4托勒密定理與西姆松定理

1、4托勒密定理與西姆松定理4托勒密定理與西姆松定理4/44托勒密定理與西姆松定理4托勒密定理與西姆松定理托勒密(Ptolemy)定理：圓內(nèi)接四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積(兩對(duì)角線所包矩形的面積)等于兩組對(duì)邊乘積之和(一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和)即：定理：在四邊形ABCD中，有：ABCDADBCACBD證：在四邊形ABCD內(nèi)取點(diǎn)E，使BAECAD，ABEACD則：ABE和ACD相像ABBEABCDACBEACCDAABAE且又BACEADABC和AED相像DACADBCEDACEDEACADBCADABCDADBCAC(BEED)ABCDADBCACBDBC且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)E

2、在BD上時(shí)建立，即當(dāng)且僅當(dāng)A、B、C、D四點(diǎn)共圓時(shí)建立；一、直策應(yīng)用托勒密定理例1、如圖2，P是正ABC外接圓的劣弧上任一點(diǎn)(不與B、C重合)，求證：PA=PBPC分析：本題證法甚多，一般是截長(zhǎng)、補(bǔ)短，結(jié)構(gòu)全等三角形，均為繁冗若借助托勒密定理論證，則有PABC=PBACPCAB，AB=BC=ACPA=PB+PC二、圓滿圖形借助托勒密定理例2、證明“勾股定理”：在222RtABC中，B=90，求證：AC=ABBC證明：如圖，作以RtABC的斜邊AC為一對(duì)角線的矩形ABCD，明顯ABCD是圓內(nèi)接四邊形由托勒密定理有ACBD=ABCDADBC又ABCD是矩形，AB=CD，AD=BC，AC=BD222

3、把代人，得AC=ABBC例3、如圖，在ABC中，A的均分線交外接圓于D，連接BD，求證：ADBC=BD(ABAC)證明：連接CD，依靠勒密定理有ADBCABCDACBD1=2，BD=CD故ADBC=ABBDACBD=BD(ABAC)三、結(jié)構(gòu)圖形借助托勒密定理例4若a、b、x、y是實(shí)數(shù)，且a2b2=1，x2y2=1求證：axby1證明：如圖作直徑AB=1的圓，在AB兩邊任作RtACB和RtADB，使ACa，BC=b，BDx，ADy由勾股定理知a、b、x、y是知足題設(shè)條件的據(jù)托勒密定理有ACBDBCAD=ABCD僅供參照CDAB1，axby1四、巧變?cè)矫顦?gòu)圖形，借助托勒密定理例5、已知a、b、c

4、是ABC的三邊，且a2=b(bc)，求證：A=2B分析：將a2=b(bc)變形為aa=bbbc，從而聯(lián)想到托勒密定理，從而結(jié)構(gòu)一個(gè)等腰梯形，使兩腰為b，兩對(duì)角線為a，一底邊為c證明：如圖，作ABC的外接圓，以A為圓心，BC為半徑作弧交圓于D，連接BD、DC、DAAD=BC，ACDBDCABD=BAC又BDA=ACB(對(duì)同弧)，1=2依靠勒密定理有BCAD=ABCDBDAC而已知a2=b(bc)，即aa=bcb2BAC=2ABC五、巧變形妙引線借肋托勒密定理例6、在ABC中，已知ABC=124，分析：將結(jié)論變形為ACBCABBC=ABAC，把三角形和圓聯(lián)系起來，可聯(lián)想到托勒密定理，從而結(jié)構(gòu)圓內(nèi)接

5、四邊形如圖，作ABC的外接圓，作弦BD=BC，連接AD、CD在圓內(nèi)接四邊形ADBC中，由托勒密定理有ACBDBCAD=ABCD易證AB=AD，CD=AC，ACBCBCAB=ABAC，22練習(xí)1.已知ABC中，B=2C。求證：AC=AB+ABBC?！痉治觥窟^A作BC的平行線交ABC的外接圓于D，連接BD。則CD=DA=AB，AC=BD。由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。西姆松(Simson)定理（西姆松線）:從ABC外接圓上隨意一點(diǎn)P向BC、CA、AB或它們的延伸線引垂線，垂足分別為D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線.注：例7、設(shè)ABC的三條垂線AD、BE、CF的垂足分別為D、E、F；從

6、點(diǎn)D作例8、四邊形ABCD是圓內(nèi)接四邊形，且D是直角，若從B作直線AC、AD的垂線，垂足例9、求證：四條直線兩兩訂交所組成的四個(gè)三角形的外接圓訂交于一點(diǎn)，且由該點(diǎn)向四條例10、設(shè)ABC的外接圓的隨意直徑為PQ，則對(duì)于P、Q的西姆松線是相互垂直的。作業(yè)：僅供參照1設(shè)AD是ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：。2過ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：。3D、E、F分別在ABC的BC、CA、AB邊上，AD、BE、CF交成LMN。求SLMN。4以ABC各邊為底邊向外作相像的等腰BCE、CAF、ABG。求證：AE、BF、CG訂交于一點(diǎn)。5已知正七邊形A1A2A3

7、A4A5A6A7。求證：。6ABC的BC邊上的高AD的延伸線交外接圓于P，作PEAB于E，延伸ED交AC延伸線于F。求證：BCEF=BFCE+BECF。7正六邊形ABCDEF的對(duì)角線AC、CE分別被內(nèi)分點(diǎn)M、N分紅的比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。（23-IMO-5）8O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，分別以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距離，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距離。求證：（1）aRabdb+cdc;aRacdb+bdc;(3)R+R+R2(d+d+d)。abcabc9ABC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。求證：H、G、O三點(diǎn)共線，且HG=2GO。

8、（歐拉線）10O1和O2與ABC的三邊所在直線都相切，E、F、H為切點(diǎn)，EG、FH的延伸線交于P。求證：PABC。11如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC均分BAD。在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC訂交于F，延伸DF交BC于G。求證：GAC=EAC。1.分析：CEF截ABD（梅氏定理）評(píng)注：也能夠增添協(xié)助線證明：過A、B、D之一作CF的平行線。分析：連接并延伸AG交BC于M，則M為BC的中點(diǎn)。DEG截ABM（梅氏定理）DGF截ACM（梅氏定理）=1僅供參照評(píng)注：梅氏定理梅氏定理塞瓦定理評(píng)注：托勒密定理評(píng)注：西姆松定理（西姆松線）評(píng)注：面積法評(píng)注：面積法評(píng)注：同一法評(píng)注：同一法證明：連接BD交AC于H。對(duì)BCD用塞瓦定理，可得由于AH是BAD的角均分線，由角均分