經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第六章不定積分

1、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)第六章不定積分第1頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三6.1 不定積分的概念和性質(zhì)1、原函數(shù)原函數(shù)舉例所以sin x是cos x的原函數(shù). 因?yàn)?sin x)cos x , 提問：定義設(shè)f(x)是定義在某一個(gè)區(qū)間上的函數(shù)，如果存在一個(gè)函數(shù)F (x)，使得對已知區(qū)間上任意一點(diǎn)x都有 F (x)f(x)或d F (x)f(x) dx則稱函數(shù)F (x)是函數(shù)f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。cos x還有其它原函數(shù)嗎？ 因?yàn)?sin x+C)cos x , 所以sin x+C都是cos x的原函數(shù). 第2頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三原函數(shù)存在

2、定理 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù), 那么在區(qū)間I上存在 可導(dǎo)函數(shù)F(x), 使對任一xI 都有 F (x)f(x). 簡單地說就是: 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù). 原函數(shù)族定理 如果函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù), 那么（1）對任意常數(shù)C， F(x)C都是f(x)的原函數(shù)；（2） 函數(shù) f(x)的任意兩個(gè)原函數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù), 即：如果(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù), 則 (x)F(x)C (C為某個(gè)常數(shù)). 第3頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三不定積分中各部分的名稱： - 稱為積分號(hào), f(x) - 稱為被積函數(shù), f(x)dx - 稱為被積

3、表達(dá)式, x - 稱為積分變量. 2.不定積分 若函數(shù)f(x)在某區(qū)間上存在原函數(shù)，則f(x)的所有原函數(shù)的全體稱為f(x)在該區(qū)間上的不定積分, 記作 定義 根據(jù)定義, 如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù), 那么F(x)C就是f(x)的不定積分, 即第4頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三 例1 因?yàn)閟in x 是cos x 的原函數(shù), 所以 如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù), 則第5頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三 例2 合并上面兩式, 得到 解 如果F(x)是f(x)的一個(gè)原函數(shù), 則第6頁，共87頁，2022年，5月20日，1

4、1點(diǎn)31分，星期三微分與積分的關(guān)系 從不定積分的定義可知又由于F(x)是F (x)的原函數(shù), 所以 由此可見, 如果不計(jì)任意常數(shù), 則微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的. 第7頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三 不定積分表示的是一族函數(shù),從幾何上看,代表一族曲線,稱為積分曲線族.3.不定積分的幾何意義曲線:為任意常數(shù) )在 ( x0 , y0 )的切線的斜率為 f ( x0 )yox第8頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例4. 設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任意點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解即，由題意知又曲線通過點(diǎn)（1，2

5、），此曲線的方程為設(shè)所求曲線方程為：xyo112第9頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三4.不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3第10頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三一、基本積分表6.2 積分基本公式第11頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例1.求解例2. 求解二、直接積分法第12頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例3. 求解例4.求解 例5 第13頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三 例6 例7 第14頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例8 第15頁，共8

6、7頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三二、第二類換元法一、第一類換元法6.3 換元積分法第16頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例1例2第17頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三基本思路 設(shè)可導(dǎo),則有第二類換元法第一類換元法第18頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三一、第一類換元法則有換元公式(也稱配元法即, 湊微分法)定理1第19頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例3 例4第20頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例5第21頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)

7、31分，星期三常用湊微分公式第22頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三第23頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例6. 求解:想到公式第24頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例7. 求解:第25頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例8. 求解: 原式 =第26頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三補(bǔ)充公式(1).(2). (3 ).(4 ).第27頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例9例10第28頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三常用的幾

8、種配元形式: 萬能湊冪法第29頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三第30頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例11. 求解:類似第31頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例12. 求解法1 第32頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三解法 2 同樣可證或第33頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例13. 求解: 原式 =第34頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例14 . 求解:第35頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例14 . 求被積函數(shù)中

9、含有弦函數(shù)的偶次冪,利用半角公式降次.第36頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例15解被積函數(shù)中含有弦函數(shù)的奇次冪,拿出一次湊微分.第37頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例16解第38頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例17. 求第39頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例17. 求解:原式 =第40頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例18 求解法1解法2 兩法結(jié)果一樣第41頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例19. 求解: 原式=分析: 第42頁，共

10、87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三思考與練習(xí)1. 下列各題求積方法有何不同?第43頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三2. 求提示:法1法2法3第44頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三3. 求法1法2第45頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三二、第二類換元法第一類換元法解決的問題難求易求若所求積分易求則得第二類換元積分法 .難求第46頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三設(shè)是單調(diào)可導(dǎo)函數(shù) , 且具有原函數(shù)則的一個(gè)原函數(shù)。即有換元積分公式定理2證明的原函數(shù)第47頁，共87頁，2022年，5月

11、20日，11點(diǎn)31分，星期三第二換元法的步驟對于被積函數(shù)含有根式的不定積分,常用第二換元法,引入適當(dāng)?shù)拇鷵Q,以去掉根號(hào).說明第48頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三1.根式代換例1 求解 令第49頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三第50頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例2 求解 令第51頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三2.三角代換第52頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例3. 求解: 令則 原式第53頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例4. 求解:

12、 令則 原式第54頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例5. 求解:令則 原式第55頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三令于是第56頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例6. 求解: 令則 原式第57頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例6. 求又解: 原式 =第58頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三2.倒代換 分母中因子次數(shù)較高時(shí), 可試用倒代換 例7. 求解一: 用三角代換。令 （略）解二: 用倒代換。令則第59頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三原式當(dāng) x

13、 0 時(shí), 類似可得同樣結(jié)果 .第60頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例8 求解法1令令解法2第61頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三解法3 令解法4第62頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三小結(jié):1. 第二類換元法常見類型: 令令令令令第63頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三2. 常用基本積分公式的補(bǔ)充 (7) 分母中因子次數(shù)較高時(shí), 可試用倒代換 令第64頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三第65頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例9. 求解:例10

14、. 求解: 原式第66頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三思考與練習(xí)1. 下列積分應(yīng)如何換元才使積分簡便 ?令令令第67頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三2. 已知求解: 兩邊求導(dǎo), 得則(代回原變量) 第68頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三分部積分公式 設(shè)函數(shù)uu(x)及vv(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù). 那么, (uv)uvuv, 移項(xiàng)得 uv(uv)uv. 對這個(gè)等式兩邊求不定積分, 得 分部積分過程 這兩個(gè)公式稱為分部積分公式. 6.4 分部積分法第69頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三第70頁，共8

15、7頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三 例1 x sin xcos xC . 例2 ex(x22x2 )C. 分部積分過程： 解于是 例3 令xt2, 則dx2tdt. 第71頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與三角函數(shù)之積時(shí),如:要用分部積分公式.并選冪函數(shù)為即說明對某些不定積分來說,有時(shí)需用連續(xù)用若干次分部積分公式.當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之積時(shí),如:要用分部積分公式.并選冪函數(shù)為即第72頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三 例4 例5 分部積分過程： 第73頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，

16、星期三 例6 分部積分過程： 第74頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)之積時(shí),如:要用分部積分公式.并選對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)為說明當(dāng)被積函數(shù)單純?yōu)閷?shù)函數(shù),反三角函數(shù)時(shí),也用分部積分公式在用分部積分法求不定積分時(shí),常出現(xiàn)如下情形:第75頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三 解 例7 分部積分過程： 第76頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三當(dāng)被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)之積時(shí),如:要用分部積分公式.說明連續(xù)兩次積分，后解方程得出第77頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星

17、期三分部積分過程： 解 因?yàn)?例8 第78頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三 解 當(dāng)n1時(shí), 用分部積分法, 有 例9 即第79頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例10第80頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三例11第81頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三注： 在后者中u(x)不是以v(x)為中間變量的復(fù)合函數(shù) 故用分部積分法 在前者中f(x)是以(x)為中間變量的復(fù)合函數(shù) 故用換元積分法 第一步都是湊微分第一換積分元法與分部積分法的比較 第82頁，共87頁，2022年，5月20日，11點(diǎn)31分，星期三 第一步都是湊微分第一換積分元法與分部積分法的比較 提問： 下列積分已經(jīng)過湊微分 下一步該用什么方法