空間角與距離

1、學(xué)高考總復(fù)習(xí)：空間角與距離點(diǎn)編稿：林景飛 審稿：張揚(yáng) 責(zé)編：辛文升知識網(wǎng)絡(luò)1雨目標(biāo)認(rèn)知京考試大綱要求：扇能用解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計(jì)算問題，能求距離 重點(diǎn)：二線線角、線面角、二面角及點(diǎn)線、點(diǎn)面、面面距離等的求值問題 難點(diǎn)：商正確作出異面直線所成的角，斜線與平面所成角以及二面角的平面角.知識要點(diǎn)梳理1函知識點(diǎn)一：異面直線所成角扇（1）定義：已知兩條異面直線白，經(jīng)過空間任一點(diǎn)。作直線冰“盆護(hù)/作，”，護(hù)所 成的角的大小與點(diǎn)的選擇無關(guān)，把所成的銳角（或直角）叫異面直線“檔所成的角（或夾角）.為了簡便，點(diǎn)。通常取在異面直線的一條上.(2)(2)異面直線所成的角的范圍：與(3)(

2、4)說明：異面直線所成的角為直角時(shí)，則稱兩異面直線互相垂直. 求異面直線所成角的步驟：作證算求異面直線所成角的方法：平移法、向量法、補(bǔ)形法等知識點(diǎn)二：線面角，必（1）定義：斜線和平面所成的角是指平面的斜線和它在這個(gè)平面內(nèi)的射影所成的銳角，斜線和平面所成角的范圍是（0,5）；直線在平面內(nèi)或直線與平面平行，它們所成角是零角； 直線垂直平面它們所成角為5.打（2）直線和平面所成角的范圍：0,.說明：直線和平面所成角為直角時(shí)，則直線垂直于平面.（3）求直線和平面所成角的步驟：作證算 知識點(diǎn)三：二面角薛：（1）二面角的定義：平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩個(gè)部分，其中的每一部分叫做半 平面；從一條直線出發(fā)的

3、兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱， 每個(gè)半平面叫做二面角的面.若棱為，兩個(gè)面分別為冬的二面角記為女一一 ；（2）二面角的平面角：過二面角的棱上的一點(diǎn)。分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作棱的兩條垂線。&。氣則月叫做二面角歹的平面角；（3）二面角的平面角范圍：成，I*】；說明：二面角的平面角為直角時(shí)，則稱為直二面角，組成直二面角的兩個(gè)平面互 相垂直.（4）求二面角的步驟：作證算（5）作二面角的平面角的方法：定義法：在棱上找一點(diǎn)O，以O(shè)為端點(diǎn)在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線 組成平面角.垂面法：在棱上找一點(diǎn)O,經(jīng)過O點(diǎn)畫垂直于棱的平面與兩個(gè)面的交線組成平 面角.特殊圖形中的中線法：二面角

4、A-LM-B中AM=AL，BM=BL，則取LM的中點(diǎn) O，連結(jié) AO、BO，ZAOB是二面角的平面角.三垂線定理(或逆定理)法：從二面角的一個(gè)面內(nèi)選一個(gè)特殊點(diǎn)A,由A向另 一個(gè)平面作垂線，垂足為B，再由B向棱作垂線交于C，則ZACB為該二面角的平面角.面積射影法：如果一個(gè)多邊形在一個(gè)平面內(nèi)的射影是多邊形，且這兩個(gè)多邊形所在平面的二面角為部則& 知識點(diǎn)四：空間距離1扇異面直線的距離：兩異面直線間公垂線段的長度. 點(diǎn)到平面的距離：已知點(diǎn)尹是平面此外的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尹作，垂足為 虬則山唯一，則叫是點(diǎn)尹到平面的距離.即一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做 這一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離.直線到與它平行平面的

5、距離：一條直線上的任一點(diǎn)到與它平行的平面的距離叫做 這條直線到平面的距離(轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離).兩個(gè)平行平面的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長度叫做兩個(gè)平行平面的距離規(guī)律方法指導(dǎo)如1、角二異面直線所成的角，直線和平面所成的角，二面角，都化歸為平面幾何中兩條相 交直線所成的角.忌求異面直線所成的角或求角的余弦值時(shí)，一定要注意角的范圍是 2，不要將 余弦值求為負(fù)值.求直線和平面所成的角，關(guān)鍵是作出斜線在平面內(nèi)的射影，將直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化成線線所成的角來度量.（4）兩平面相交所成二面角，一般有兩個(gè)，要注意所求的是哪一個(gè)2、距離疝（1）異面直線的距離：除求公垂線段長度外，通常化歸為線面距離和面面距離（

6、2）線面距離，面面距離?；瘹w為點(diǎn)面距離.（3）求點(diǎn)到平面的距離的方法：直接法：先作出表示距離的線段，再證明它就是所求的距離，然后再計(jì)算間接法：用等體積法或者轉(zhuǎn)化法.轉(zhuǎn)化法即進(jìn)行點(diǎn)面、線面、面面之間的轉(zhuǎn)化， 直到求出距離.1.在正四面體ABCD中，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，求異面直線AF、CE所成角 的余弦值.艾思路點(diǎn)撥：求異面直線所成的角，可通過過某一點(diǎn)作異面直線的平行線，轉(zhuǎn)化為求相交 直線所成的角.這里因?yàn)镋為AD的中點(diǎn)，故可取FD的中點(diǎn)G，由三角形的中位線定理知 EG/AF，從而求AF、CE所成的角.解析：如圖，連DF，取DF的中點(diǎn)G，連GE、GC，/ E為AD的中點(diǎn)，. EG/AF，

7、/.ZGEC即為AF、CE所成的角.設(shè)正四面體的棱長為a,則CE=AF=DF=乏a,73 77.EG=FG= 4 a,在RtA GFC中依=如宜+川成=4 a.GE2 + EC2 - GO2 2=3.在 ECG中，由余弦定理可得：cosZGEC=2GE EC .異面直線AF、CE所成的角的余弦值3 .=3總結(jié)升華：作異面直線所成的角常用的方法平移法：在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線或利用 中位線；補(bǔ)形法：把空間圖形補(bǔ)成熟悉的幾何體，其目的在于容易發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關(guān)系.一般來說，平移法是最常用的，應(yīng)作為求兩異面直線所成角的首選方法;8 冷,5= : 2向量法：用夾

8、角公式刻舉一反三：【變式1】如圖，在正方體勘中，&凡G丑分別為乳%應(yīng)月攻，i，Wi的中點(diǎn)，則異面直線因與&丑所成的角等于（）A. 45。 b.盯 C.町 D. 1 河【答案】B；【變式2】正方體AC1中，E、F分別是AB、BB1的中點(diǎn)，則AR與QF所成的角的余 弦值是（）1也2%國A、B、C、虧D、【答案】C；設(shè)正方體的棱長等于4a，在攻耳上取點(diǎn)產(chǎn)，使綽*耳，連接叩、片，則PF / A 占，所以尖叫就是異面直線與G所成的角或補(bǔ)角，營中，牛片與*, 婦ABCD-A.B.C.D. , AA = 2AB【變式3】如圖，正四棱柱I】1中，則異面直線馬 與 1所成角的余弦值為（）12A乙 B 5 .【答

9、案】D；類型二：直線與平面所成角 薛：舉一反三：【變式1】已知正三棱柱如一亂跖1的側(cè)棱長與底朋1與心1司所成角的正弦值等于（）A.y/WB.C.DA.y/WB.C.D.【答案】A【變式2【變式2】如圖，在正三棱柱ABC-ABC中，側(cè)棱長為龍，底面三角形的邊長為1,則BC1與側(cè)面ACC1A1所成的角是【答案】【變式3】已知： ABC中，/BAC=90, BC a A a , AB、AC與平面a所成 的角依次是30和45，ADBC，D為垂足，求：AD與平面a所成角的大小.【答案】作AG作AGa , O為垂足，連結(jié)OB、OC、OD,貝0 AOOB, AOOC, AOOD, BO, CO, DO 為

10、AB、AC、AD 在a 內(nèi)的射影. .ZABO=3O,ZACO=45,ZADO 為所求 AD 與a 所成的角.設(shè) AO=a,則 AB=2a, AC= a,.NBAC=90 , .BC=a,VADXBC, .AB AC=AD BC,2a . -fla _ 2-73.AD=而 3._ a _ 73AD 2/3 - 2Z在 RtA AOD 中，sin/ADO=3./ADO=6O ,即AD與平面a所成的角為60 ,類型三：二面角云3.如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1 中，AB=2, BC=BB1 = 1, E 為 D1C1 的中 點(diǎn)，求二面角EBDC的正切值.扇解法一：VABCDA1B1C1D1

11、 是長方體，.作EF面BCD,而E為逐1的中點(diǎn)，則F為CD的中點(diǎn)，過F作FMXBD交BD于M,連EM,由三垂線定理知EMXBD,Z.ZEMF就是二面角EBDC的平面角，又VAB = 2, BB=BC=1, EF=1,FM=1X %廳=5 tan tanZEMF=解法二：VSABDF=SAEBD-Cse-BDFM而 SABDF= 2又 BD=必，ED=也，BE=.ED2+BE2=BD2/.DEEB 故 S&BD= 2 ED EB= 2cos0 =七偌；tan0 =必.總結(jié)升華：二面角平面角的作法及求法：作出二面角的平面角，主要運(yùn)用三垂線定理或其逆定理，還可用定義法、垂面法、公 式法（異面直線上兩

12、點(diǎn)間距離）.求二面角，可用射影法：若多邊形面積為S，它在一個(gè)平面上的射影的面積為S。，若 該多邊形所在平cos 8 =面與其射影所在平面構(gòu)成的二面角為。，則售舉一反三：【變式1】正方體ABCDA1B1C1D1的棱CC1的中點(diǎn)為E,求平面AB1E與平面ABC 所成二面角的余弦值.【答案】設(shè)B1E，BC的延長線交于點(diǎn)G，連結(jié)GA，在底面ABC內(nèi)作BHXAG，垂足為H，連結(jié) HB1，則B1HAG，故ZB1HB為平面ABR與平面ABC所成二面角或其補(bǔ)角的平面角.在RtAABG中，=七偵!，則s端咤，即+宓學(xué)cosZ51JV5 =-HBy 3 ，1 故平面AB1E與平面ABC所成二面角的余弦值為3【變式

13、2】如圖，在三棱錐 卜況 中，側(cè)面 W 與側(cè)面甜均為等邊三角形， 至必= 90。，。為中點(diǎn).證明：平面如(II)求二面角4 范的余弦值.8【答案】(I)由題設(shè)藤二二沂源=SA，連結(jié)OH, 如。為等腰直角三角形，OA = OB = OC = SA所以2 ，且，RO - 幽又電配為等腰三角形，故SOJLBC，且2從而口逐+跖虹幻.所以曷A為直角三角形，齡上如,又應(yīng)?；?。=0 所以(II)取中點(diǎn)垃，連結(jié)血，”，由（I）知 = 朗nc,得血項(xiàng)，血冒二 Z0M4為二面角 A8C - B的平面角.由航上眈，航皿0= 0得HOL平面蹈CAM =立混所以 AOLOM, 又2,sm ZAMO =半=也故血盤3

14、.豆所以二面角ASCB的余弦值為3 .類型四：空間距離 必4.已知奶知是邊長為4的正方形，占、尸分別是彤、的中點(diǎn)，&”垂直于ABCD所在平面，且GC=2,求點(diǎn)B到平面EFG的距離.藝解法一:如圖：為了作出點(diǎn)3到平面占FG的距離，延長殖交破的延長線于M,連結(jié)GM，作BNLBC，交于村， 則有跚皿，測1平面瑟%.作珀瑚，垂足為Q,則珀坪面酣氣于是6是點(diǎn)3到平面占FG的距離.BN=- 廠 PN= ./BP2 + BN2 =易知 3*=局由奕伽“礦蹄得奕=咎.解法二:如圖解法二:如圖過B作BPVEF，交理71的延長線于盧，易知即項(xiàng)， 這就是點(diǎn)B到二面角O-S-G的棱占尸的距離.連結(jié)應(yīng)交占尸于H，連結(jié)G

15、H，易證GHC就是二面角C-EF-G的平面角.GC= 2 AC = 4 心=也 ，質(zhì)=3質(zhì)=3也 GR =屈，解法三:如圖，作職1GM，R為垂足.又GM1踮，易得平面Bg平面/G， 占#為它們的交線，所以/或就是占3與平面占FG所成的角3.BR=710，在凡阻脂中，箜頃。在凡阻脂中，箜頃。BR=710 EB= 2 ，所以 礎(chǔ)11，于故所求距離為解法四:設(shè)點(diǎn)月到平面&FG的距離為， = Lscg另一方面又可得這個(gè)三棱錐的體積 3，.2 血= l.2.2泌=所以有33 ，解得 H .總結(jié)升華：求點(diǎn)到平面的距離的方法：確定點(diǎn)在平面射影的位置，要注意利用面面垂直求作線面垂直及某些特殊性質(zhì).轉(zhuǎn)化法.即化

16、歸為相關(guān)點(diǎn)到平面的距離或轉(zhuǎn)化為線面距或轉(zhuǎn)化為面面距來求等體積法：利用三棱錐的體積公式，建立體積相等關(guān)系求出某底上的高，即點(diǎn)面 距.舉一反三:【變式1】如圖，在正三棱柱ABC-AiG中，所有棱長均為1，則點(diǎn)B1到平面ABC1 的距離為.【答案】由等體積法可得點(diǎn)B1到平面ABC】的距離為【變式2】正三棱錐高為2,側(cè)棱與底面所成角為4羅，則點(diǎn)H到側(cè)面尹月。的距離是.【答案】設(shè)P在底面ABC上的射影為O，則PO=2，且O是三角形ABC的中心，旦二2設(shè)底面邊長為a,則& 2，.&= 2右設(shè)側(cè)棱為b則b=2也，斜高=必.由面積法求H到側(cè)面尹3的距離:攜 5 .類型五：綜合應(yīng)用點(diǎn)5 .如圖，四面體ABCD中

17、，O、E分另ij BD、BC的中占 CA = CB = CD= BD = 2, AB = AD =也.,求證：AOL平面BCD；求異面直線AB與CD所成角的大小;求點(diǎn)E到平面ACD的距離.解析：BO = DO, AB = AD-AOYBD， BO = DO, AB = AD-AOYBD， BO = DO,BC = CD COYBD，-7- KAOC | |, r , t A-nZg AO = L CO = -J3. E AC = 2,在中，由已知得，而 成+1檢，.至冗二對，即如宜明rw。平面go(II)取AC的中點(diǎn)M，連結(jié)OM、ME、OE，由E為BC的中點(diǎn)知財(cái)圳覘0E M.直線OE與EM所成

18、的銳角就是異面直線AB與CD所成的角 TOC o 1-5 h z EM = -AB = ,OE = -DC = , 在圣順中， 222OM = -AC = :0M是直角山以7斜邊AC上的中線，.2cosZOW = V2ai_L：r：os.異面直線AB與CD所成角的大小為4(III)設(shè)點(diǎn)E到平面ACD的距離為攻rr rr一城區(qū)滿=一.且0.團(tuán)ACD5-LACDrr rr一城區(qū)滿=一.且0.團(tuán)ACD5-LACDCA = CD = 2,AD = 2.在而 AO = 而 AO = L R田班=2X 4- *，= .點(diǎn)E到平面ACD的距離為舉一反三：【變式1】如圖，在直三棱柱航。-中，4月C 二 9。口

19、，昵=2 ,庭=4 ,8T踮分別為片峪的中點(diǎn).KG上面BCC.8 - FGGE在中 GE =很,GF = 2? /. tanZGST7 =也,-異面直線月。與占所成的角的正切值為姻設(shè)攔到面勘口的距離為，過3作月丑上必于、則況面HgA*_血=/5 !.膈品:甘崢如-1.1.4-22 = |- 4 25- -1.1.4-22 = |- 4 25- 2 2r 4 -2425【變式2】如圖，在四棱錐PABCD中，PAL底面ABCD, ABAD, ACCD,ZABC=60PA=AB=BCABC=60PA=AB=BC, E 是 PC 的中點(diǎn).(I)求PB和平面PAD所成的角的大小;證明AE上平面PCD；求

20、二面角APDC的大小.【答案】解：在四棱錐PABCD中，因PA上底面ABCD, AB平面ABCD, 故 PAL AB，又ABLAD，PACAD=A，從而ABL平面PAD，故PB在平面PAD內(nèi)的射 影為PA，從而ZAPB為PB和平面PAD所成的角，在 RtAPAB 中，AB=PA，故/APB=45，所以PB和平面PAD所成的角的大小為45 .證明：在四棱錐PABCD中，因PAL底面ABCD，CD平面ABCD，故 CD LPA，由條件 CDLPC，PAHAC=A，ACDL面 PAC，又 AEU 面 PAC，AELCD，由 PAAB=BC，/ABC=60，可得 AC=PA，VE是PC的中點(diǎn)，.AEL

21、PC，.PCCCD=C， 綜上得AEL平面PCD.(Ill)解：過點(diǎn)E作EMXPD，垂足為M,連結(jié)AM,PDPD,由(II)知，AEL平面PCD, AM在平面PCD內(nèi)的射影是EM,貝0 AM因此ZAME是二面角APDC的平面角， 由已知，可得ZCAD=30,設(shè) AD=a，可得 PA=a設(shè) AD=a，可得 PA=a,在 RtAADP 中，AMPD,A AM PD=PA AD,.em AE 屈 sinZLWS =.em AE 屈 sinZLWS =在 RtAAEM 中，AM 4，.應(yīng)arcsm所以二面角APDC的大小 4【變式3】在直三棱柱心一占明中，ZABC = 90a,AB = BC = (1

22、)求異面直線1與所成的角的大小;(2(2)若也。與平面航。所成角為45，求三棱錐ABC的體積?！敬鸢浮?BCBC, /.ZACB為異面直線B1C1與AC所成角(或它的補(bǔ)角).NABC=90 , AB=BC=1, ./ACB=45.異面直線B1C1與AC所成角為45。VAA1平面 ABC,ZACA1 是 AQ 與平面 ABC 所成的角，ZACA =45 .,?ZABC=90 , AB=BC=1, AC,.AA1.1 世.三棱錐A1-ABC的體積V= 3 SabcXAA1= 2高考題萃如若白一慎，則下列不等式中正確的是（）A.H答案：D 解析：利用賦值法:令=偵=排除A,B,C,選D.2.已知占，

23、b都是實(shí)數(shù)，那么“住”是，y b”的（）B.必要而不充分條件B.必要而不充分條件D.既不充分也不必要條件C.充分必要條件答案：D解析：利用賦值法：滿足“，但a b”的非充分條件;令偵=一七滿足&b，但蛆&， 的不必要條件;的既不充分也而不必要條件.3.不等式 x x + 2 U 利用解得法二:xeR1 x 2 工1,2）,.取二=一1,不滿足，排除C, D；，排除B.4.不等式（Z）的解集是（）一3竺一；間；，1)U(1，3A. 已B.C.解析：由題意得：(x-W。且x+5 = 2(x-l)L-i x 3解得2 且1.法二：利用賦值法：顯然E,排除b；取,滿足3一1取,滿足3一1)，排除c；壬A 不滿足頃T)，排除A.5.在平面直角坐標(biāo)系工。7中，滿足不等式組I 】 的點(diǎn)的集合用陰影表示為 下列圖中的()ViVi答案：CF-,6.已知變量x、y滿足條件U +芬一父5則工