空間向量和立體幾何

1、知識(shí)清單:1,空間向量及運(yùn)算：空間向量和平面向量的加、減、數(shù)乘一樣。1.1空間向量的定義：空間中既有大小又有方向的向量叫做空間向量，用有向線段表示空間向量的定義AB或a，是自由向量，不講究起點(diǎn)，空間向量的大小叫做空間向 量的長度或者模。記|克|或者切。1.2空間向量的夾角：過空間一點(diǎn)O作OA = a，OB = b，則ZAOB叫做。與b的夾 角，記作（a, b，0I a, b；*兀，當(dāng)ja, b二;時(shí)，a與b垂直，記a 1 b。當(dāng) 0b = 0 或兀時(shí)，a/b o1.3特殊空間向量：當(dāng)a = 0時(shí)，稱a為零向量，記a = 0，與任意向量平行和垂直。當(dāng)a = 1，稱a為單位向量，對(duì)任意非零向量當(dāng)a

2、 = 1，稱a為單位向量，對(duì)任意非零向量a，叫做a的單位向量。當(dāng)a =-b時(shí)， a稱a與b互為相反向量。1.4方向向量與法向量：當(dāng)a與1平行時(shí)，稱a 3 0）是l的方向向量，一直線的方向向量有無數(shù)個(gè)。當(dāng)1與平面a垂直時(shí)，稱a 0）是平面a的法向量，一平面的法向量有無數(shù)個(gè)。1.5向量的線性運(yùn)算：1.5.1向量的加法符合平行四邊形法則，減法符合三角形法則，又滿足規(guī)律：（a + b） + c = a + （b + c） , a + b = b + a,若n個(gè)向量相加且首尾相接，貝U其和向量以開始起點(diǎn)為起點(diǎn)，以最終的終點(diǎn)為終點(diǎn)一樣，即A A +AA +TA + A A = A A o 0 11 22

3、3n-1 n 0 n1.5.2向量的數(shù)乘：人分與平而向量意義相同。|人4 = |人|同，X 0時(shí)，人云與1同向；人 時(shí)，sin 0 | =當(dāng);a,n ) 時(shí)，cos0 =: a,na - n2，sin0 = -cos：a,n當(dāng)a,n； A A AA. a （b c）B. c （b a）C. a b cD. b （c a）在以下命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為（）若a, b共線，則a與b所在直線平行；若a, b所在直線是異面直線，則a與b一定不共面；若a, b, c三向量兩兩共面，則a, b, c三向量共面；若a, b, c三向量共面，則由a, b所在直線所確定的平面與由b, c所在直線確定的平面是 同

4、一個(gè)平面A. 0B. 1C. 2D. 3（廣東省高明一中2009屆高三上學(xué)期第四次月考）若a、b、c為任意向量，mR，下列等式不一定成立的是（）A. (a+ b) +c=a+ (b+ c) B. (a+ b) -c=a-c+ b-c C. m(a+ b)=ma+ mb D. (a-b)c=a(b-c)4,（陜西省西安鐵一中2009屆高三12月月考）與向量（-3, -4, 5）共線的單位向量是 TOC o 1-5 h z （）3、，3克2捐23克2克*（A）（mx；-項(xiàng)）和（-耳 一f，z）； （C）（匹空冬）和（-里,-巨,-五）；（B）（垣三-巨）；1052 _（B）（垣三-巨）；1052

5、_（D）（-空-空豆）； 521052中，化簡AB + AD + （DD -BC）的結(jié)果為1在平行六面體ABCD-q叩iDi6,若空間三點(diǎn) A（1, 5, -2）, B（2, 4,1), C (p,3,q+2)共線，則 p=，q=7，（湖南省衡陽市八中2009屆高三第三次月考試題）已知F = i + 2 y + 3k , 1F=-2i + 3 3j - k，F(xiàn)= 3i - 4 y + 5k，若F,弓g共同作用于一物體上，使物體從點(diǎn) TOC o 1-5 h z M（1, -2, 1）移動(dòng)到N（3, 1, 2）,則合力所作的功是 .8,（廣東省北江中學(xué)2009屆高三上學(xué)期12月月考）在正三棱柱AB

6、CA1B1C1中，若AB=JBB1，則AB1與C1B所成角的大小為（）A.60B.90C.105D.759，設(shè)向量a 二（3,5, 4）,b =（2,1,8 ），計(jì)算3a 2b,a -b,并確定人,日的關(guān)系，使10，如圖，E是正方體ABCDA1B1C1D1的棱C1D1的中點(diǎn)，試求向量也&與口管所成角的余弦值.鞏固題： TOC o 1-5 h z 在ABC 中，AB=AC=5, BC=6, PA上平面 ABC, PA=8,則 P 到 BC 的距離是.（）A書B.4抵C.3的D.2的在平面直角坐標(biāo)系中，A（-2,3）, B（3,-2）,沿x軸把平面直角坐標(biāo)系折成120。的二面角后則線段AB的長度為

7、（）A.應(yīng)B. 2%宣C. 3克D. 4應(yīng)8 若向量a=（1入2）,b=（2,-1,2）,a、b夾角的余弦值為，則人等于（）A.2B.-2C.-2 或 55D.2 或55（湖南省衡陽市八中2009屆高三第三次月考試題）已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60。,那么a + 3b等于（）A. J7B.板10C.七13D. 4設(shè) a=(x,4,3),b=(3,2,z)，且 ab,則 xz 等于()64A.-4B.9C.-9D.如圖，平面PAC1平面ABC, AABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA , PB , AC的中點(diǎn)，AC = 16, PA = PC = 10 .設(shè)G是O

8、C的中點(diǎn)， 證明：FG/平面BOE ；7,（山西大學(xué)附中2008屆二月月考）正三棱柱ABC - A1 B C1所有棱長都是2 , D是棱AC的 中點(diǎn)，E是棱CC1的中點(diǎn)，AE交A1 D于點(diǎn)H.（1）求證：AE 1平面ABD ；1（2）求二面角D - BA - A的大小（用反三角函數(shù)表示）；（3）求點(diǎn)B到平面ABD的距離.8, （09山東理）如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB/CD, AB=4, BC=CD=2, AA1=2, E、E1 分別是棱 AD、AA1 的中點(diǎn).（1）設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EE1/平面FCC1 ；（2）證明:平面DAC1平面

9、BB1C1C.BC BC + BA = 2BP，則(1, （09山東理）設(shè)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，A. PA + PB = 0B. PB + PC = 0 C. PC + PA = 0D. PA + PB + PC = 02, （09山東理）已知a，B表示兩個(gè)不同的平面，m為平面a內(nèi)的一條直線，則“a 1 P ” 是“ m 1?！钡模ˋ.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件3，（2010 文科）直三棱柱ABC ABC中，若 ABAC = 90。，AB = AC = A,則異面直線BA與AC1所成的角等于（）A, 30。B, 45。C, 60。D,90。4,

10、(2010文科9)正方體ABCD ABCD中1111BB1與平面ACD1所成的角的余弦值為（）A,與B,亨C,f 1 =。g2兀）,八(2兀10,P : a + b 1 = b g,丸1_ 3 J21L 3（2011全國理）已知a與b均為單位向量，其夾角為。，有下列四個(gè)命題A. P, PB. P, P3（2011浙江理）下列命題中錯(cuò)誤的是（ . .C. A. P, PB. P, P3（2011浙江理）下列命題中錯(cuò)誤的是（ . .C. P,P3D. P, PA.如果平面a平面8，那么平面a內(nèi)一定存在直線平行于平面PB.如果平面a不垂直于平面P，那么平面a內(nèi)一定不存在直線垂直于平面PC.如果平面a

11、 平面Y，平面P 平面Y，a n P =l，那么l 平面yD.如果平面a平面8，那么平面a內(nèi)所有直線都垂直于平面P（2011全國文）若直線l不平行于平面a，且l W a，則（）A. a內(nèi)的所有直線與異面B. a內(nèi)不存在與l平行的直線C. a內(nèi)存在唯一的直線與l平行D. a內(nèi)的直線與l都相交兀）一 3 1P : a 一b 1 = 6 g0,-P : a 一b 1 = 6 g,3i-3 J41L 3其中的真命題是（）（2011全國文）（本題滿分14分）如圖，在三棱錐P ABC中，AB = AC，D為BC的中占I 八、PO中占I 八、PO上平面ABC，垂足O落在線段AD上.(I)證明：AP BC ；(II)(II)已知 BC = 8，PO = 4，AO = 3，OD = 2 .求二面角 B AP C 的大小.9, (2011全國理)(本小題滿分12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四 邊形，匕DAB=60,AB=2AD,PDL 底面 ABCD.(I )證明：PAXBD