初中三角函數(shù)公式及其定理

1、初中三角函數(shù)公式及其定理第十一次授課sinA=cos（90。一A）cosA=sin（90。一A）1、勾股定理：直角三角形兩直角邊asinA=cos（90。一A）cosA=sin（90。一A）2、如下圖，在RtAABC中，ZC為直角，貝UZA的銳角三角函數(shù)為（ZA可換成ZB）：定義表達式取值圍關(guān)系正弦人ZA的對邊sinA=人、斜邊sinAc0sinA1（ZA為銳角）sinAcosBcosAsinBsin2A+cos2A1余弦人ZA的鄰邊cosA=人、斜邊cosA-bc0cosA0（ZA為銳角）tanAcotBcotAtanBtanA（倒數(shù)）cotAtanA-cotA1tana人、ZA的鄰邊余切*

2、人ZA的鄰邊cotA“、丄ZA的對邊人bcotAacotA0（ZA為銳角）3、任意銳角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意銳角的余弦值等于它的余角的正弦值。sinA=cosBcosA=sinB由ZA+ZB二90。、sinA=cosBcosA=sinB4、任意銳角的正切值等于它的余角的余切值；任意銳角的余切值等于它的余角的正切值。tanA=cottanA=cotBcotA=tanB由ZA+ZB=90。得ZB=90。-ZAtanA=cot（90。一A）cotA=tan（90。A）5、0、30、45、60、90特殊角的三角函數(shù)值（重要）三角函數(shù)030456090/-sina0丄731222cosa13

3、亙10222tana0五13cota1036、正弦、余弦的增減性：當(dāng)0Wa90。時，sina隨a的增大而增大，cosa隨a的增大而減小。7、正切、余切的增減性：當(dāng)0a90時，tana隨a的增大而增大，cota隨a的增大而減小。1、解直角三角形的定義：已知邊和角（兩個，其中必有一邊）一所有未知的邊和角。依據(jù)：邊的關(guān)系：a2+b2二c2；角的關(guān)系：A+B=90；邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義。（注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法）2、應(yīng)用舉例：（1）仰角：視線在水平線上方的角；俯角：視線在水平線下方的角。hi二h:ll（2）坡面的鉛直高度h和水平寬度/的比叫做坡度（坡比）。用字母i表示，即i=片。坡度一般

4、寫成1:m的形式，如i=1:5等。h把坡面與水平面的夾角記作a（叫做坡角），那么i二-=tana。V3、從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角，叫做方位角。如圖3，OA、OB、OC、OD的方向角分別是：45、135、225。4、指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90的水平角，叫做方向角。如圖4,OA、OB、OC、OD的方向角分別是：北偏東30（東北方向），南偏東45（東南方向），南偏西60（西南方向），北偏西60（西北方向）。典型例題例題1（2009中考）長為4m的梯子搭在墻上與地面成45角，作業(yè)時調(diào)整為60角（如圖所示），貝y梯子的頂端沿墻面升高了m.練習(xí)1（2008慶陽中考）如圖

5、，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離AC=3米,3cosABAC=二，則梯子長AB=米.4例題2（2007中考）小明發(fā)現(xiàn)在教學(xué)樓走廊上有一拖把以15的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴重影響了同學(xué)們的行走安全。他自覺地將拖把挪動位置，使其的傾斜角為75，如果拖把的總長為1.80m，則小明拓寬了行路通道m(xù).（結(jié)果保留三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sinl5u26,cos150.97）練習(xí)2（2009慶陽中考）如圖（1），一扇窗戶打開后用窗鉤AB可將其固定.如圖（2）是如圖（1）中窗子開到一定位置時的平面圖，若中窗子開到一定位置時的平面圖，若ZAOB=45,ZOAB=30,OA=60cm,求點B到OA邊的距離

6、（31.7，結(jié)果精確到整數(shù)）例題3（2009中考）如圖，數(shù)學(xué)活動小組來到校園的一盞路燈下測量路燈的高度，測角儀AB的高度為1.5米，測得仰角為30，點B到電燈桿底端N的距離BN為10米，求路燈的高度MN是多少米？（取込=1.414,朽=1.732,結(jié)果保留兩位小數(shù)）練習(xí)3（2009眉山中考）海船以5海里/小時的速度向正向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60方向，2小時后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔B在海船的北偏西45方向，求此時燈塔B到C處的距離。例題4（2009中考）如圖，某人在D處測得山頂C的仰角為30o,向前走200米來到山腳A處，測得山坡AC的坡度為i=1:0.5，求山的高度（不計測

7、角儀的高度，朽1.73，結(jié)果保留整數(shù)）.練習(xí)4（2008中考）如圖，某幼兒園為了加強安全管理，決定將園的滑滑板的傾角由45降為30,已知原滑滑板AB的長為5米，點D、B、C在同一水平地面上.（1）改善后滑滑板會加長多少？（精確到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米長的空地就能保證安全，原滑滑板的前方有6米長的空地，像這樣改造是否可行？說明理由。（參考數(shù)據(jù):J2=1.414,卞3=1.732,=2.449）家庭作業(yè)II乩癥面的坡懂I：6則坡角,一、遲擇趣4TOC o 1-5 h z對慣舟I丨換1直=丁、WUtanah()A.ff.-C.-L二25543在RtAAK中，2C-Mnr下列武fM、

8、一定戒疋的是)A.ltlA二sinB5.easA=siriEC.siTLAeasE_D_-390帆加三笫席的兩邊氏分別雄氐S-則鋼三邊的配為)A,10B.2-jlC,收2護D,胚法船運fl:.RtAABC.円已toZAplaN.求應(yīng)壇樣的關(guān)乘式扯()*、c=-B.c,caianADt=-costaiu馭站1卯*8口5的如耳了30*Ht.RDmu的値梏（A.大于丄8.小于丄U人I迴D.小于更22223-小明僦坡ft為30的垓面向丫走了背米，那么他下降23W?(q2354LifcRtAAECq.EC國tr,ianA=-.BC=S.UJAC：?i】$耳2匸5B.二C.10a.123二”填住邀TOC

9、o 1-5 h z計算換閔逾女北曠穆tart鈔=.15.|；si8=亡心,H!t|=.13.JfelAABCZC=90*AB刁壯肌則wnQ.fJC.io.r.；.i5ci/c=-ngjjki-mm；勺險掃fJC.16.4么：:itrjiDo.-Ur1X更削J比力新:曲:JLM狀C.:PI忸f4j45MJ如艮A.就電fi.1EJ匕號半11加來St.iu圖.念稍樓測嫌瞬世放花耳鐵稈血輕謙楣齣事的廠妙.si出鳶懺雉的臨覽4圧構(gòu)筋at桿璃端日同仰掃住=膽.也誹號.退的和度為.eil曹沽扯曲餡椒：；三“第答龍g)三“第答龍g)18.山下卿條伴解H角二的世匸/I.RiZIABjC中.C=W:til己卻滬J

10、.h-B.til己卻滬J.h-B.r辛：Cllb=10E=SOl.Jilt-20,ZA=&0(2flLHIb-b-z：B=35-1TvlWyffiSJS.瑋nJ，亍(J5lh：3C代ad亍丁J5Hn60瑋nJ，亍20.緲團用示”平地上一-wu#島為柴.兩喪劇廃迪而上的購門JS-MpnjtumjEUis-瞇*插:次址陽腫j地宿咸軸卜昧那:二阮硯粥到的徉H七第一笑屁事少舉丫si.如圏，曙応江,比岸茨江齢一段穩(wěn)為3干嵐，:為附用一昶口，為r豹録兩燼空週圈瀝，扭在at口c處挫橋一餐議E辭A在t北ffl再;MT方腳.e柜（:創(chuàng)賦北實|亂從匚處述接兩岸的幣皈的拆梃事少-?Cffi曲到a。22.幼圖.，點已

11、址一平半補丸鷲的陰牘必伶公訂的卡心，童斑林空閉附近有弘更兩平村“：興噸AB,亞倆曰尬之霸It爺校沖詢咸顒的測1腳博阿冃旌紙愷鬻禪JW士甥.上狀8=嗽同此鶴冊業(yè)禪令第過樓盤粗園2i齡liHlIT赴抒遢明H6.E）9.13,1:.點孤皿或加二-畔X1=”屈庶.代6.E）9.13,1:.點孤皿或加二-畔X1=”屈庶.代心薩-討L=山護一歲z12itanl=_AC5答案部分2,AJ.CC占為占的辿即燈壓）Fi曲邊.電可皓為辭辿出迴按：航!10色，歷引尸一JC111/7.B:唐號1金菠山曲種允度的用人門匹班.tOiD.皿0巫.麗以汕摯匚甘廠BUBLO.A；.ta-nA-AC=AC伽.15.18.L列勺十

12、1n15.18.（i）c=yt?*P=V?-b刑J?!fzcvX亠亠斗亜妾丄二七=孚=_tanBtanGOJj3sin3狗50JJ2-.-E-9S-羿=如TOC o 1-5 h z!3?astCi=nA=2C-Sio7s.bscX&O=10/-=3.器-丄旳F-咅PO*791?隊MblA=（-）-tlMl氷第一次飆掛崗的舉子怡拘馭3稱有咪1;第:二次據(jù)烹到的憨子悵為呂乂亦汕礙翻料阿次規(guī)臨別的裁r氏的卜rzs%5-a尙.21.過點C5CD!.B!C.iD-HAD.IJ.BD=CD=x.F.IJ.BD=CD=x.F您用舷ACD中，.AD=SO原LL4D二CD、匸罰30二退：t.CD祖是連按網(wǎng)辟煨煩

13、的拼.設(shè)5耳米.在密角I三常噬中*ZBCD=J5flAHAHAHAHAHAH22.斛：fl甜AABH屮.BH=tan4外AJJtan3涉/itan3涉.AH-50(/3-500300.-不會穿過10.（2008慶陽中考）如圖，一架梯子斜靠在墻上，若梯子底端到墻的距離AC=3米,3米.cosABAC=一，則梯子長AB米.4答案：4（2007中考）小明發(fā)現(xiàn)在教學(xué)樓走廊上有一拖把以15的傾斜角斜靠在欄桿上，嚴重影響了同學(xué)們的行走安全。他自覺地將拖把挪動位置，使其的傾斜角為75，如果拖把的總長為1.80m，則小明拓寬了行路通m.（結(jié)果保留三個有效數(shù)字，參考數(shù)據(jù)：sinl5=26,cosl5u0.97）

14、答案：1.28三、解答題（2009慶陽中考）如圖（1）,一扇窗戶打開后用窗鉤AB可將其固定.如圖（2）是如圖（1）中窗子開到一定位置時的平面圖，若ZAOB=45。，ZOAB=30，OA=60cm,求點B到OA邊的距離.（込心1.7，結(jié)果精確到整數(shù)）在在RtABDC中，BD=DC=xBC=x【解析】【解析】如圖，過點B作BC丄OA于點CZAOB=45,ZCBO=45,BC=OC設(shè)BC=OC=x,.ZOAB=30,AC=BCxtan60=時3x./OC+CA=OA,x+J3x=60,x=60-22（cm）.1+3即點B到OA邊的距離是22cm.（2009中考）如圖，數(shù)學(xué)活動小組來到校園的一盞路燈下

15、測量路燈的高度，測角儀AB的高度為1.5米，測得仰角u為30，點B到電燈桿底端N的距離BN為10米，求路燈的高度MN是多少米？（取遠=1.414,J3=1.732,結(jié)果保留兩位小數(shù)）【解析】在直角三角形MPA中，厶=30,AP=10米3rMP=10tan300=10y-5.773米因為AB=1.5米所以MN=1.5+5.77=7.27米答：路燈的高度為7.27米（2009眉山中考）海船以5海里/小時的速度向正向行駛，在A處看見燈塔B在海船的北偏東60方向，2小時后船行駛到C處，發(fā)現(xiàn)此時燈塔B在海船的北偏西45方向，求此時燈塔B到C處的距離?！窘馕觥咳鐖D，過B點作BD丄AC于DAZDAB=90-60=30,ZDCB=90-45=45設(shè)BD=x，在RtAABD中，AD=x-tan30=J3x又AC=5x2=10.Tx+x二10,得x二5（：3-1）,.BC=邁5（J3-1）二5（、用-冋（海里）答：燈塔B距C處5/6-冋海里15.（2009中考）如圖，某人在D處測得山頂C的仰角為30o,向前走200米來到山腳A處，測得山坡AC的坡度為i=1:0.5,求