線性代數(shù)行列式的計算與性質(zhì)

1、線性代數(shù)行列式的計算與性質(zhì)行列式在數(shù)學中，是一個函數(shù)，其定義域為L L的矩陣. 1,取值為 一個標量， 寫作曰；或| 行列式可以看做是有向面積或體積的概 念在一般的歐幾里得空間中的推廣?；蛘哒f，在：，維歐幾里得空間中， 行列式描述的是一個線性變換對“體積”所造成的影響。無論是在線性代 數(shù)、多項式理論，還是在微積分學中（比如說換元積分法中），行列式作為 基本的數(shù)學工具，都有著重要的應(yīng)用。行列式概念最早出現(xiàn)在解線性方程組的過程中。十七世紀晚期，關(guān)孝 和與萊布尼茨的著作中已經(jīng)使用行列式來確定線性方程組解的個數(shù)以及形 式。十八世紀開始，行列式開始作為獨立的數(shù)學概念被研究。十九世紀以 后，行列式理論進一

2、步得到發(fā)展和完善。矩陣概念的引入使得更多有關(guān)行 列式的性質(zhì)被發(fā)現(xiàn)，行列式在許多領(lǐng)域都逐漸顯現(xiàn)出重要的意義和作用， 出現(xiàn)了線性自同態(tài)和矢量組的行列式的定義。行列式的特性可以被概括為一個多次交替線性形式，這個本質(zhì)使得行 列式在歐幾里德空間中可以成為描述“體積”的函數(shù)。矩陣A的行列式有時也記作|A|。絕對值和矩陣范數(shù)也使用這個記 法，有可能和行列式的記法混淆。不過矩陣范數(shù)通常以雙垂直線來表示（如： I II），且可以使用下標。此外，矩陣的絕對值是沒有定義的。因此，行 列式經(jīng)常使用垂直線記法（例如：克萊姆法則和子式）。例如，一個矩陣：fa b qd e fA=& hLabcdefghi行列式d已札勺也

3、寫作d，或明確的寫作：A=，即把矩陣的方括號以細長的垂直線取代行列式的概念最初是伴隨著方程組的求解而發(fā)展起來的。行列式的提 出可以追溯到十七世紀，最初的雛形由日本數(shù)學家關(guān)孝和與德國數(shù)學家戈 特弗里德萊布尼茨各自獨立得出，時間大致相同。、行列式的定義與計算一個n階方塊矩陣A的行列式可直觀地定義如下:偵（A）= 2能點）n bE S?4 = 1其中， 是集合 1, 2, ., n 上置換的全體，即集合 1,2, ., n 到自身上的一一映射（雙射）的全體；E*表示對全部元素的求和，即對于每個-，sgnO） n 傳崩）在加法算式中出現(xiàn)一次；對于每一對滿足I的數(shù)對 ，是矩陣 A的第i行第j列的元素。9

4、口表示置換的符號差，具體地說，滿足I ； 但*1 T。的有序數(shù)對 稱為r的一個逆 序。如果K的逆序共有偶數(shù)個，則1，如果共有奇數(shù)個， 則心 I舉例來說，對于3元置換 1 1 （即是說T L T 口，I）而言，由于1在2后，1在3后，所以共有2個逆序（偶數(shù)個）， 因此 1，從而3階行列式中項，| -，- ：!；：!-1的符號是正的。 但對于三元置換 1 1 （即是說 T I， ， I I ；）而言， 可以數(shù)出共有3個逆序（奇數(shù)個），因此 心 r I，從而3階行列式中 項 1，|：!1，-1，:;-1 的符號是負的。注意到對于任意正整數(shù)n，共擁有n!個元素，因此上式中共有n! 個求和項，即這是一個

5、有限多次的求和。對于簡單的2階和3階的矩陣，行列式的表達式相對簡單，而且恰好 是每條主對角線（左上至右下）元素乘積之和減去每條副對角線（右上至 左下）元素乘積之和（見圖中紅線和藍線）。=Cii 12 Ki 9 12階矩陣的行列式：密霽 113階矩陣的行列式: TOC o 1-5 h z aaa111213aaa= a a a + a a a + a a a - a a a -21222311 22 33 12 23 31 21 32 13 13 2231aaa313233a a a - a a a21 12 3311 32 23但對于階數(shù)上1的方陣A,這樣的主對角線和副對角線分別只 有n條，由

6、于A的主、副對角線總條數(shù)=如= %，的元素個 數(shù)因此，行列式的相加項中除了這樣的對角線乘積之外，還有其他更多的 項。例如4階行列式中，項 山I 1.1就不是任何對角線的元素 乘積。不過，和2、3階行列式情況相同的是，n階行列式中的每一項仍然 是從矩陣中選取n個元素相乘得到，且保證在每行和每列中都恰好只選取 一個元素，而整個行列式恰好將所有這樣的選取方法遍歷一次。另外，nXn矩陣的每一行或每一列也可以看成是一個n元矢量，這 時矩陣的行列式也被稱為這n個n元矢量組成的矢量組的行列式二、行列式的性質(zhì)行列式的一些基本性質(zhì)，可以由它的多線性以及交替性推出。在行列式中，一行（列）元素全為0,則此行列式的值

7、為0。00.0012- - - Q-ln血11a盟- a0I曲-血nI=0知-71710- - -00 0a21.9an1a22 .an 2 a2 n. ann在行列式中，某一行（列）有公因子k，則可以提出k。112. 口偵Gil 12口頊 . - D = . . i=A;傳2=- - -. III=kD1 .務(wù)曾 1 Qd -nn 如1712-務(wù)叩的每個元素是兩數(shù)之和則此行列式可拆,alla：2alla：2Him心11a12如“11t12Ulu- - - - -CLl +- - 注fti + bin盆1 皿新如如,.&*B 1B - ， 江泌an2- - -annifn 1. 口成- ann

8、ml h,2-江行列式中的兩行（列）互換，改變行列式正負符號51。在行列式中，某一行（列） 分為兩個相加的行列式。&1 隹蜀.勺1 -。撲 HYPERLINK l bookmark9 o Current Document aIa在行列式中，有兩行（列22.288.8a Q1-己沖=_ 嚀 aj2對應(yīng)成比例或相同，=0. Qjnaa則此行列式的值為0。將一行（列）的k倍加進另一行（列）里，行列式的值不變。CLji 缶衛(wèi) 四 n _ 國 1CLi2 - dm“jl。-jN-任jrt巧1+*均1口了之 + 上口噩-。-# + *葦73注意：一行（列）的k倍加上另一行（列），行列式的值改變。切 .一

9、儀E璃1Q* .Q.j - j*” + 江2 L。尹+口也 - L 皿加+“電?1將行列式的行列互換，行列式的值不變，其中行列互換相當于轉(zhuǎn)置。這個性質(zhì)可以簡單地記作D =知=Qjt = Dt例如如1%-11%-如 012如 712aln%行列式的乘法定理：方塊矩陣的乘積的行列式等于行列式的乘積。卜1/.上二(lrl I . L cbl I /；：o特別的，若將矩陣中的每一行每一列上的數(shù)都乘以一個常數(shù)r，那么所得到的行列式不是原來的r倍，而是rn 倍。det(r-4) = det(r/n - A) = det( rJn) - det (A) = rn detA)o以上的乘法公式還可以進一步推廣為

10、所謂柯西-比內(nèi)公式，從而使得 只要兩個矩陣的乘積是方塊矩陣，就有類似于以上的結(jié)果：假設(shè)A是一 個 W / 矩陣，而 B是一個 、/ 3 矩陣。如果 S是中具有m個元素的子集，.，.，：，我們記AS為A中列指標位于S中的，W /，W子矩陣。類似地， 記BS為B中行指標位于S中的 W /， 子矩陣。那么det(AB)=】det(擊)det(Bff)s這里求遍中m個元素的所有可能子集S (共 有 C(n,m)個)。如果m = n，即A與B是同樣大小的方塊矩陣，則只有一個 容許集合S，柯西-比內(nèi)公式退化為通常行列式的乘法公式。如過m = 1則有n容許集合S，這個公式退化為點積。如果m n，沒有容 許集

11、合S，約定行列式det(AB)是零54。若A是可逆矩陣，山*直=卜1 i . 1 55。由行列式的乘法定理以及 山| 直 =卜| i A 1可以知 道，行列式定義了一個從一般線性群E L, i, /倒i .： /上的群同態(tài)。若將方塊矩陣中的元素取共軛，得到的是矩陣的共軛矩陣。共軛矩陣的行列式值等于矩陣行列式值的共軛：”七=di I I；若兩個矩陣相似，那么它們的行列式相同。這是因為兩個相似的矩陣 之間只相差一個基底變換，而行列式描述的是矩陣對應(yīng)的線性映射對體積 的影響，而不是體積，所以基底變換并不會影響行列式的值。用數(shù)學語言 來說，就是：如果兩個矩陣A與B相似，那么存在可逆矩陣P使得A 二 P

12、BP I，所以det(A) = detCPBP-1) = det(P)det(B)det(p-L) = det(B)行列式是所有特征值(按代數(shù)重數(shù)計)的乘積。這可由矩陣必和其若 爾當標準型相似推導(dǎo)出。特殊地，三角矩陣的行列式等于其對角線上所有 元素的乘積。由于三角矩陣的行列式計算簡便，當矩陣的系數(shù)為域時，可以通過高 斯消去法將矩陣變換成三角矩陣，或者將矩陣分解成三角矩陣的乘積之后 再利用行列式的乘法定理進行計算?？梢宰C明，所有的矩陣A都可以分解 成一個上三角矩陣U、一個下三角矩陣L以及一個置換矩陣P的乘積： =I.。這時，矩陣A的行列式可以寫成：det(A) = det(P) det(L) d就(U)分塊矩陣的行列式并不能簡單地表示成每個分塊的行列式的乘積組 合。對于分塊的三角矩陣，仍然有類似的