晶體物理性能第1章張量分析基礎(chǔ)知識

1、晶體物理性能南京大學(xué)物理系序言由于近代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，單晶體人工培養(yǎng)技術(shù)的成熟，單晶體的各方面物理性能（如力、聲、熱、電、磁、光）以及它們之間相互作用的物理效應(yīng)，在各尖端科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域里,都得到了某些應(yīng)用.特別是石英一類壓電晶體作為換能器、穩(wěn)定頻率的晶體諧振器、晶體濾波器等在電子技術(shù)中，比較早地在工業(yè)規(guī)模上進(jìn)行人批生產(chǎn)和廣泛應(yīng)用.激光問世的四十多年來，單晶體在激光的調(diào)制、調(diào)Q、鎖模、倍頻、參量轉(zhuǎn)換等光電技術(shù)應(yīng)用中，已成單晶體應(yīng)用中極為活躍的領(lǐng)域.晶體物理性能是我系晶體物理專業(yè)的專業(yè)課程之一，目的就是希塑對晶體特別是光電技術(shù)中使用的晶體（包括基質(zhì)晶體與非線性光學(xué)晶體）的有關(guān)物理性能及其應(yīng)用方面的基

2、本知識，有一個了解.對今后從事光電晶體的生長、檢測和應(yīng)用的工作，在分析問題、解決問題方面有所幫助，同時要在今后工作中不斷從實踐和理論兩個方面擴(kuò)大知識領(lǐng)域，有一個基礎(chǔ).考慮到本專業(yè)屬于晶體材料性質(zhì)的專業(yè)特點，本課程不僅對晶體物理性能的各個方面作深入全面的介紹，也將側(cè)重于激光晶體有關(guān)的一些性能及其應(yīng)用.鑒于以上考慮，晶體物理性能講義將以離子晶體為主要對象，以光電技術(shù)上應(yīng)用為線索組織內(nèi)容，共分為八章.著重于從宏觀角度結(jié)合微觀機(jī)制介紹晶體基本物理性能以及各種交互作用過程的物理效應(yīng)和它們在光電技術(shù)中的某些應(yīng)用，包括彈性與彈性波（第二章）,晶體光學(xué)中的各向異性（第五章），壓電與鐵電現(xiàn)象（第四章），電光效應(yīng)

3、（第七章），光學(xué)參量過程（第六章），聲光效應(yīng)（第八章）.由于晶體物理性能的各向異性的特點和晶體對稱性有密切關(guān)系，通常正確、方便地描述這些物理性能必須使用張量來表示.因此，在第一章,我們介紹了關(guān)于張量分析基礎(chǔ)知識方面的內(nèi)容.由于水平有限，實踐經(jīng)驗缺乏，時間倉促，因而內(nèi)容安排不妥、取舍不當(dāng)、錯誤之處一定很多，希望同學(xué)們提出寶貴意見，批評指正.目錄第一章張量的基礎(chǔ)知識1.1標(biāo)量、矢量和二階張量21.2坐標(biāo)變換和變換矩陣1.3正交變換矩陣的性質(zhì)1.4晶體對稱操作的變換矩陣1.5二階張量的變換與張量的定義1.6張量的足符互換對稱1.7張量的矩陣表示和矩陣的代數(shù)運算1.8二階對稱張量的幾何表示和二階張量的

4、主軸1.9二階對稱張量主軸的確定1.10晶體張量與晶體對稱性的關(guān)系第二章晶體的彈性與彈性波2.1彈性性質(zhì)與原子間力2.2應(yīng)變2.3應(yīng)力2.4推廣的虎克定律、彈性系數(shù)2.5立方晶體的彈性系數(shù)2.6各向同性材料的彈性系數(shù)2.7彈性擾動的傳播一一彈性波2.8簡諧振動和駐波2.9彈性常數(shù)及振動衰減因子的測量方法第三章晶體的介電性質(zhì)3.1介質(zhì)中的宏觀電場強(qiáng)度與極化強(qiáng)度3.2晶體中的有效場3.3高頻電場的介電極化（光的色散與吸收）3.4介電常數(shù)的測量3.5離子晶體的靜電擊穿3.6激光的電擊穿（激光的電擊穿損傷）第四章鐵電與壓電物理4.1鐵電體的一般性質(zhì)4.2常用鐵電體的實驗規(guī)律4.3鐵電體的相變熱力學(xué)4.

5、4鐵電體相變的微觀機(jī)制4.5晶體的壓電效應(yīng)4.6壓電方程和機(jī)電耦合系數(shù)4.7壓電晶體的應(yīng)用實例石英第五章晶體光學(xué)5.1光學(xué)各向異性晶體5.2各向異性介質(zhì)中光的傳播5.3折射橢球與折射率曲面5.4晶體表面上的折射5.5晶體偏光干涉及其應(yīng)用第六章倍頻與參量頻率轉(zhuǎn)換6.1非線性極化6.2非線性極化系數(shù)6.3非線性介質(zhì)中電磁場耦合方程6.4光倍頻6.5光倍頻的相匹配6.6第II類相匹配6.7角度匹配和溫度匹配掃描實驗曲線6.8內(nèi)腔倍頻6.9光參量放大6.10參量振蕩器6.11參量振蕩器的調(diào)諧方法6.12參量頻率上轉(zhuǎn)換6.13非線性材料的性能要求第七章電光效應(yīng)及其應(yīng)用7.1線性電光效應(yīng)7.2兩種典型材料

6、的電光效應(yīng)7.3電光滯后7.4電光調(diào)制原理7.5實際調(diào)制器的幾個問題7.6晶體電光開關(guān)7.7電光Q開關(guān)7.8電光偏轉(zhuǎn)7.9電光材料7.10晶體均勻性的實驗檢測7.11晶體的激光損傷7.12晶體均勻性實驗檢測第八章聲光效應(yīng)及其應(yīng)用8.1彈光效應(yīng)8.2聲光交互作用產(chǎn)生的衍射現(xiàn)象8.3聲光交互作用的理論8.4聲光效應(yīng)在一些物理常數(shù)測量中的應(yīng)用8.5聲光調(diào)制器8.6聲光偏轉(zhuǎn)器8.7聲光調(diào)Q8.8聲光材料附錄A.32點群投影圖E.各階張量在不同點群中的矩陣形式主要常數(shù)表單軸晶體中光線離散角a的推導(dǎo)雙軸晶體中雙折射面相差的推導(dǎo)貝塞爾函數(shù)的基本性質(zhì)第一章張量分析基礎(chǔ)知識以前學(xué)的課程中，有關(guān)力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)、

7、光學(xué)等的性質(zhì)都是以各向同性介質(zhì)來表述的或以一維問題來說明問題，這對于突出某些物理現(xiàn)象的微觀的物理原因方面是必要的，但晶體物理性能是講晶體中的力學(xué)、電學(xué)、光學(xué)、聲學(xué)、磁學(xué)、熱學(xué)等物理性能，而晶體的各向異性卻是一種很普遍的特性，特別是很多現(xiàn)象如熱電、壓電、電光、聲光、非線性光學(xué)效應(yīng)等等物理現(xiàn)彖則完全因為晶體具有各向異性性質(zhì)才能表現(xiàn)出來.因此，晶體結(jié)構(gòu)対稱性和這些性質(zhì)之間的關(guān)系成為問題的主要方面。為描述晶體宏觀上表現(xiàn)出來的各向異性，要表達(dá)一個物理學(xué)定律的方程式通常要比表達(dá)各向同性物質(zhì)的方程式數(shù)目多得多.人們實踐中探索出一套描述各向異性的數(shù)學(xué)方法，可以使問題簡化得多，這種方法就是張量方法.在晶體物理中

8、所涉及的張量分析是比較簡單的，晶體對稱性的操作對應(yīng)的坐標(biāo)變換，一般使用三維正交直角坐標(biāo)系的變換就夠了.本章介紹的將只限于這種坐標(biāo)系統(tǒng)所定義的張量（稱為卡迪生張量）.此外，我們對于張量分析不作嚴(yán)格的數(shù)學(xué)論證，著重介紹張量分析的一些定義、運算的規(guī)則和方法，這對于從事晶體生長與應(yīng)用的工作者來說是完全足夠了.1.1標(biāo)量、矢量與二階張量有些物理量只要一個數(shù)字加上一個單位就可以表達(dá)清楚了，譬如溫度、質(zhì)量、密度、頻率等等，只要表示。C、g、g/cn?、HZ是多少就很清楚了，不管你取什么坐標(biāo)，都是個數(shù)值，這種量稱為標(biāo)量，有時也稱為數(shù)量.還有一些量，既有大小，又有方向，例如力、速度、位置、電場強(qiáng)度等等，大家知道

9、這些量稱為矢量。要表達(dá)一個矢量就要麻煩一些，用一個數(shù)值是無法表達(dá)清楚的，在數(shù)學(xué)上要嚴(yán)格地表達(dá)這樣一個量，首先要確定坐標(biāo)系統(tǒng)，如果取三維直角坐標(biāo)系統(tǒng)，事先要表明坐標(biāo)原點在哪里，X,、乂、X,三個軸的取向也規(guī)定下來，可能會出現(xiàn)兩種不同的坐標(biāo)系統(tǒng),一種是右手螺旋直角坐標(biāo)系，另一種是左手螺旋坐標(biāo)系.（見圖1.1）XIXIa）a）右手螺旋系b丿左手螺旋系圖1.1兩種直角坐標(biāo)系它們的區(qū)別在于X、圣、Xj三軸的方向的旋轉(zhuǎn)順序不同，坐標(biāo)系選定了一種，選定了右手系，一個矢量A,可以表示為：(1.1)A=Aj+A2j+A5k(1.1)其中7,7J分別是X、&、X3三軸方向上的單位矢量，Al.A?、A3分別是A在三

10、個坐標(biāo)軸上的投影，稱為矢量的三個分量。在事先規(guī)定的坐標(biāo)系統(tǒng)內(nèi)，只要給出A】、Az.A3三個數(shù)值，那么刁的人小和方向就唯一的規(guī)定下來了。由此可見，一個矢量和標(biāo)量不同，必須要用三個數(shù)量才能正確地表達(dá)出來，更要提醒注意的是A】、A?、Aj只有在規(guī)定的坐標(biāo)系內(nèi)才是正確的，在不同的坐標(biāo)系內(nèi)表示同一個刁，它們的知、A?、A3卻是各不相同的。圖1.2表示一個在（X|XJ平面內(nèi)的矢量刁在不同坐標(biāo)系統(tǒng)內(nèi)A2.A3數(shù)值不同的情形，當(dāng)在X】、&、X3坐標(biāo)系統(tǒng)中刁可用這樣三個數(shù)值表示（Acos0,Asin,0）,如果取另一個坐標(biāo)系統(tǒng)X,、&、X3，它是繞X3轉(zhuǎn)動6后的新坐標(biāo)系統(tǒng)，這時同一個矢量戶卻要表示為（A,0,0

11、）o圖1.2同一個矢量刁，在不同坐標(biāo)系的三個分量是不同的總之，對一個矢量的表達(dá)有二個特點：要三個數(shù)值（三個分量），坐標(biāo)系變換，三個數(shù)值也要相應(yīng)地變化。還有一些物理量，譬如晶體中的介電常數(shù),在各向異性晶體中一般要用九個分量才能表達(dá)清楚，這九個分量的數(shù)值也隨坐標(biāo)系統(tǒng)不同而有變化，這種量稱為二階張量?，F(xiàn)在我們來具體看看為什么要九個分量才能完整地表達(dá)。在各向同性的電介質(zhì)中電位移矢量D與宏觀場強(qiáng)之間有下列物理學(xué)關(guān)系聯(lián)系起來：D=8qsE（1.2）把規(guī)定坐標(biāo)系統(tǒng)矢量方程展開得到三個方程：Dj=si）eEiD2=ajsE2D3-ajsEi(1.3)或?qū)憺镈i二吧（上/,2,3）電位移矢量的某一分量D只和電場

12、強(qiáng)度相同的坐標(biāo)分量氏成正比，其中三個方程的比例常數(shù)都為eo,坐標(biāo)系統(tǒng)盡管可以不同，E、D的分量也隨之變化，但三方程的比例常數(shù)是不變的，所以80和在各向同性介質(zhì)中均為標(biāo)量，只要一個數(shù)值就可表達(dá)而且與所選坐標(biāo)系統(tǒng)無關(guān)，從(1.3)式也可看出D和E方向始終一致。(1.3)但是，在各向異性晶體中D和E方向并不一致，實驗上發(fā)現(xiàn)，D的某一分量D和E的所有三個分量都有關(guān)系，可寫成如下關(guān)系：二G(切E/+切丘2+殆丿D2=Q/S2/E+S22E2+52並)曲enEi+E32E2+S33E3)或可寫為：3Dj=6工SjEj(i=l,2,3)(1.4)j=i其中砌分別表示Di分量與Ej分量之間的比例關(guān)系數(shù)?？梢?，

13、完整地表示晶體的介電常數(shù)要用九個分量甸，這九個分量也隨著坐標(biāo)變換而變化。這就是二階張量的特征。從張量分析的角度看，矢量實際上是一階張量，和矢量對比來理解張量并沒有特別的地方，只是這種物理量是用更多一些分量來表示的量，張量的嚴(yán)格定義將在1.5中介紹。1.2坐標(biāo)變換和變換矩陣無論是矢量、二階張量或是更高階的張量，它們的分量都隨著坐標(biāo)變換而變化。正如圖1.2中所示同一個矢量，當(dāng)選取后一坐標(biāo)系統(tǒng)(X，X：X3)時，A矢量中有二個分量為零。那么對于張量來說，是否也可以找到一個最合理的坐標(biāo)系統(tǒng)，使張量分量簡化呢？雖然要找一個簡化張量表示的坐標(biāo)不那么一目了然，但也是可以找到的，因此有必要介紹一下從一個坐標(biāo)系

14、轉(zhuǎn)換到另一坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)表示方法以及這種坐標(biāo)變換引起的矢量分量和二階張量分量隨之如何變化的規(guī)律性。在研究晶體時，所經(jīng)常使用的坐標(biāo)變換，有這樣二個特點，一是變換到新坐標(biāo)軸時，坐標(biāo)軸代表的尺度不能變化，二是新坐標(biāo)系各軸之間夾角仍要保持直角。這種變換是最簡單的，數(shù)學(xué)上稱為正交變換。新、老坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸相對位置一經(jīng)確定，那么新坐標(biāo)中xr與老坐標(biāo)中X、乂、x3軸分別的夾角鴿、$2、&3也就確定了(見圖1.3)。我們令三個角度的余弦值分別為an=coseu,ai2=cos6i2au=cos6i3,此處，X以及X3,分別與三個老坐標(biāo)軸的6個夾角也是確定的，同樣辦法可以得到另外6個量心】、32、43、an.a3

15、2,a33,它們都是新老軸之間夾角的余弦，即acosX”Xj,如呆新老坐標(biāo)系之間，給出了上述九個余弦量，那么兩個坐標(biāo)系統(tǒng)之間的關(guān)系也就唯一地確定下來了.為了便于記憶和運算，我們可以把九個an三個為一組分成三組，每組排成一行，寫成如下三行.三列的一個方陣X1x2x3(老坐標(biāo)軸丿X/ananai3(新坐標(biāo)軸)X?anazza：3XVa3243這個方陣稱為變換矩陣，矩陣元素一般是a詳心的。如果給出這個變換矩陣，那么我們可以證明，任何矢屋和張量的分量，在這個坐標(biāo)變換下相應(yīng)的變化便可唯一地確定.設(shè)有矢量P在老坐標(biāo)系的三個分量分別為P_PsP3,P在新坐標(biāo)系中的三分量為PiPzP3(參看圖1P3(參看圖1

16、X2圖14矢量P在新老坐標(biāo)系中分量的關(guān)系圖中新坐標(biāo)只畫出了xr軸和分量p“顯然可看到,pr應(yīng)是pbp2,P3在xr軸上投影之和,即有：Pif=ajiPi+ai2P2+ai3P3(1.5)同理有：卩3二。3丿巴+心2卩2+%03(16)或?qū)憺椋簆iPj7=1(piPj7=1(H如果，反過來老坐標(biāo)中分量用新坐標(biāo)表示，顯然有:P=auPi+a2P2卩2二山2卩/+。22卩2+心2卩3(1.8)P3=ClnPl+Cl23P2+O?護(hù)3或?qū)憺?P嚴(yán)“眉（心1,2,3）（1.9）;=i1.3正交變換矩陣的性質(zhì)上節(jié)所述的正交變換，因為有二項限制，坐標(biāo)軸長短單位不能有伸縮，變換前后坐標(biāo)都保持為直角坐標(biāo)系。所以

17、（1.5）的矩陣中有幾個元素并不是完全獨立無關(guān)的.現(xiàn)在我們來證明這種正交變換矩陣的二個重要特性.變換矩陣元素的正交性新坐標(biāo)軸OX門0Xf,0X3,在老坐標(biāo)系中的方向余弦分別是第一行，第二行，第三行的三個元素.我們知道一個直線在直角坐標(biāo)系中的三個方向余眩的平方和必定等于1,所以有air+ai22+ai32=l(110丿a2r+a222+a232(110丿ajj2+aj22+aj：32=l上面三式可以寫為：3工血勺嚴(yán)1(假使心丿=1,2,3)*=11i=j01i=j0irj訕稱克龍尼克函數(shù)，把g排列成矩陣則有如下形式：q00、%=010(113丿01/(/J=1,2,3)(112)稱為單位矩陣，引

18、入5后，（110）,（1.12）六個關(guān)系式可以合并寫成如下形式:3(114)Y/Wkj=(114)k=l（a切矩陣元素之間的上述關(guān)系就稱為正交關(guān)系，共有六個方程，所以九個分量中其實只有三個獨立元素.矩陣行列式|肉|的數(shù)值總是等于1數(shù)學(xué)上可以證明，正交變換的矩陣的行列式的值=1.在數(shù)學(xué)課中知道一個三行三列的行列式的值有如下定義:770門（2233_3口32）0門（2233_3口32）+0口（21033_口23口31）+（15）32一如5）利用aij的正交條件可以證明aij=+1或一1.我們這里只指出a”值的重要性，如果值為+1,表示坐標(biāo)系的左右手螺旋不變，如呆為一1,表示這種變換將引起左右手螺旋

19、性的變換，我們僅指這個結(jié)論，不擬普遍地加以證明.1.4晶體對稱操作的變換矩陣晶體具有一定的對稱性，如呆只考慮宏觀物理性質(zhì)的各方向上具有的對稱性，晶體可分成32種不同類型稱為32種點群參看結(jié)晶學(xué)基礎(chǔ)講義，各點群對稱元素的極射赤平圖見附錄A.一.旋轉(zhuǎn)軸的變換矩陣設(shè)Xs沿某一晶體對稱軸，現(xiàn)在使坐標(biāo)軸X“X2繞X）轉(zhuǎn)動一角度6.新坐標(biāo)軸X,與X3一致，與X|,X與X2各轉(zhuǎn)&角（見圖1.5）.根據(jù)各坐標(biāo)軸的交角余弦很快可寫出九個分量的矩陣元素.,每一點群包含若干種對稱元素，宏觀對稱元素分為旋轉(zhuǎn)軸（1,2,3,4,6次軸），對稱平面，旋轉(zhuǎn)反伸軸如N軸，對稱中心，對晶體進(jìn)行一定“操作”，可以使對參看結(jié)晶學(xué)基

20、礎(chǔ)講義，各點群對稱元素的極射赤平圖見附錄A.一.旋轉(zhuǎn)軸的變換矩陣設(shè)Xs沿某一晶體對稱軸，現(xiàn)在使坐標(biāo)軸X“X2繞X）轉(zhuǎn)動一角度6.新坐標(biāo)軸X,與X3一致，與X|,X與X2各轉(zhuǎn)&角（見圖1.5）.根據(jù)各坐標(biāo)軸的交角余弦很快可寫出九個分量的矩陣元素.77圖i5繞X,軸轉(zhuǎn)e角度后，新坐標(biāo)軸的相對位置xr與x“x?,X3的夾角余弦分別為cose,8躍90。向,oxy與X“X2,X3的夾角余弦分別為cos900+6）,COS0,OX,與X“X2,X3的夾角余弦分別為0,0,1所以它所對應(yīng)的變換矩陣為cosCsin0、-sin0cosC0001,6次軸對應(yīng)的6值,分別為0=360,180,120,90,60

21、代入(1.16)即可，例如4次軸，6=90。代入（116丿得繞Xs旋轉(zhuǎn)的4次軸變換矩陣為:(117)-100(117)如果把坐標(biāo)軸X2或X】和轉(zhuǎn)軸一致，可以得到另一些變換矩陣，同學(xué)可自行練習(xí)寫出.二.對稱平面的變換矩陣一個對稱平面對應(yīng)的操作為對一平面作鏡面“像”，任一位置矢量P經(jīng)反映操作后和P完全重合，從數(shù)學(xué)上說，任何位置矢量在平面上的分量不變，而垂直于平面的分量則改變正負(fù)號，如杲把坐標(biāo)系的（X2X3丿平面取得和對稱平面重合，Xi和対稱面法線方向一致，那么相應(yīng)的坐標(biāo)變換是，新坐標(biāo)xy,x相對于x）,X3不動，而xr則變?yōu)?的相反方向（參看圖1.6）.因此立刻可寫出對應(yīng)的變換矩陣為：用Jk1階張

22、量327=33%J工工工”5動M/mit1mn四階張量481=34-SSSS氣c%勺sqrslqrstqrsl根據(jù)上述張量的確切定義，鑒別在物理學(xué)公式中岀現(xiàn)的某一個量究競是否是張量，其唯一的根據(jù)是某一個具有若干分量的一組量，是否遵從表A.1中某一級張量變換公式.因此很容易得出如下兩個結(jié)論.（1）任何二個張量的各分量，彼此相乘所得的若干量組成另一個張量，新張量的階數(shù)將是原來二個張量階數(shù)之總和.現(xiàn)以二個一階張量（矢量）為例，來說明這個推論，二個矢量分量彼此相乘必得如下九個分量.（片）（%,的）=人彳，兒?2,Pq,、PgRq“p皿上皿=皿、P,q,（129）PM3k=L1=1這九個分量Pq口，尸1

23、3）,利用（1.6PM3k=L1=1(130丿（1.30）和表A.1中所列二階張量變換公式完全一致，所以它們是一個二階張量.其它階數(shù)張量相乘可以用同樣辦法加以證明.因此三階，四階張量的變換規(guī)律分別和三個矢量及四個矢量乘積的變換規(guī)律一樣.（2）物理學(xué)公式中，某二個張量之間存在線性關(guān)系，有若干比例常數(shù)，那么這一組比例常數(shù)必然也是一個張量，它的階數(shù)也就是公式兩邊張量階數(shù)之和.1.5中已經(jīng)證明了兩個矢量D和E之間的比例常數(shù)閉，組成一個二階張量.如呆推廣到其它階數(shù)張量之間的比例常數(shù)，完全可以用同樣辦法加以證明.例如第二章的同為二階張量的應(yīng)力張量6j與應(yīng)變張量旬之間的比例常數(shù)是具有81個分量組成的彈性模量

24、C回，它確實是一個4階張量。又如壓電效應(yīng)中，電場強(qiáng)度矢量與應(yīng)力張量（二階）之間的比例常數(shù)d承，有27個分量亦可證明它是遵從三階張量的變換公式.因此在物理公式中出現(xiàn)的一些新的量只要確證其它量是張量，那么這個新的量是哪一級張量是不難確定的.這里還要再次著重指出，只有張量的數(shù)學(xué)定義才是判斷的唯一依據(jù)，譬如介電常數(shù)斶共有九個分量組成一個二階張量，這是上述幾節(jié)一再證明了的。但如呆有這樣九個量mf=ij,而且這九個量g（折射率）確實也隨坐標(biāo)變換而變化，那么它是不是組成一個張量呢？我們可以從張量定義出發(fā)來考察一下，因為它隨坐標(biāo)變換的公式是：nij=左7=J”gditSi（L31）顯然不符合表中二階張量的變換

25、公式，它既不是二階張量，也不是任何其它階的張量.只有（山滬=旬才是二階張量.因此晶體中其它很多性能如解理強(qiáng)度，表面能，屈服強(qiáng)度，電擊穿強(qiáng)度，晶體生長速率，聲速等等雖表現(xiàn)為各向異性，但和折射率本身一樣并不具有所要求的張量變換形式，不是張量。它可能與晶體內(nèi)某些張量性質(zhì)的物理量有復(fù)雜的關(guān)系.1.6張量的足符互換對稱一.對稱與反對稱二階張量一個二階張量如果將足符L,J次序互換后，兩個分量存在旬=旬的關(guān)系，稱為對稱二階張量，如果有-甸則稱為反對稱二階張量。反對稱二階張量的同足符分量甸次序互換后應(yīng)有汨-甸，因此陽=0（1,2,3）,所以把對稱與反對稱二個張量寫成矩陣的形式分別為如下形狀：11勺20耳2對稱

26、$23反對稱023/135,廠勺3_$2307一個與晶體物理性能相聯(lián)系的某些量究競屬于對稱張量還是非對稱張量或反對稱張量,純粹從數(shù)學(xué)的角度是無法判斷的，這是出于物理上的原因，取決于相應(yīng)的物理過程的能量關(guān)系，我們以介電極化過程為例說明介電張量是一個對稱二階張量.根據(jù)電磁學(xué)知道電介質(zhì)中電場的單位體積的總能量為：(132)(132)(132)(132)W=-DE2(1.32)微分得dW=DdE+EdD(133)方程右邊第一項是由于宏觀電場強(qiáng)度改變dE而引起介質(zhì)極化偶極矩在電場中的勢能變化部分，這不涉及到極化變化而引起的總能量改變，第二項才是直接晶體極化改變了dD引起的晶體內(nèi)能電能的增加.W=-DE2

27、(1.32)微分得dW=DdE+EdD(133)方程右邊第一項是由于宏觀電場強(qiáng)度改變dE而引起介質(zhì)極化偶極矩在電場中的勢能變化部分，這不涉及到極化變化而引起的總能量改變，第二項才是直接晶體極化改變了dD引起的晶體內(nèi)能電能的增加.后一項，才是真正與極化過程相聯(lián)系的總能量變化，所以晶體極化過程中總能的改變可寫為：dw=-EdD2=扣阿+E2dD2+E/DJ(134丿將關(guān)系式Di=ijEj(i=l,2,3)代入上式可得到7=1dW=cliEldEl+sl2EldE2+2+cllE1dEl+22E1dE1+.3E/E3+snE5dE1+上式對E!及E2的偏導(dǎo)數(shù)分別為：=(弓坊+6/3)(135丿(1.

28、36丿dWdE=(豈占+22E2+心疋了)(137)(138丿我們知道總電能W是宏觀電場獨立變量E3(138丿dddE2dE,血丿考慮(136)“37)代入上式得到:521=512(1.39)同理可以證明：Silken以及625=532所以介電張量是一個對稱二階張量.在晶體物理中重要的二階張量屬于可逆過程的都有相應(yīng)能量關(guān)系，因而都是對稱張量。此外一些不可逆過程有關(guān)的如電導(dǎo)、熱導(dǎo)系數(shù)等二階張量也是可以從另一角度證明絕大多數(shù)也屬于對稱張量(不可逆過程有關(guān)的二階張量，也可以從另外的角度來證明人多數(shù)這樣的物理量也是對稱張量，但是其證明涉及到不可逆過程的熱力學(xué)關(guān)系，己超出本課程范【韋|)應(yīng)力與應(yīng)變張量雖

29、然不存在能量關(guān)系，但從第二章中己證明也是燉稱二階張量.一個對稱二階張量的獨立的分量只有以下六個：Sil,S22,33,23=532,S13=S3hS12=S21下面我們在許多場合下，可以將對稱雙重足符簡化為一個足符來表示.簡化足符的數(shù)值可取1一6,其對應(yīng)關(guān)系定義如下：雙足符LJ11,22,33,23,13,12簡化足符1,2,3,4,5,6(1.40)為便于記憶，簡化足符的順序在二階張量的矩陣形式中按如下順序?qū)?yīng)起來:二.三階張量的足符對稱問題三階張量有三個角標(biāo)如山此，足符L,J,k間是否有互換對稱，也必須從物理過程中去考察.一般說正如1.5指出的三階張量都有相應(yīng)物理過程的公式和一個一階張量、

30、一個二階張量相聯(lián)系，如壓電效應(yīng)中有：3P產(chǎn)工血(1,2,3丿(141);=*=1或者如反壓電效應(yīng)(或稱電致伸縮效應(yīng))中有(壓電效應(yīng)與反壓電效應(yīng)參看45)工血Aa，J=l，2,3)(142)*=1(1.41),(1.42丿中的二階張量是對稱張量，那么可以證明，與二階對稱張量相對應(yīng)的二個足符存在互換對稱.所以一個三階張量，由于其中二個足符是對稱的，存在d承=(kj(kj對稱丿的關(guān)系，所以27個分量實際上只有18個獨立分量.四.四階張量的足符對稱問題四階張量有四個足符如彈性模量Ci，由于上述同樣道理，物理學(xué)公式中它所聯(lián)系的二個二階張量都是對稱張量(彈性模量參看2.4及2.5),那么四個足符將分為二組

31、(i,j)及(k,1)分別是對稱的，而且可以分別應(yīng)用簡化足符而使之簡化為二個足符表示，但足符數(shù)字都改取1一6,般說四階張量中的81個分量可減少為36個分量.但是，利用彈性形變的總能量的關(guān)系還可證明Cj兩個簡化足符之間也有互易對稱關(guān)系，如：Cn22=C2211C1123=C23U由于這兩種對稱性關(guān)系的存在，彈性模量的獨立分量將進(jìn)一步減少到21個.不過，這種簡化足符間的互換對稱，不是所有四階張量普遍存在的關(guān)系.如果相應(yīng)的物理過程中，不存在某種總能量變化的對稱關(guān)系，那么，簡化足符是沒有這種對稱的，如第八章的壓光系數(shù)，光彈系數(shù)等四階張量就沒有這種互換對稱存在，所以它一般仍保持36個分量.以上利用足符的

32、互換對稱而使用簡化足符，僅僅是為了在計算某些物理學(xué)公式時使得變數(shù)盡可能減少，但必須十分注意的是，使用簡化足符，并不是張量階數(shù)降低了，所以在坐標(biāo)變換時要決定張量各分量的變化時，絕對不能應(yīng)用簡化足符.17張量的矩陣表示和矩陣的代數(shù)運算為了書寫與運算的方便，常常把物理學(xué)公式中的矢量與張量寫成矩陣的形式，譬如方程（1.4）0=/可寫成下列形式：j=in勺2勺3d2=気*21*22*23(143丿$32$33丿要用（1.43）來代替（1.4）,實際上必須事先約定一些規(guī)則為前提.S（1）約定任何一個矢量2（即一階張量）的三個分量都可以寫成,稱為三行一37列矩陣.（2）約定一個二階張量，可以寫成5、$22$

33、2331占32*33丿稱為三行三列矩陣，分量州，寫在矩陣的第L行和第J列位置上.（3）方程（1.43丿等式右邊兩個矩陣連寫在一起，表示兩矩陣的乘積，所以還要事先約定一個矩陣的乘法規(guī)則.某一個矢量比、張量Tij,或者坐標(biāo)變換的相應(yīng)矩陣夠，我們都用P,I,A等符號下加一橫來代表，（通常書籍中用黑體字表示）.現(xiàn)在我們來規(guī)定矩陣的乘法規(guī)則.設(shè)有一個m行n列矩陣A和一個n行P列矩陣生，相乘后得出另一m行P列的矩陣乙.乘積是這樣規(guī)定的：n7,1=SaijPjk+iPik+（144丿;=1k是A中的第行各元素分別乘上B矩陣的第k列的各元素的總和為乘積丫矩陣中的第溝元素為明白起見，舉一個數(shù)學(xué)例子:p32、02

34、)519、1-1331=-925(145丿214z8丿37,乘積矩陣中第一行第一列元素等于第一個矩陣的第一行元素分別乘上第二矩陣的第一列元素之和，即：OxO+3x3+2x(-2尸5其它乘積矩陣元素的值，可按此規(guī)則乘得(1.45)的結(jié)果.在矩陣乘法中必須注意二點：1.兩矩陣相乘前面矩陣的列數(shù)必須和后面矩陣的行數(shù)相等，否則兩矩陣不能相乘.2.兩矩陣相乘的次序顛倒是不相等的，即ABBA.例如：有了事先約定的上述各規(guī)則，那么物理學(xué)公式(1.43)與(1.4)表示完全同等.(1佝(147)有了矩陣運算的上述規(guī)則，同樣可以應(yīng)用到矢量和二階張量的變換公式，用矩陣形式可表示出來，同學(xué)可以自行證明，矢量P(1佝

35、(147)九勺2孤、5a2231an嘰r=AP式中，A為坐標(biāo)變換矩陣.二階張量的變換公式可寫為:勺2勺2叮九215、$22=%23%。22務(wù)丿%&33丿“3。23嘰(148丿式中A是坐標(biāo)變換矩陣，4是A的轉(zhuǎn)置矩陣，即將A中的行換為列，列換為行的矩陣.物理學(xué)公式和張量的坐標(biāo)變化的運算利用矩陣符號將簡潔得多，在各項具體展開時，不易搞錯，有很大的方便.譬如一個矢量P經(jīng)連續(xù)坐標(biāo)變換二次，最后的變換公式用矩陣符號運算就簡單得多，設(shè)第一次變換為A,第二次變換為則有：里=AP及Pn=BP前式代入后式得到最后變換公式為:(149丿(150(149丿(150丿式中Q=M最后變換必定相當(dāng)于進(jìn)行變換C,正好是BA的

36、乘積.行數(shù)列數(shù)(mx相同的矩陣可以相加，有：C=A+B其中矩陣元素有下列關(guān)系：Cjj=cijj+bij(1-51)其它更高階的張量，如第四章遇到的壓電系數(shù)山近第七章中遇到的電光系數(shù)丫址，第六章中的非線性系數(shù)d址為三階張量以及第二章遇到的彈性模量C訓(xùn)，聲光系數(shù)P明為四階張量，不能直接寫成矩陣形式，但是我們可以利用它們兩個足符的互換對稱性(即LJ可互換或kl可互換)將其指標(biāo)簡化后，物理學(xué)公式在形式上也可以寫成矩陣形式，這將在有關(guān)各章中分別加以介紹.1.8二階對稱張量的幾何表示和二階張量的主軸晶體物理中遇到的二階對稱張量比較多，我們應(yīng)該比較熟悉它隨坐標(biāo)系變換的性質(zhì).同時二階張量的變換公式中只出現(xiàn)二個

37、變換矩陣元素的加和符號，比較簡單，有可能在空間中用一個幾何曲面來形象地表示它和坐標(biāo)系之間的關(guān)系.一個矢量可用某方向上一定長度的直線來形彖地表示它在該坐標(biāo)系中的三個分量，三個分量相應(yīng)于在三個坐標(biāo)軸上的投影，坐標(biāo)系變換時，可形彖地看到三個投影的人小也在相應(yīng)改變.下面介紹二階張量對應(yīng)的幾何表示.我們現(xiàn)在按下式定義一個空間二次曲面：(152)展開出來就是：(1.53)txr+sM+s泌兒+s2lx2xl+s22x22+S25X2X,+S31X3X1+S32X3X2+S33X32(1.53)=1如果有SSa(1.53)變?yōu)椋簬讈V：+2S23X2X3+2S13X1X3+2SY1XYX1=1(1.54)從空

38、間解析幾何的知識，我們知道(154丿是一個以坐標(biāo)系原點為中心的二次曲面方程，或者是一個橢球，或者是一個雙曲面。坐標(biāo)系變換時，曲面方程的各項系數(shù)也相應(yīng)變化，現(xiàn)在假定坐標(biāo)系從OX,OX2,OX3變?yōu)镺X門ox2ox/,則有X產(chǎn)工Xj=Q(jX(1.55)代入(1.54)有:經(jīng)整理新坐標(biāo)系中，曲面方程中XFXQ頁的新系數(shù)為:Sr=工akiaijijkl=l(156丿(157丿(156丿(157丿工SJXXH(1-58)我們可以明顯地注意到，一個二次曲面的各系數(shù)的變換公式(1-57)和二階的變換公式完全一樣.因為二次曲面的系數(shù)對L,J是對稱的，SfSp,所以說二次曲面的系數(shù)就具有二階對稱的特征.因而任

39、何一個二階對稱張量閉，在幾何上都可以用下述曲面來形象地表示：工護(hù)”=1(1.59)i、j=對稱二階張量的六個分量相應(yīng)于這個曲面方程的六個系數(shù)，這個曲面稱為該張量的表彖曲面，正如一個矢量可用在某方向上一定長度線段來表示，它的三分量是三個坐標(biāo)上的投影,而一個對稱二階張量有六個分量，則要用一個空間曲面表形象地表示，它的分量為曲面方程的六個系數(shù)，這樣的表示在直觀上有很人好處，因為大家對二次曲面在各坐標(biāo)系統(tǒng)中的方程變化比較熟悉，下面將看到，利用表象曲面可以很快地看出它代表的張量所決定的物理性能在各方向上所具有的對稱性.我們在空間解析幾何中已經(jīng)知道，一個二次曲面，有一個重要特性，總可以找到三個正交的坐標(biāo)系

40、統(tǒng)中曲面方程中交叉項系數(shù)都等于零.曲面方程有如下簡單的形式：+C22X22+63X3,=1(1.60)由此可見，一個二階對稱張量，一般情況下有六個分量，但是實際上，只要找到適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系統(tǒng)，僅需要三個分量就可以完全確定，使所有LHJ的旬=0的三個坐標(biāo)軸稱為張量主軸,這時三個不等于零的分量8U,822,833稱為二階張量主值，如果三個主值都是正值，那么它的表象曲面就是大家熟悉的橢球方程：crZr(T(161丿其中Cl=y(161丿11*22見圖18(a)如果三個主值中二個為正，一個為負(fù)，是一個單葉雙曲面見圖1.8(b),主值中二個為負(fù)，一個為正，是一個雙葉雙曲面見圖18(c)(c)(c)圖18二階

41、對稱張量三種可能的表象曲面橢球(b丿單葉雙曲面雙葉雙曲面根據(jù)以上分析，當(dāng)二階對稱張量在取主軸為坐標(biāo)軸時，不為零的分量只有三個，具有最簡單的形式.這時的物理學(xué)公式也具有最簡單的形式.例如電位移與電場強(qiáng)度間關(guān)系為：D：=工%Ej2,3)(162)7=1如果取砌的主軸為坐標(biāo)軸，有：Di-3)hEiD?二GG2E2(1.63)/=SD3ED在&方向的分量Di只與Ei有關(guān)，D?只與有關(guān)，Ds只與Es有關(guān)，當(dāng)血擔(dān)詳尬時，D和E般說方向并不一致，這是各向異性晶體必須存在的現(xiàn)彖，但是張量的主軸卻是一個特殊的方向，當(dāng)E恰好平行于某一主軸方向，譬如沿著OX】軸，即E123窓；zrIX=、丿、123窓；zrIX=、

42、丿123XXXoO4123-2O具體寫出聯(lián)立方程為:-X1-X.+O=ZY1212-1一丄X.+-X.+0=ZY220+0+4X3=陸令系數(shù)行列式為零：(168)004-A(1.69)乘出行列式值得到:整理后得(1.70丿(V-3U2X4-X尸0求出九的三個根為：=1,九”=2,九小=(1.70丿將貯代入(1.69)得lx丄XJ=022-X/+-XJ=0212*3XJ=0解得：xr=o,xr=xr兇=推+卜2打=厲險再將九代入(1.69)得：一丄x“丄x,”=o22(172丿一丄丄XJ=0(172丿3XJ=0得：xr=o,xr=xr|xn|=V2|x1,|再將肝代入(169)得：-X/1匚丄x

43、/u=0(1.73)2122(1.73)-X.H1H=022得X嚴(yán)=X2叫0,XC區(qū)小|=|丈冷三個主軸的方向余弦各為：=,X1M-1_V2O,=1一=,X1M-1_V2O,=1一L，/=0(172)如果要將坐標(biāo)系變換到主軸坐標(biāo)系則要進(jìn)行下列變換:(11)H疋0(1.73丿2吉(1.73丿001這個變換相當(dāng)于繞坐標(biāo)軸&轉(zhuǎn)動45。角(見1.4),這主軸坐標(biāo)中張量分量按(1.48)式為:S=ASA如果按1.7中所述的矩陣乘法來計算很方便地可得到：100、(主軸坐標(biāo)系)S*=020004丿S的三個主值確為貯,九篤壯”的數(shù)值.110晶體張量與晶體對稱性的關(guān)系晶體宏觀物理性能必然反映晶體內(nèi)部結(jié)構(gòu)的對稱性

44、，因而某種物理性能的各階張量的分量也必然受到晶體宏觀對稱性的制約.換句話說，晶體各張量分量由于應(yīng)該反映這種對稱性,因而有些分量必須為零，有些分量之間應(yīng)存在一些關(guān)系，完全獨立的分量將進(jìn)一步減少，最為明顯的例子是有壓電效應(yīng)的晶體的點群類型均是沒有對稱中心的下面我們將證明有對稱中心時，壓電系數(shù)的所有分量均為零，而有熱釋電效應(yīng)的晶體，由于對稱性的制約，只能是20種壓電類晶體中10種類型.本節(jié)主要討論宏觀物理性能和晶體微觀對稱性之間的關(guān)系,這對于晶體物理效應(yīng)的應(yīng)用來說，熟悉這種關(guān)系是重要的.物質(zhì)與場張量上面我們討論張量的一些普遍性質(zhì)時沒有去嚴(yán)格區(qū)分我們可能遇到的兩種不同的張量:一種張量是直接與晶體本身屬

45、性相聯(lián)系的物理參量，另一類是外界施加于晶體的物理量.舉例來說，晶體受到外應(yīng)力作用時，晶體中將存在應(yīng)力場，這個應(yīng)力場是用二階應(yīng)力張量來描述的，雖然它是一個張量，但不是晶體本身屬性決定的，而是由外界施加應(yīng)力的方式?jīng)Q定，顯然不受晶體本身對稱性所制約，即使是各向同性的物體，只要外界應(yīng)力各方向不一樣，內(nèi)部應(yīng)力決不會是各向同性的.因而應(yīng)力張量和直接屬于晶體自身物理屬性的參量如介電張量，熱膨脹，熱傳導(dǎo)系數(shù)等二階張量不同，前者是外界施加于物體的，不受晶體對稱性制約，我們稱之為“場張量”，后者是晶體自身屬性的參量，受晶體對稱性制約，稱為“物質(zhì)張量”.一階張量中外加電場也屬于場張量，熱釋電系數(shù)則屬于一階的物質(zhì)張量

46、.因此，下面我們的分析對稱性對張量的影響，都是分析“物質(zhì)張量”.不過在具體問題中，只要注意到這一點，那么兩種張量是不易混淆的，今后我們?nèi)圆患訁^(qū)分，統(tǒng)稱為張量.諾埃曼原理我們說晶體宏觀物理性能應(yīng)該受到晶體對稱性的制約，這并不意味著要求在各方向上物理性能具有的對稱性一定和晶體所屬的點群類型的對稱性完全一致.，而是要求物理性能的對稱性應(yīng)包含晶體所具有的點群對稱性，或者說至少不能低于點群對稱性，這個原理一般稱為諾埃曼(Neumann)原理譬如我們下面將證明的，一個屬于立方晶系任何一個點群的晶體,它的介電極化性能或者光折射率各方向上的對稱性并不一定和點群對稱性一致而有立方的對稱.事實上這兩種物理性能表現(xiàn)

47、出來的卻是各向同性的比立方對稱還要高.各向同性等于說是什么對稱都有，就像幾何圖形的球體所具有的對稱性一樣，它當(dāng)然包含了立方的對稱性，這就不違背諾埃曼原理假如介電性能與光折射率表現(xiàn)為只有一個四次對稱軸的各向異性，那么就和諾埃曼原理違背了，這是絕對不會出現(xiàn)的.由于一階和二階張量都有比較形象的幾何表示(一階張量可視為一個矢量的三個分量，二階對稱張量可視為一個二次曲面方程的六個系數(shù))，利用諾埃曼原理可以很方便很直觀地找出晶體對稱性對物理性能，即對相應(yīng)張量的判約關(guān)系.我們僅僅舉兩個簡單的例子來說明上述辦法.第一例：具有熱釋電效應(yīng)的晶體只有10種點群.熱釋電效應(yīng)的物理方程是Pi=(XiAT(1=1,2,3

48、)(1.74)晶體在溫度改變時，晶體產(chǎn)生的自發(fā)極化強(qiáng)度矢量的三個分量和AT成正比，8是熱釋電系數(shù)(為一階張量).對不同的晶體三個分量8是各不相同的.當(dāng)然的晶體來說8是一定的，也就是只要有溫度改變量熱釋電效應(yīng)產(chǎn)生的自發(fā)極化強(qiáng)度P總是沿著這個晶體的某一方向，因為根據(jù)方程(1.74)P的方向是(1=1,2,3)所決定的，熱釋電物理效應(yīng)造成的自發(fā)極化強(qiáng)度P的指向就體現(xiàn)了這個物理性能上各方向上的差異.應(yīng)用諾埃曼原理，就是考察一下己有這個極化強(qiáng)度P的晶體是不是還能保持這個晶體所屬點群的對稱性，因為如呆P所具有的對稱包含了點群對稱性，那么點群對稱性就能保持，如呆不能包含，就會和原有的點群對稱性相抵觸.用這個

49、角度來考察它對一階張量，即對P的分量(.兩者只差一!)的制約有如下四個結(jié)論：有對稱中心的晶體，如呆存在極化矢量P的話，不論它指向如何，破壞了晶體的中心對稱，所以P=0,即ol的分量都為零，不會有熱釋電效應(yīng).如果晶體沒有對稱中心，但只有一根對稱軸(2,3,4或6次軸)，P如果不沿著這個對稱軸，就與點群對稱性抵觸見圖1.9(,如果P沿著這個軸，就可保持原有的點群對稱性，即允許有熱釋電效應(yīng).但是現(xiàn)在晶體的對稱性對P的指向是有限制的，P的三個分量中，只允許沿著對稱軸方向分量不為零，垂直于對稱軸分量都必須為零見圖1.9(.如果坐標(biāo)軸Xs取在對稱軸上，那么8弋0,0,5).(山)同理，晶體如只有一個對稱平

50、面，那么只有P躺在這個對稱面內(nèi)，才能保持原有對稱性，此時，對P的制約是垂直于對稱面的分量必須為零.如果坐標(biāo)軸X2取在對稱面法線方向上，則a(8,0,5)(見圖1.10).(巧(3圖1.9對稱軸對一階張量的限制但丿戸不在對稱軸上，破壞了軸的對稱(b丿P沿對稱軸方向，對稱軸的對稱性仍可保持(w)晶體中雖無對稱中心，但有4,6或者有一個以上對稱軸，或者有一個對稱軸并垂直于該軸有一個對稱平面的諸點群類型，P不論指向如何，都破壞了點群對稱性，故oc的三分量均為零也就沒有熱釋電效應(yīng).綜上所述，易IJ除,(兩項結(jié)論中所指出的無熱釋電效應(yīng)的點群類型，那么32種點群中只有如下10種是熱釋電類晶體.TOC o 1

51、-5 h z12346mmm23m4mm6mmX2X2(b)圖110對稱平面一階張量的限制(如戸不躺在m內(nèi)，對稱破壞P躺在m內(nèi)，m對稱性可保持第二例凡是立方晶系諸點群，其對稱二階張量三主值必相等，其它分量均為零，表像橢球必蛻化為球.既然表彖曲面的形狀和相對坐標(biāo)軸的一定方位時的曲面方程，它的六個系數(shù)可以完整地代表二階對稱張量的六個分量，那么應(yīng)用諾埃曼原理考察晶體對稱性對張量的制約，就是考察晶體中“放”進(jìn)這個曲面后能否保持原有點群對稱性的問題.立方晶系諸點群的共同點是至少有一個三次軸和一個二次軸（可參看附錄A中的點群極圖）.如果這兩個對稱元素的制約就足以使表象橢球蛻化為球的話，那么其它任何對稱元素

52、均可自動滿足了.從圖1.11可清楚看到（a）曲面為橢球，無論方位如何.對稱軸2和3的對稱性均遭破壞，（b）如呆曲面蛻化為旋轉(zhuǎn)橢球即垂直于某一主軸的截面為圓并且這個主軸平行于對稱軸，則3次軸對稱性保持，但2次軸對稱性遭破壞，（c）只有蛻化為一個球時，方能同時保持二個軸的對稱性.曲面蛻化為球時，曲面方程只有三個主值不為零而且相等，其它交叉次項系數(shù)均為零，于是問題得證.用類似方法可很快證明三方，六方，四方晶系諸點群，曲面蛻化為旋轉(zhuǎn)橢球，并且方位上也有了限制，即垂直截面為圓的軸平行于高次軸，這類點群的晶體在光學(xué)上稱為單軸晶體.還可證明正交，單斜，三斜晶系諸點群，曲面仍為一般橢球，但方位的限制上三晶系有

53、所不同，這類晶體光學(xué)上稱為雙軸晶體（光學(xué)上的單軸晶體和雙軸晶體將在第五章詳細(xì)討論八圖1.11相交的三次軸和二次軸對稱性對表象橢球的限制（a）任意橢球（b丿旋轉(zhuǎn)橢球（垂直于圓截面的主軸平行于3次軸）（c）球至于前已證明的立方晶系，它的表象曲面蛻化為球，由此可見對于任何一個與二階張量聯(lián)系的物理性能，在立方晶系的晶體中完全和各向同性的物體一樣，所以介電極化和光學(xué)折射率（它的平方為二階張量）是和二階張量相聯(lián)系的，因此它們在立方晶系中具有各向同性的性質(zhì).二階張量和對稱性的關(guān)系其結(jié)果列于附錄A的表A?中.利用對稱變換確定對稱性對張量的制約一階張量和二階對稱張量和對稱性的關(guān)系，可利用形象的幾何圖形來考察，對

54、更高階的張量必須用對稱變換的方法加以考察，這是一種適用任何階張量的更為普遍的方法.任何階數(shù)的張量I，經(jīng)過晶體所屬點群對稱變換后得到新坐標(biāo)系的張量F,因為這個變換是晶體對稱元素相應(yīng)的變換，所以變換后的物理性能應(yīng)該和未變換前完全一樣，即要求：r=i(1.75)(1.75)等式表示張量各分量之間彼此相等，所以是一組聯(lián)立方程，從方程中便可找出，由于該對稱元素的存在，在張量分量之間制約關(guān)系.現(xiàn)在舉三個例子來說明上述方法.第一例點群4的二階對稱張量具有下列矩陣形式：00、T=0t120(X3軸4次軸時)(1.76丿0卩33丿(010、點群4有一4次軸，設(shè)Xs軸4次軸，根據(jù)14(1.17)式，其變換矩陣力=-100301丿根據(jù)1.5所述二階張量口的變換規(guī)律與兩矢量乘積XXj的變換一