高等代數(shù)版第十章

1、對 V向量 與子空間U正交 UV 是實內(nèi)積空間，U V V U UV 12對 V向量 與子空間U正交 UV 是實內(nèi)積空間，U V V U UV 121U,2 U令UVV1是在子空間U 上的正交投影，稱1 為在則稱U空間U上的正交投影aUUU3在歐氏空間R3中，設(shè)U 1,21(1,2,1), 2 (1,0,在歐氏空間R3中，設(shè)U 1,21(1,2,1), 2 (1,0,求向量(1,3,0)U（1）因為R3 U UdimU dimR3 dimU 32任取U x1x2x3，則由 得 1, 2x1 2x2 x3 2 33 (4,3,故3就是U（2）因1,2,R3的基，故(1,3,0)由1,2,31 7

2、 41235令 41 7 , 1122354則11U, 2UU 1。二、向量間的距| | 為向量到的距離，記為d則11U, 2UU 1。二、向量間的距| | 為向量到的距離，記為d()是實內(nèi)積空間V中任意三個向（1）d(,) d(,（2）d(0 （3）d(,)d(, ) d(,間。任取 V ，則1U是在子空間U上的正Ud(,1)d(,5必要設(shè)1U是在子空間U上的正交投影，則 必要設(shè)1U是在子空間U上的正交投影，則 1 U ，即1 UU1U1 d(,)| | |(1)(1 )|1|2 |1 |1|2 |1|d(,1d(,1d(, )充分設(shè)1U，且對任意Ud(,1) d(, 6假設(shè)是在子空間U上的

3、正交投影，則d(,1)假設(shè)是在子空間U上的正交投影，則d(,1) d(,U ，d(,)d(,1于是，d(, ) d(,1)d(,1)2|1|2|()( 1)| |2 | 1d(,)2d(,1所以 d(,10，由此得1 。三、最小二乘s v t 1 gt0027W 分析：(ti , si )應(yīng)滿足方程（1 10.12g W 分析：(ti , si )應(yīng)滿足方程（1 10.12g 0021 s00.2v00.2 g22 10.32 g 002s 10.42g 002 s0 0.5v0 10.52g 2求g程組（2s0v0, g 經(jīng)驗算，方程組（2）無解8ti /si /-AX a11x1 a12x

4、2 a1nAX a11x1 a12x2 a1nx a2am1x1am2x2 mbiai2c2 考慮歐氏空間 RmAX Rm為|AX |2d(,AX(c1c2,cn)T U AX | X Rn9X則 U 是Rm 的子空間，且求X 則 U 是Rm 的子空間，且求X 使最小，即是求X 使d(AX)最小，亦即求X使AX是U 上的由前面定理，只須求XAXU，即對 X Rn ，均有AX AX (AX ,AX)(AX )T AX (AX )T AAT(AX ) ATAX AT故X ATAX AT對任意 ARmn Rm，線性可以證ATAX AT一定有解AX是不相容線性方程組，則下列ATAX AT物理學(xué)中的 例

5、AX是不相容線性方程組，則下列ATAX AT物理學(xué)中的 例y = y0+ xi yi 0312確定此彈簧的倔強(qiáng)倔強(qiáng)系數(shù)k把數(shù)據(jù)代入 y y0 kx2.6k 3.0k 03.5k 0記y0A (0,1,2,TX 記y0A (0,1,2,TX AX ATAX AT因 ATA可逆，故TT(A X由 X是()1.739kg/y 4.3261.739y 4.3261.739推論 AX 是不相容線性方程組，這里ARmn RmrA) = nV 的一個滿射，如果對任意的V ) (,V 上的一個正交變換則 取V (+)-=(+)-V 的一個滿射，如果對任意的V ) (,V 上的一個正交變換則 取V (+)-=(

6、+)-(+)-= (+)-(+),(+),= (-(+)-)+= (+,+)-2(+, ) -2(+,)+(,) 2(,) +(= (+,+)-2(+, +) +(+,= (+,+)-2(+, ) -2(+,)+(,) 2(,) +(= (+,+)-2(+, +) +(+,= 所以， (+VkR(k)=V 上的線性變換。因此。V ，的正交變換，任取V| |2(,()|2|2|2所以，即 V n V （1） 是正交變換|=|所以，即 V n V （1） 是正交變換|=|將 在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣是正交矩陣若正交變換在標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣之行列式例 歐氏空間R2的集合。把R2圍繞原點逆時針旋轉(zhuǎn) 角，就

7、R2 上的線性變換，記1(102 (0,1)。該變換把R2 的自然(1) (cos,sin) (cos)1 (sin(2) (sin,cos) (sin)1 (cos)(1) (cos,sin) (cos)1 (sin(2) (sin,cos) (sin)1 (cos)在標(biāo)準(zhǔn)正交基1, 2下的矩陣則T sin T是正交矩陣且|T|1例 歐氏空間R2的集合。在R211，2 則 在標(biāo)準(zhǔn)正交基1,2AV V V ,)=(V V V V ,)=(V 上的一個對稱變換則 則 V 是一個實內(nèi)積空間，V V上的一個線性變換=-2(,)，V則是對稱變換為上的鏡面反射也是l-例 設(shè)1,2V 是一個實內(nèi)積空間，V V上的一個線性變換=-2(,)，V則