經(jīng)濟應用數(shù)學基礎微積分第九章

1、經(jīng)濟應用數(shù)學基礎微積分第九章課件第1頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二9.1 微分方程的一般概念第2頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二解1、問題的提出第3頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二解第4頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二代數(shù)方程特點：未知變量是數(shù)方程：含有未知量(數(shù))的等式。第5頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二函數(shù)方程（泛函方程）特點：未知變量是函數(shù)第6頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二1. 微分方程的定義定義：包含自變量，未知函數(shù)以及未知函

2、數(shù)的某些階導數(shù)的關系式，稱之為微分方程 。 第7頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二常微分方程：自變量的個數(shù)只有一個的微分方程稱為常微分方程。 偏微分方程：自變量的個數(shù)有兩個或兩個以上的微分方程稱為偏微分方程。第8頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二未知函數(shù)的導數(shù)的最高階數(shù)n稱為該方程的階。 當n=1時，稱為一階微分方程； 當n1時，稱為高階微分方程。2. 微分方程的階第9頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二3. 微分方程的解常微分方程的解的表達式中，若其所包含的獨立的任意常數(shù)的個數(shù)恰好與該方程的階數(shù)相同，我們稱這樣的解為該微分

3、方程的通解。在通解中給予任意常數(shù)以確定的值而得到的解，稱為特解。第10頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二為了得到合乎要求的特解，需要對微分方程附加一定的條件，它由系統(tǒng)在某一時刻的初始狀態(tài)給定。稱這種條件為初始條件。初始條件第11頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二常微分方程；微分方程的階；微分方程的解；通解;初始條件；特解；小結(jié)偏微分方程；第12頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二9.2 一階微分方程一階微分方程的一般形式是一階微分方程的初始條件：記作或當時，第13頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二解法

4、為微分方程的解.分離變量法一、可分離變量的一階微分方程形如的方程，稱為變量分離方程.第14頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二說明：以后可以不需要詳細寫出處理絕對值符號的過程。第15頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二例2 求解微分方程解分離變量兩端積分第16頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二例3 練習：課本P410,2(1,2,3)第17頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二二、齊次微分方程的微分方程稱為齊次方程.2.解法可分離變量的方程1.定義第18頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星

5、期二第19頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二例 2 求解微分方程微分方程的解為解第20頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二例 3 求解微分方程解第21頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二微分方程的解為練習：課本p410, 3(3,4)第22頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二第23頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二一階線性微分方程的標準形式:上方程稱為齊次的.上方程稱為非齊次的.例如線性的;非線性的.三、一階線性微分方程第24頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期

6、二齊次方程的通解為1. 線性齊次方程一階線性微分方程的解法(使用分離變量法)第25頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二2. 線性非齊次方程第26頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二第27頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二解例3練習：課本P410 3(1，2)第28頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二小結(jié)：一階微分方程的求解一、變量分離方程；二、齊次方程（作變換y=ux）；三、線性方程（常數(shù)變異法）第29頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二9.3 幾種二階微分方程二階微分方程的一般形式

7、為第30頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二形 如 的微分方程是最簡單的二階微分方程。一、最簡單的二階微分方程特點：右端是 的一元函數(shù)。解法：連續(xù)求 兩 次積分。例 解微分方程第31頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二特點：右端不顯含解法第32頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二滿足初始條件的特解。方程并分離變量后，有兩端積分，得例1 求微分方程第33頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二即所以兩端積分，得于是所求的特解為第34頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二特點：右端不顯含解法第3

8、5頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二解代入原方程得 原方程通解為例 2第36頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二第37頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二第38頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二二階常系數(shù)齊次線性方程的一般形式二階常系數(shù)非齊次線性方程的一般形式9.4 二階常系數(shù)線性微分方程（補充內(nèi)容）第39頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二二、線性微分方程的解的結(jié)構(gòu)1.二階常系數(shù)線性齊次方程解的結(jié)構(gòu):問題:其中 、 為常數(shù)第40頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，

9、星期二證明：由前面定理知 是（1）的解 在 不等于常數(shù)的條件下，可以證明 中含有兩個任意常數(shù)，所以 是（1）的解。若 ，則 ，于是其中 ，因而 中只有一個常數(shù)，所以不是（1）的通解。滿足 不等于常數(shù)這一條件的兩個解稱為線性無關的。 第41頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二因此， 是（1）的解的充分必要條件是：常數(shù) 為分析:若能夠找到一個函數(shù) ,使得 ,且 , 則什么樣的函數(shù)具有這樣的特點呢?我們很自然想到指數(shù)函數(shù) 為常數(shù),將它代入上式得則有 , 稱為（1）的特征方程。特征方程的根。第42頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二-特征方程法將其代入上方程

10、, 得故有特征方程特征根第43頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二有兩個不相等的實根兩個線性無關的特解得齊次方程的通解為特征根為第44頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二有兩個相等的實根一特解為得齊次方程的通解為特征根為第45頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二有一對共軛復根重新組合得齊次方程的通解為特征根為第46頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法.解特征方程為解得故所求通解為例1第47頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，

11、星期二解特征方程為解得故所求通解為例2第48頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應的特征方程;（2）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應的通解. (見下表)第49頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二第50頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二2.二階非齊次線性方程的解的結(jié)構(gòu):第51頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二設對應齊次方程通解為(3)設非齊次方程通解為設(4)三、常數(shù)（或參數(shù)）變易法第52頁，共59頁，2022年，5月20日，18點2

12、2分，星期二(5)(4),(5)聯(lián)立方程組第53頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二積分可得非齊次方程通解為第54頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二例 求非齊次方程 的通解。第55頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二9.5差分方程的一般概念定義9.3 設函數(shù) ，記為 。當 取非負整數(shù)時函數(shù)值可以排成一個數(shù)列：則差 稱為函數(shù) 的差分，也稱為一階差分，記為即 。記為 ，即稱為函數(shù) 的二階差分。第56頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二同樣可定義三階差分，四階差分，二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分。由定義可知差分具有以下性質(zhì)：（1） （C為常數(shù)）（2）例1 求第57頁，共59頁，2022年，5月20日，18點22分，星期二（二）差分方程的一般概念定義.含有未知函數(shù)差分或表示未知函數(shù)幾個時期值的符號的方程稱為差分方程。形如的方程都是差分