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文檔簡介
1、高考直通車 2014屆高考數(shù)學一輪復習備課手冊第61課等差數(shù)列一、教學目標理解等差數(shù)列的概念;掌握等差數(shù)列的通項公式與前項和公式,體會基本量的方法與方程的思想;能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)等差關系,并能運用有關知識來解決問題;理解等差數(shù)列與函數(shù)的關系.二、基礎知識回顧與梳理1、 設公差為2的等差數(shù)列,若氣+ a4 + a7 + a997 50,那么a3 +氣+ a + a。等于* 【教學建議】本題主要是幫助學生復習不會整體代入,有整體代入的思想.教學時,教師可讓學生先口答.結合本題,強調整體的思想.解析:因為 a + a + a + a ,a + a + a + a ,a + a4 + a +
2、a9 成等差,公差為33d 66 t殳 a3 + a+ a9 + + a99 x, 則 a+ a5 + a + + a9 = x 33d,x, x 33d ,50 成等差數(shù)列,即 2x +132 x + 50 得x 82. *2、 三個數(shù)成等差數(shù)列,它們的和是15,它們的平方和等于83,則這三個數(shù)為.【教學建議】本題選自課本第38頁習題.本題主要是幫助學生復習如何設未知數(shù).若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù) 列,且和為定值時,可設中間三個數(shù)為a -d , a , a + d ,偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時,可設中間 兩數(shù)為a -d , a + d .3、 一個等差數(shù)列的前12項和為354,前12項中偶數(shù)項和
3、與奇數(shù)項和之比為32 : 27,則0公差d=. 【教學建議】本題選自課本第44頁習題.本題主要是幫助學生復習性質.思路1:運用性質,若成等差數(shù)列(其中e N * ),則a.也成等差數(shù)列.知等差數(shù)列中的偶數(shù)項, 奇數(shù)項分別構成首項為a + d,公差為2d,以及首項為a,公差為2d的等差數(shù)列.直接利用等差數(shù)列的求 和公式可解決問題;11思路2:若能巧用整體思想,活用等差數(shù)列的性質:記等差數(shù)列的奇數(shù)項之和為S奇,偶數(shù)項之和為S偶, 若a 共有 n 2k 項,則 S S = kd,% 4 ;若a 共有 n 2k 1 項,則 S S a, n偶 奇San奇 偶 kS = n - a 奇,解決問題則顯得簡
4、捷明快.n k S n 14、 已知等差數(shù)列a“中,a1 3,11a5 5a8,則前n項和孔的最小值為.【教學建議】本題選自課本第44頁習題.“首正”的遞減等差數(shù)列中,前n項和的最大值是所有非負項之 和;“首負”的遞增等差數(shù)列中,前n項和的最小值是所有非正項之和.法一:由不等式組法一:由不等式組確定出前多少項為非負(或非正)(即找正負項的分界點)a 0,且a a =-16,a + a = 0,則數(shù)列a 的通項公式為n3 746n【分析與點評】方法1可以直接根據(jù)等差數(shù)列的通項公式代入,得到關于a1,d的二元二次方程組,解出a,d,從而求出通項公式,方法2利用等差數(shù)列的性質a + a = a +
5、a = 0再由a a = -16, d 0解得a = -4,a = 4,從而可46373 737以求出公差為2,得通項公式為an = 2n -10本題主要考查對等差數(shù)列的基本量的運用以及等差數(shù)列的下標和性質的運用。3、要點歸納強化“巧用性質、減少運算量”在等差、等比數(shù)列的計算中運用,用“基本量法”方法求解是處理 數(shù)列問題的基本方法,要求學生熟練掌握.同時強調,并不是每道題都有捷徑,要充分合理地運用條件, 時刻注意求解的目標,選擇方法時要慎重;等差數(shù)列的性質是數(shù)列基本規(guī)律的深刻體現(xiàn),是解決等差數(shù)列問題的既快捷又方便的工具,應有意 識去應用;在應用性質時要注意性質的前提條件,有時需要進行適當變形;
6、等差數(shù)列的所有問題都要向通項公式、性質、前n項和轉化;在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關系,并能用有關知識解決相應的問題,是必須具備的能力四、范例導析a =50.求/ %前n項和Tn I n例1已知等差數(shù)列aa =50.求/ %前n項和Tn I n(1)求通項a ;(2)若S =242,求n ;(3)【教學處理】在提問學生問題討論交流后,可教師板書示范,也可讓學生練習、板演后點評.【引導分析與精講建議】1、強調應用等差數(shù)列的通項公式求七和d,運用了方程的思想,一般地,可由a = a, a = b,得a + (m 一 1) d = aj 1,求出a和d,從而確定通項.a1+ (n -Dd=b1
7、化歸為首項、公差(公比)和項數(shù)之間的關系,通過列方程(組)解決問題.這是研究等差(等比)數(shù)列 的最基本方法.也可從等差數(shù)列中任意兩項之間關系入手(a = a + (n - m)d ).2、通項公式法:a = kn + b (k , b是常數(shù))(n GN*) o ia 是等差數(shù)列;nn證明數(shù)列a 是等差數(shù)列的兩種基本方法是:(1)利用定義,證明an+1 -an = d (常數(shù))(n e N-);(2)利用等差中項,即證明2 a = a + a( n N 2).例2已知數(shù)列a 的首項a = 3:通項a與與前n項和為S之間滿足2a = S S (n 2).n1nnn n n-1,1求證:是等差數(shù)列,
8、并求公差;Sn求數(shù)列a”的通項公式;數(shù)列an中是否存在自然數(shù)k,使得不等式aka.對任意大于等于k的自然數(shù)都成立?若存在求出最小的k值;若不存在,說明理由.【教學處理】先給學生獨立思考的時間,然后指名學生回答問題(1),學生評議,教師評點并板書過程。問題(1)結束后,可讓學生板書問題(2),并思考問題(3),學生討論后回答,教師板書、點評問題3)?!疽龑Х治雠c精講建議】(1 )利用a與S的關系可以實現(xiàn)a與S的相互轉化,由已知中2a = S S (n 2),我們易得n nn nn n n -12( S - S ) = S S ,兩邊同除以S S 后,即可得到1 - 1 =- 1 (n 2),即數(shù)
9、列】是以1為公 TOC o 1-5 h z nn-1n n-1n n-1S S2S3.一、,一1、,一 一 ,1、 一一、差等差數(shù)列,再由首項a =3,代入求出數(shù)列的首項,即可得到數(shù)列的通項公式;nn由(1)的結論,結合2a = S S (n 2),我們可以得到n2時,a 的通項公式,結合首項a =3,n n n -1n1我們可以得到a 的通項公式;n令ak小解不等式我們可以求出滿足條件的取值范圍,再根據(jù)k 6 N,即可得到滿足條件的k值.本題考查的知識點是等差關系的確定,數(shù)列的函數(shù)特性,數(shù)列的遞推公式.要判斷一個數(shù)列是否為等差數(shù)列最常用的辦法就是根據(jù)定義,判斷a -a 1是否為一個常數(shù).a
10、21例3改為 已知數(shù)列a 滿足a1 = 2a,a = a(n 2)其中a是不為0的常數(shù),令b =n-1n 求證:數(shù)列b“是等差數(shù)列. 求數(shù)列a,的通項公式.【教學處理】要求學生獨立思考解題,指名學生板演,老師巡視指導了解學情;再結合板演情況進行點評. 【引導分析與精講建議】問題:證明一個數(shù)列是等差數(shù)列的方法有哪些?引導學生利用定義法,求與- 1 、1 一_ 一 、, ,1代入化簡得常數(shù)一,由第一問可以求出數(shù)列氣的通項公式,根據(jù)b =可以找出氣與七的等式n關系,求出七?!緜溆谩恳阎獢?shù)列an的前n項和Sn ,且2/號=an + 1 .(1) 求數(shù)列an的通項公式;(2) 設b =1,數(shù)列數(shù)列b“的
11、前n項和Bn,求證:B -.【說明】(1)求得a e1 ,a = 3,a = 5,,可以歸納猜想a = 2n 1,所以下面考慮將2、iS = a + 1向 等差數(shù)列轉化.(2)分析通項的特征,考慮裂項相消求和 遞推是學好數(shù)列的重要思想,本題由4Sn = (a” + 1)2推出4Sn+1 = (a叫+ 1)2,它其實就是函數(shù)中的變量代換法.在數(shù)列中一般用n 1 , n +1等 去代替n:實際上也就是說已知條件中的遞推關系是關于n的恒等式,代換就是對n賦值.五、解題反思確定等差數(shù)列的關鍵是確定首項匕和公差d .解決等差(比)數(shù)列的問題時,通常考慮兩類方法: 基本量法,即運用條件轉化成關于a和d(q
12、 )的方程;巧妙運用等差(比)數(shù)列的性質(如下標和的性質、 子數(shù)列的性質、和的性質).一般地,運用數(shù)列的性質,可化繁為簡.等差數(shù)列通項公式中聯(lián)系著五個量:a,d,n,a,S,根據(jù)方程的思想已知其中三個量,可求出1n n另外兩個量.若奇數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列,且和為定值時,可設中間三個數(shù)為a -d,a,a + d,偶數(shù)個數(shù)成等差數(shù)列且和為定值時,可設中間兩數(shù)為a -d,a + d .數(shù)列是一種特殊的函數(shù),求解數(shù)列的問題時要注意函數(shù)思想,方程思想及化歸思想的應用.an為等差數(shù)列0a a = d (定義)2 a = a + aa匚An + b (關于n的“一次函數(shù)”)S = An2 + Bn (缺常數(shù)項的“二次函 數(shù)”) nSn (a + a )n (n 一 1).一一、,.、.+ d中,有五個量a、a,n,a,S通過解方程(組)知三可求二,a和n2121 nn1d是等差數(shù)列的兩個基本量,用它們表示已知和未知,是常用的方法.方程(組)的數(shù)學思想方法在數(shù)列部 分應用很廣泛,注意運用.求等差數(shù)列S最值有三法:借助求和公式是關于n的二次函數(shù)的特點,用配方法求解;借助等差數(shù)列的 性質判斷,通過”轉折項”求解;借助二次函數(shù)圖象求解.(經(jīng)過原點)啟示:尋找分界點Fn - 0或。尸0 ;借助二次函數(shù)圖象;等差數(shù)列中前n項和有
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