定理及其推論。6.利用比利式或等積式化得。十、證明四點(diǎn)共圓*1.對角互補(bǔ)的四邊形的頂點(diǎn)共圓。*2.外角等于內(nèi)對角的四邊形內(nèi)接于圓。3.同底邊等頂角的三角形的頂點(diǎn)共圓（頂角在底邊的同側(cè)）。4.同斜邊的直角三角形的頂點(diǎn)共圓。5.到頂點(diǎn)距離相等的各點(diǎn)共圓基本圖形的輔助線的畫法.三角形問題添加輔助線方法方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了問題。方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分

8、線的性質(zhì)和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問題。方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于平分線段的一些定理。方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采用截長法或補(bǔ)短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。.平行四邊形中常用輔助線的添法平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法

9、有下列幾種，舉例簡解如下：（1）連對角線或平移對角線：（2）過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形（3）連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造線段平行或中位線（4）連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等積三角形。（5）過頂點(diǎn)作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.梯形中常用輔助線的添法梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：（1）在梯形內(nèi)部平移一腰。（2）梯形外平移一腰（3）梯形內(nèi)平移兩腰（4）延長兩腰（5）過梯

10、形上底的兩端點(diǎn)向下底作高（6）平移對角線（7）連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。（8）過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。（9）作中位線當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決，這是解決問題的關(guān)鍵。常見的輔助線做法1、遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對折”。2、遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”。3、遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換

11、中的“對折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線的性質(zhì)定理或逆定理。4、過圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”。5、截長法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說明。這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目。6、特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類的問題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線段連接起來，利用三角形面積的知識(shí)解答。所謂“倍長中線”，就是加倍延長中線，使所延長部分與中線相等，然后往往需要連接相應(yīng)的頂點(diǎn)，則對應(yīng)角對應(yīng)邊都對應(yīng)相等。常用于構(gòu)造全等三角形。中線倍長法多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系（一般都是原題已經(jīng)有中線時(shí)用，不太會(huì)有自己畫中線的時(shí)候）。說簡單一點(diǎn)，倍長中線就是指：延長中線，使所延長部分與中線相等，然