直角坐標(biāo)系中平移變換與伸縮變換

1、1.1直角坐標(biāo)系中的平移變換與伸縮變換目標(biāo)：平移變換與伸縮變換的應(yīng)用與理解一.直角坐標(biāo)系1.直線上，取定一個(gè)點(diǎn)為原點(diǎn)，規(guī)定一個(gè)長度為單位長度，規(guī)定直線的一個(gè)方向?yàn)檎较颉＿@樣我們就建立了直線上的坐標(biāo)系(即數(shù)軸)。它使直線上任意一點(diǎn)P都可以由獨(dú)一的實(shí)數(shù)x來確定。2.平面上，取定兩條互相垂直的直線作為x、y軸，它們的交點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，并規(guī)定好長度單位和這兩條直線的正方向。這樣我們就建立了平面直角坐標(biāo)系。它使平面上任意一點(diǎn)P都可以由獨(dú)一的二元有序?qū)崝?shù)對(x,y)來確定。3.在空間中，選擇三條兩兩垂直且交于一點(diǎn)的直線，以這三條直線分別作為x、y、z軸，它們的交點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，并規(guī)定好長度單位和這三條直

2、線的正方向。這樣我們就建立了空間直角坐標(biāo)系。它使空間中任意一點(diǎn)P都可以由獨(dú)一的三元有序?qū)崝?shù)對(x,y,z)來確定。事實(shí)上，直線上所有點(diǎn)的會集與全體實(shí)數(shù)的會集一一對應(yīng)；平面上所有點(diǎn)的會集與全體二元有序數(shù)對(x,y)的會集一一對應(yīng)；空間中所有點(diǎn)的會集與全體三元有序數(shù)對(x,y,z)的會集一一對應(yīng).平面直角坐標(biāo)系中圖形的平移變換1.平移變換在平面內(nèi)，將圖形F上所有點(diǎn)依照同一個(gè)方向，搬動同樣長度，稱為圖形F的平移。若以向量a表示搬動的方向和長度，我們也稱圖形F按向量a平移F上任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，向量在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)圖形(h,k)，平移后的對應(yīng)點(diǎn)為P(x,y).則有：(x,y)(h,k)

3、(x,y)xhx即有：yky.因此，我們也可以說，在平面直角坐標(biāo)系中，由xhx所確定的變換yky是一個(gè)平移變換。因?yàn)槠揭谱儞Q僅改變圖形的地址，不改變它的形狀和大小因此，在平移變換作用下，曲線上任意兩點(diǎn)間的距離保持不變。例1.已知點(diǎn)P(4,3)按向量a(1,5)平移至點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；.求直線l:3x2y120按向量a(2,3)平移后的方程。一般地我們有以下關(guān)于平移變換的結(jié)論：.將點(diǎn)P(x,y)按向量a(x0,y0)平移，所得點(diǎn)P的坐標(biāo)為：P(xx0,yy0).將曲線C:f(x,y)0按向量a(x0,y0)平移，所得曲線C的方程為C:f(xx0,yy0)0.注：點(diǎn)P(4,3)按向量a(1,5)

4、平移，得點(diǎn)P(41,35)，即：P(3,8)；直線l:3x2y120按向量a(2,3)平移，得直線l:3(x2)2(y3)120，即：l:3x2y0.2.有關(guān)曲線平移的一般性結(jié)論.直線l:axby0，按向量a(x0,y0)平移后得.直線:()(0)0.過點(diǎn)byy(x0,y0)laxx0.曲線C:x2y2r2，按向量a曲線C:(xx0)2(yy0)2r2.曲線C:x2y21，按向量a22ab曲線C:(xx0)2(yy0)21a2b2.曲線C:x222y21，按向量aab曲線C:(xx0)2(yy0)21a2b2(x0,y0)平移后得中心為(x0,y0).(x0,y0)平移后得中心為(x0,y0)

5、.(x0,y0)平移后得中心為(x0,y0).曲線C:y22px，按向量a(x0,y0)平移后得.曲線C:(yy0)22p(xx0)極點(diǎn)為00(x,y)例2.說明方程4x29y216x18y110表示什么曲線，求這個(gè)曲線的極點(diǎn)、中心、焦點(diǎn)、漸近線和離心率.三.平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換伸縮變換3.我們已經(jīng)知道，方程ysin2x所表示的曲線可以看作由方程ysinx所表示的曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?得2到的曲線；同理，將方程ysin2x所表示的曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，而橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍，也可以獲取方程ysinx所表示的曲.這也就是說，方程ysin2x所表示的曲線可以經(jīng)過

6、伸縮變換獲取方程ysinx所表示的曲線實(shí)質(zhì)上，設(shè)2xx,yy，則ysin2x可以化為ysinx.由2xx，所確定的變換，是曲線上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)閥y向著y軸的伸縮變換(這里原來的2倍，也可以稱為曲線按伸縮系數(shù)為2P(x,y)是變換前的點(diǎn)，P(x,y)是變換后的點(diǎn))一般地，由xyxy，所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為向著y軸的伸縮變換(當(dāng)1時(shí)，表示伸長；當(dāng)有點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?時(shí)，表示伸長；當(dāng)1時(shí)，表示壓縮)，即曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼谋?這里P(x,y)是變換前的點(diǎn)，P(x,y)是變換后的點(diǎn)).由xyxy，所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)向著x軸和按

7、伸縮系數(shù)向著y軸的伸縮變換(當(dāng)1時(shí)，表示伸長，1時(shí)，表示壓縮；1時(shí)，表示伸長，當(dāng)1時(shí)，表示壓縮)，即曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別變?yōu)樵瓉淼谋逗捅?這里P(x,y)是變換前的點(diǎn)，P(x,y)是變換后的點(diǎn)).在伸縮變換中，曲線上任意兩點(diǎn)間距離的不變性已不存在那么縮變換有什么特色呢?我們來察看直線與圓在伸縮變換作用下的變化例4.對以下曲線向著x軸進(jìn)行伸縮變換，伸縮系數(shù)是k14.2x3y60；.x2y216.(設(shè)P(x,y)是變換前的點(diǎn)，P(x,y)是變換后的點(diǎn)).注：.直線2x3y60經(jīng)過伸縮變換后的方程為x6y30，它依舊表示一條直線；.圓x2y216經(jīng)過伸縮變換后的方程為x2y21，它變?yōu)闄E

8、圓.162.有關(guān)曲線伸縮變換的一般性結(jié)論.直線經(jīng)過伸縮變換后，仍是直線因此，在伸縮變換作用下，點(diǎn)的共線性質(zhì)保持不變。.曲線C:f(x,y)0在伸縮變換xx（或xx或xx）作用yyyyyy下（,1時(shí)表示拉伸，,1時(shí)表示壓縮），所得曲線C的方程為：C:f(1x,y)0（或f(x,1y)0或f(1x,1y)0）.曲線C:f(x,y)0上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)、或橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）壓縮為原來的1，可得曲線C:f(x,y)0（或f(x,y)0或f(x,y)0，1時(shí)表示壓縮，1時(shí)表示拉伸）.例5.設(shè)曲線C:ylog2x，12x，C2:y2log2x，C:ylog13C3:y2log2xlog29.由曲線C經(jīng)

9、過何種變換可以獲取曲線C1、C2、C3.例6.設(shè)M1是A1(x1,y1)與B1(x2,y2)的中點(diǎn)，經(jīng)過伸縮變換k1xx后，它k2yy們分別為M2,A2,B2，求證：M2是A2B2的中點(diǎn)(設(shè)P(x,y)是變換前的點(diǎn)，P(x,y)是變換后的點(diǎn)).四.典型例題1.兩個(gè)定點(diǎn)的距離為則點(diǎn)M的軌跡是A.圓4，點(diǎn)B.橢圓M到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離的平方和為C.雙曲線16，（D.拋物線）2.將函數(shù)y為原來的sinx圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大為原來的2倍，獲取的函數(shù)圖象的剖析式為2倍，縱坐標(biāo)拉伸（）A.y12sin2xB.y12sin12xC.y2sin2xD.y2sin12x3.將點(diǎn)P(2,2)變換為點(diǎn)P(6,1)

10、所用的伸縮變換公式是（）A.x1B.x1C.x3xD.x3x3x2x1y2yy3yy2yy2y4.已知點(diǎn)P(2,3)按向量a(1,4)平移至點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo);已知點(diǎn)P(3,2)按向量a平移至點(diǎn)Q(2,0)，求平移向量a.5.將對數(shù)函數(shù)ylog3x曲線的橫坐標(biāo)拉伸為原來的2倍，求所得曲線的方程.x3x6.在同素來角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換:2yy.求點(diǎn)A(1,2)經(jīng)過變換所獲取的點(diǎn)A的坐標(biāo)；31.點(diǎn)B經(jīng)過)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)變換獲取點(diǎn)B(3,2.求直線l:y6x經(jīng)過變換后所獲取的直線l的方程；.求雙曲線C:x2y21經(jīng)過變換后所獲取的曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo).647.在平面直角坐標(biāo)系中求將曲線C:x2y21

11、變?yōu)榍€C:x2y2194的伸縮變換.8.方程C:3x24y218x16y70表示何種曲線，求它的中心坐標(biāo)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程、離心率五.課外練習(xí)六.補(bǔ)充練習(xí)1.將點(diǎn)P(x,y)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，縱坐標(biāo)壓縮為原來的1，獲取點(diǎn)P的坐標(biāo)為3（）yxyxA.(2,3y)B.(2x,3)C.(3x,2)D.(3,2y)xx2.曲線C經(jīng)過伸縮變換y1y后獲取曲線C的方程為ylog2(x2),則曲線C的方程為3（）A.y1log2(x2)B.y3log2(x2)31xC.ylog2(2)D.ylog2(3x2)33.已知點(diǎn)P(3,2)按向量a(1,4)平移至點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo);已知點(diǎn)P(1,3)按向量a平移至點(diǎn)Q(3,1)，求向量a.4.寫出曲線按向量(4,3)平移后的方程.3x4y50；.y28