函數(shù)圖象中點的存在性問題

1、 函數(shù)圖象中點的存在性問題由比例線段產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題 例1 2012年上海市徐匯區(qū)中考模擬第25題在RtABC中，C90，AC6，B的半徑長為1，B交邊CB于點P，點O是邊AB上的動點（1）如圖1，將B繞點P旋轉(zhuǎn)180得到M，請判斷M與直線AB的位置關(guān)系；（2）如圖2，在（1）的條件下，當(dāng)OMP是等腰三角形時，求OA的長； （3）如圖3，點N是邊BC上的動點，如果以NB為半徑的N和以O(shè)A為半徑的O外切，設(shè)NBy，OAx，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及定義域圖1 圖2 圖3思路點撥1B的三角比反復(fù)用到，注意對應(yīng)關(guān)系，防止錯亂2分三種情況探究等腰OMP，各種情況都有各自特殊的位置關(guān)系，用幾何說理的方法

2、比較簡單3探求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，作OBN的邊OB上的高，把OBN分割為兩個具有公共直角邊的直角三角形滿分解答在RtABC中，AC6，所以AB10，BC8過點M作MDAB，垂足為D在RtBMD中，BM2，所以因此MDMP，M與直線AB相離 圖4（2）如圖4，MOMDMP，因此不存在MOMP的情況如圖5，當(dāng)PMPO時，又因為PBPO，因此BOM是直角三角形在RtBOM中，BM2，所以此時如圖6，當(dāng)OMOP時，設(shè)底邊MP對應(yīng)的高為OE在RtBOE中，BE，所以此時圖5 圖6（3）如圖7，過點N作NFAB，垂足為F聯(lián)結(jié)ON當(dāng)兩圓外切時，半徑和等于圓心距，所以O(shè)Nxy在RtBNF中，BNy，所以，在

3、RtONF中，由勾股定理得ON2OF2NF2于是得到整理，得定義域為0 x5圖7 圖8考點伸展第（2）題也可以這樣思考：如圖8，在RtBMF中，BM2，在RtOMF中，OF，所以在RtBPQ中，BP1，在RtOPQ中，OF，所以當(dāng)MOMP1時，方程沒有實數(shù)根當(dāng)POPM1時，解方程，可得當(dāng)OMOP時，解方程，可得例2 2012年連云港市中考第26題如圖1，甲、乙兩人分別從A、B兩點同時出發(fā)，點O為坐標(biāo)原點甲沿AO方向、乙沿BO方向均以每小時4千米的速度行走，t小時后，甲到達M點，乙到達N點（1）請說明甲、乙兩人到達點O前，MN與AB不可能平行；（2）當(dāng)t為何值時，OMNOBA？（3）甲、乙兩人之

4、間的距離為MN的長設(shè)sMN2，求s與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求甲、乙兩人之間距離的最小值 圖1答案 ：（1）當(dāng)M、N都在O右側(cè)時，所以因此MN與AB不平行（2）如圖2，當(dāng)M、N都在O右側(cè)時，OMNB，不可能OMNOBA如圖3，當(dāng)M在O左側(cè)、N在O右側(cè)時，MONBOA，不可能OMNOBA如圖4，當(dāng)M、N都在O左側(cè)時，如果OMNOBA，那么所以解得t2圖2 圖3 圖4（3）如圖2，如圖3，如圖4，綜合、，s所以當(dāng)t1時，甲、乙兩人的最小距離為12千米例3 2011年上海市中考第25題在RtABC中，ACB90，BC30，AB50點P是AB邊上任意一點，直線PEAB，與邊AC或BC相交于E點M在線段A

5、P上，點N在線段BP上，EMEN，（1）如圖1，當(dāng)點E與點C重合時，求CM的長；（2）如圖2，當(dāng)點E在邊AC上時，點E不與點A、C重合，設(shè)APx，BNy，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）若AMEENB（AME的頂點A、M、E分別與ENB的頂點E、N、B對應(yīng)），求AP的長圖1 圖2 備用圖思路點撥1本題不難找到解題思路，難在運算相當(dāng)繁瑣反復(fù)解直角三角形，注意對應(yīng)關(guān)系2備用圖暗示了第（3）題要分類討論，點E在BC上的圖形畫在備用圖中3第（3）題當(dāng)E在BC上時，重新設(shè)BPm可以使得運算簡便一些滿分解答（1）在RtABC中，BC30，AB50，所以AC40，在RtACP中，在RtCM

6、P中，因為，所以（2）在RtAEP中，在RtEMP中，因為，所以因此，已知EMEN，PEAB，所以MPNP于是定義域為0 x32（3）如圖3，當(dāng)E在AC上時，由，得解得xAP22如圖4，當(dāng)E在BC上時，設(shè)BPm，那么AP50m在RtBEP中，在RtEMP中，所以，這時由，得解得mBP8所以AP50m42圖3 圖4 圖5考點伸展如果第（3）題沒有條件“AME的頂點A、M、E分別與ENB的頂點E、N、B對應(yīng)”，那么還存在圖5所示的一種情況，EAMEBN，此時PE垂直平分AB，AP25 由面積產(chǎn)生的函數(shù)關(guān)系問題 例1 2012年廣東省中考第22題如圖1，拋物線與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，聯(lián)

7、結(jié)BC、AC（1）求AB和OC的長；（2）點E從點A出發(fā)，沿x軸向點B運動（點E與點A、B不重合），過點E作BC的平行線交AC于點D設(shè)AE的長為m，ADE的面積為s，求s關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；（3）在（2）的條件下，聯(lián)結(jié)CE，求CDE面積的最大值；此時，求出以點E為圓心，與BC相切的圓的面積（結(jié)果保留）圖1思路點撥1ADE與ACB相似，面積比等于對應(yīng)邊的比的平方2CDE與ADE是同高三角形，面積比等于對應(yīng)底邊的比滿分解答（1）由，得A(3,0)、B(6,0)、C(0,9)所以AB9，OC9（2）如圖2，因為DE/CB，所以ADEACB所以而，AEm，所以 m的取值范圍是

8、0m9圖2 圖3（3）如圖2，因為DE/CB，所以因為CDE與ADE是同高三角形，所以所以當(dāng)時，CDE的面積最大，最大值為此時E是AB的中點，如圖3，作EHCB，垂足為H在RtBOC中，OB6，OC9，所以在RtBEH中，當(dāng)E與BC相切時，所以考點伸展在本題中，CDE與BEC能否相似？如圖2，雖然CEDBCE，但是BBCAECD，所以CDE與BEC不能相似例2 2012年河北省中考第26題如圖1，圖2，在ABC中，AB13，BC14，探究 如圖1，AHBC于點H，則AH_，AC_，ABC的面積SABC_拓展 如圖2，點D在AC上（可與點A、C重合），分別過點A、C作直線BD的垂線，垂足為E、F

9、設(shè)BDx，AEm，CFn（當(dāng)點D與點A重合時，我們認(rèn)為SABD0）（1）用含x，m或n的代數(shù)式表示SABD及SCBD；（2）求(mn)與x的函數(shù)關(guān)系式，并求(mn)的最大值和最小值；（3）對給定的一個x值，有時只能確定唯一的點D，指出這樣的x的取值范圍發(fā)現(xiàn) 請你確定一條直線，使得A、B、C三點到這條直線的距離之和最?。ú槐貙懗鲞^程），并寫出這個最小值圖1 圖2圖3 圖4答案 ：探究 AH12，AC15，SABC84拓展 （1）SABD，SCBD（2）由SABCSABDSCBD，得所以由于AC邊上的高，所以x的取值范圍是x14所以(mn)的最大值為15，最小值為12（3）x的取值范圍是x或13x

10、14發(fā)現(xiàn) A、B、C三點到直線AC的距離之和最小，最小值為例3 2011年淮安市中考第28題如圖1，在RtABC中，C90，AC8，BC6，點P在AB上，AP2點E、F同時從點P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個單位長度的速度向點A、B勻速運動，點E到達點A后立刻以原速度沿AB向點B運動，點F運動到點B時停止，點E也隨之停止在點E、F運動過程中，以EF為邊作正方形EFGH，使它與ABC在線段AB的同側(cè)設(shè)E、F運動的時間為t秒(t0)，正方形EFGH與ABC重疊部分的面積為S （1）當(dāng)t1時，正方形EFGH的邊長是_；當(dāng)t3時，正方形EFGH的邊長是_；（2）當(dāng)1t2時，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3

11、）直接答出：在整個運動過程中，當(dāng)t為何值時，S最大？最大面積是多少？圖1思路點撥1全程運動時間為8秒，最好的建議就是在每秒鐘選擇一個位置畫8個圖形，這叫做磨刀不誤砍柴工2這道題目的運算太繁瑣了，如果你的思路是對的，就堅定地、仔細(xì)地運算，否則放棄也是一種好的選擇滿分解答（1）當(dāng)t1時，EF2；當(dāng)t3時，EF4（2）如圖1，當(dāng)時，所以如圖2，當(dāng)時，于是，所以如圖3，當(dāng)時，所以圖2 圖3 圖4（3）如圖4，圖5，圖6，圖7，重疊部分的最大面積是圖6所示的六邊形EFNDQN，S的最大值為，此時圖5 圖6 圖7考點伸展第（2）題中t的臨界時刻是這樣求的：如圖8，當(dāng)H落在AC上時，由，得如圖9，當(dāng)G落在A

12、C上時，由，得圖8 圖9例4 2011年山西省中考第26題如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形直線l經(jīng)過O、C兩點，點A的坐標(biāo)為(8，0)，點B的坐標(biāo)為(11，4)，動點P在線段OA上從O出發(fā)以每秒1個單位的速度向點A運動，同時動點Q從點A出發(fā)以每秒2個單位的速度沿ABC的方向向點C運動，過點P作PM垂直于x軸，與折線OCB相交于點M當(dāng)P、Q兩點中有一點到達終點時，另一點也隨之停止運動，設(shè)點P、Q運動的時間為t秒（t0），MPQ的面積為S（1）點C的坐標(biāo)為_，直線l的解析式為_；（2）試求點Q與點M相遇前S與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的t的取值范圍（3）試求題（2）中當(dāng)t為何

13、值時，S的值最大？最大值是多少？圖1思路點撥1用含有t的式子表示線段的長，是解題的關(guān)鍵2第（2）題求S與t的函數(shù)關(guān)系式，容易忽略M在OC上、Q在BC上的情況3第（2）題建立在第（2）題的基礎(chǔ)上，應(yīng)用性質(zhì)判斷圖象的最高點，運算比較繁瑣滿分解答（1）點C的坐標(biāo)為(3，4)，直線l的解析式為（2）當(dāng)M在OC上，Q在AB上時，在RtOPM中，OPt，所以在RtAQE中，AQ2t，所以于是因此當(dāng)M在OC上，Q在BC上時，因為，所以因此當(dāng)M、Q相遇時，根據(jù)P、Q的路程和，解得因此當(dāng)M、Q都在BC上，相遇前，PM4，所以圖2 圖3 圖4（3）當(dāng)時，因為拋物線開口向上，在對稱軸右側(cè)，S隨t的增大而增大，所以當(dāng)

14、時，S最大，最大值為當(dāng)時，因為拋物線開口向下，所以當(dāng)時，S最大，最大值為當(dāng)時，因為S隨t的增大而減小，所以當(dāng)時，S最大，最大值為14綜上所述，當(dāng)時，S最大，最大值為考點伸展第（2）題中，M、Q從相遇到運動結(jié)束，S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式是怎樣的？此時， 因此圖5例5 2011年重慶市中考第26題如圖1，矩形ABCD中，AB6，BC，點O是AB的中點，點P在AB的延長線上，且BP3一動點E從O點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿OA勻速運動，到達A點后，立即以原速度沿AO返回；另一動點F從P點出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿射線PA勻速運動，點E、F同時出發(fā)，當(dāng)兩點相遇時停止運動，在點E、F的運動過程中

15、，以EF為邊作等邊EFG，使EFG和矩形ABCD在射線PA的同側(cè)設(shè)運動的時間為t秒（t0）（1）當(dāng)?shù)冗匛FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，求運動時間t的值；（2）在整個運動過程中，設(shè)等邊EFG和矩形ABCD重疊部分的面積為S，請直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量t的取值范圍；（3）設(shè)EG與矩形ABCD的對角線AC的交點為H，是否存在這樣的t，使AOH是等腰三角形？若存在，求出對應(yīng)的t的值；若不存在，請說明理由 圖1思路點撥1運動全程6秒鐘，每秒鐘選擇一個點F畫對應(yīng)的等邊三角形EFG，思路和思想以及分類的標(biāo)準(zhǔn)盡在圖形中2用t表示OE、AE、EF、AH的長，都和點E折返前后相關(guān)，分兩種情況3探求等腰三角形AOH，先按頂點分三種情況，再按點E折返前后分兩種情況滿分解答（1）在RtABC中，所以BAC30如圖2，當(dāng)?shù)冗匛FG的邊FG恰好經(jīng)過點C時，在RtBCF中，BFC60，BC=，所以BF2因此PF321，運動時間t1 圖2（2）如圖3，當(dāng)0t1時，重疊部分為直角梯形BCNE，如圖4，當(dāng)1t3時，重疊部分為五邊形BQMNE，如圖5，當(dāng)3t4時，重疊部分為梯形FMNE，如圖