毒死蜱催化劑項(xiàng)目可行性報(bào)告(2013年發(fā)改委評(píng)審?fù)ㄟ^(guò)案例范文)-專家免費(fèi)咨詢

1、 數(shù)值計(jì)算方法蘭洲交通大學(xué)數(shù)理學(xué)院 我們已經(jīng)知道插值有多種方法：Lagrange 插值、Newton插值、Hermite 插值等多種方式。插值的目的就是數(shù)值逼近的一種手段，而數(shù)值逼近是為得到一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的精確解或足夠精確的解。那么，是否插值多項(xiàng)式的次數(shù)越高，越能夠到達(dá)這個(gè)目的呢？現(xiàn)在我們來(lái)討論一下這個(gè)問(wèn)題。4.3 分段低次插值 我們已經(jīng)知道：f(x)在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)xi(i=0，1，2，n) 上的n次插值多項(xiàng)式Pn (x) 的余項(xiàng) 設(shè)想當(dāng)節(jié)點(diǎn)數(shù)增多時(shí)會(huì)出現(xiàn)什么情況。由插值余項(xiàng)可知，當(dāng)f(x)充分光滑時(shí)，假設(shè)余項(xiàng)隨n增大而趨于0時(shí)，這說(shuō)明可用增加節(jié)點(diǎn)的方法到達(dá)這個(gè)目的，那么實(shí)際是這樣嗎？ 插值節(jié)點(diǎn)

2、的增多,盡管使插值多項(xiàng)式在更多的插值節(jié)點(diǎn)上與函數(shù) f(x) 的值相等,但在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間Pn(x)不一定能很好地逼近 f(x) , 有時(shí)誤差會(huì)大得驚人,著名的龍格(Runge)現(xiàn)象證實(shí)了這個(gè)觀點(diǎn).例:1901年龍格(Runge) 給出一個(gè)例子:龍格(Runge)現(xiàn)象 插值多項(xiàng)式情況，見(jiàn)圖:取n=6和n=10從圖中可見(jiàn)， P10(x)僅在區(qū)間-0.2,0.2內(nèi)能較好地逼近f(x),而在其于位置, P10(x)與f(x)的值相差很大,越靠近 端點(diǎn),近似的效果越差.對(duì)于等距節(jié)點(diǎn),高次多項(xiàng)式插值發(fā)生的這種現(xiàn)象稱為龍格現(xiàn)象.chzh00.m如 P6(0.96)=0.4233 P10(0.96)=1.804

3、38 f(0.96)=0.0416 agr1.mfunction y=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mL z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j=k p=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j); end end s=p*y0(k)+s; end y(i)=s;endy=lagr1(x0,y0,x): Lagrange插值。給出n個(gè)插值節(jié)點(diǎn)， 計(jì)算m個(gè)插值點(diǎn)。n=11;m=51;x=-1:2/(m-1):1;y=1./(1+25*x.2);z=0*x;x0=-1:2/(n

4、-1):1;y0=1./(1+25*x0.2);y1=lagr1(x0,y0,x);n1=6;x00=-1:2/(n1-1):1;y00=1./(1+25*x00.2);y2= lagr1(x00,y00,x);z1=-0.4:0.2:1.6;x1=0*z1;plot(x,z,k,x1,z1,k,x,y,r:,x,y1,b,x,y2,c)gtext( n=5),gtext( n=10 ),gtext(y=1./(1+25*x.2)n=11;m=51;x=-1:2/(m-1):1;y=exp(-abs(x);z=0*x;x0=-1:2/(n-1):1;y0=exp(-abs(x0);y1=lag

5、r1(x0,y0,x);n1=6;x00=-1:2/(n1-1):1;y00=exp(-abs(x00);y2= lagr1(x00,y00,x);z1=-0.4:0.2:1.6;x1=0*z1;plot(x,z,k,x1,z1,k,x,y,r:,x,y1,b,x,y2,c)x=-5:5;y=1./(1+x.2);t=-5:0.05:5;y1=1./(1+t.2);n=length(t);for i=1:n z=t(i);s=0; for k=1:11 Lk=1;u=x(k); for j=1:11 if j=k,Lk=Lk*(z-x(j)/(u-x(j); end end s=s+Lk*y(

6、k); end y2(i)=s;endplot(x,y,ko,t,y1,t,y2,r)18/18 龍格(Runge)現(xiàn)象說(shuō)明插值多項(xiàng)式序列不收斂，實(shí)際上，嚴(yán)格的理論分析可知插值多項(xiàng)式序列確是不收斂的，而且高階插值還是不穩(wěn)定的。數(shù)值穩(wěn)定性 從計(jì)算的數(shù)值運(yùn)算誤差看,對(duì)于等距節(jié)點(diǎn)的差分形式,由于高階差分的誤差傳播,函數(shù)值的微小變化都將使插值產(chǎn)生很大的誤差.定義 設(shè)f(x)是定義在a,b上的函數(shù)，在節(jié)點(diǎn) a= x0 x1x2xn-1xn=b,的函數(shù)值為 y0 , y1 ,y2 ,yn-1 ,yn ,假設(shè)函數(shù)(x)滿足條件 (1) (x)在每個(gè)子區(qū)間xi , xi+1(i=0,1,2,n-1)上是線性插

7、值多項(xiàng)式; (2) (xi )= yi , i=0,1,2,n (3) (x)在區(qū)間a , b上連續(xù); 那么稱(x)是f(x)在a ,b上的分段線性插值多項(xiàng)式。1.問(wèn)題的提法 分段線性插值問(wèn)題的解存在唯一.一、分段線性插值多項(xiàng)式2.分段線性插值函數(shù)的表達(dá)式 由定義， (x)在每個(gè)子區(qū)間xi ,xi+1(i=0,1,2,n-1)上是一次插值多項(xiàng)式;分段線性插值曲線圖：x0 x1 xi xi+1 , xnx0 xi-1 xi xi+1 xnx0 x1 xi xn-1 xn3.分段線性插值函數(shù)的余項(xiàng)注意: h隨分段增多而減少，因此用分段插值提高精 度是很好的途徑.定理：設(shè)f(x)在a,b上有二階連續(xù)

8、導(dǎo)數(shù)f(x) ， 且| f(x)| m2, 記： h = max |xi+1-xi|,就有估計(jì)： |R(x)| =|f(x)- (x) |m2h2/ 8 , xa, b。Spline InterpolationPiecewise Linear InterpolationSimplest form of piecewise polynomial interpolationInterpolate the data with piecewise linear functionPiecewise Linear InterpolationExample 8.14 Piecewise Linear Int

9、erpolationFunction is continuous, but not smoothFigure 8.18 Piecewise linear interpolationpiecewise-linear interpolationExamplePiecewise in Matlabx=1:6;y=16 18 21 17 15 12;plot(x,y,0,x,y,-);二.分段二次插值與分段三次插值例: 在-4,4上給出等距節(jié)點(diǎn)函數(shù)表，假設(shè)用分段二次插值計(jì)算ex的近似值，要使截?cái)嗾`差不超過(guò)10-6,問(wèn)使用函數(shù)表的步長(zhǎng)h 應(yīng)為多少?解：設(shè) xi-1xxi+1, 那么有 xi-1=xi-h, xi+1=xi+h, x=xi+th (-1t1)過(guò)三點(diǎn) xi-1，xi，xi+1的二次插值誤差為：3.分段三次Hermite插值的余項(xiàng)定理：設(shè)f(x)在a,b上有四階連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(4)(x) ， 且| f(4)(x) | m4, 記： h = max |xi+1-xi|,就有估計(jì)：四、分段低次插值的收斂性 上面介紹的分段低次插值，雖然具有計(jì)算簡(jiǎn)