北航固體物理課后習題

1、例德拜模式密度表達式對三維單原子點陣，試導出德拜模型下的模式密度的解v，由式(51)令 43LV6NKK3K2例德拜模式密度表達式對三維單原子點陣，試導出德拜模型下的模式密度的解v，由式(51)令 43LV6NKK3K2K3 dz2gg2 2 DD2 N, 3d dKK32 2 3 dKK2D式中 是縱波的波速，速v6KD dN 23213 v3式中 是縱波的波速，速v6KD dN 23213 v3Dg 2gv 22 2 il0l()的模式存 52 模式密度的范霍夫Hove)奇(a)對只考慮最近鄰互作用的一維單原子點陣，簡正模式的色散關系為式是簡正模式的最高頻率。，C 是力常數(shù)，M 明體積的模

2、式密度為在處，有一奇點，稱為一維模式密度的范霍夫奇點(b)在三維情況下，范霍夫奇點并不是指模式密度本身發(fā)散，而是模式密223()的模式存 52 模式密度的范霍夫Hove)奇(a)對只考慮最近鄰互作用的一維單原子點陣，簡正模式的色散關系為式是簡正模式的最高頻率。，C 是力常數(shù)，M 明體積的模式密度為在處，有一奇點，稱為一維模式密度的范霍夫奇點(b)在三維情況下，范霍夫奇點并不是指模式密度本身發(fā)散，而是模式密223D gKin g D23v12m DK 0K0 2 ；對于0 g0試證明，對于 g 1 003 2在0K 0K0 2 ；對于0 g0試證明，對于 g 1 003 2在0處，模式密度的導數(shù)

3、不連續(xù)。該處稱為三維模式密度的范解sin12(a)maK在1m 2v d acos1m g221a2a222 1m2代入一維模式密度的式(5.3)1g1 gm在 mg 是發(fā)散的54(b)對于三維晶體，設長光學支的色散 m 稱為一維模式密度的范霍夫奇點0 AKKA K的頻率等值面內所包含的模式數(shù)為對，有K A、B、A、B、(極小(極大(3A、B0，C0，(第I 類鞍點(4)A、(第II 類鞍點和55對，有K A、B、A、B、(極小(極大(3A、B0，C0，(第I 類鞍點(4)A、(第II 類鞍點和551L3g3N2 2 BL g3V 0 c31322 解( Vdgs ns ,TU 解( Vdgs

4、 ns ,TUsgs 是第s 支色散關系的模式密度，ns ,T 是溫度為T 時頻率為s K 的1,Tns Ks1確定，式中d U EE E式中E 是單原子點陣中 N (510)，點陣熱e U 3NkB E 2CV e 2引入E kB,E eE CV 3NkB E eE(510)，點陣熱e U 3NkB E 2CV e 2引入E kB,E eE CV 3NkB E eEE 時，將e T當1E TTCV E e 此值為點陣熱容的經(jīng)典值當CV T , 2D,U V0 e 2 2 D 2 2 0式中D 62v3N V 是德拜截止頻率引1 x , xD D T稱為德拜v62N1D kVB 3Vk4T3

5、U B2 2 e x0Tx9NkBTDD e x0式中N是晶體中的原子數(shù)將式(8)TU 4e 2 T2 B3稱為德拜v62N1D kVB 3Vk4T3 U B2 2 e x0Tx9NkBTDD e x0式中N是晶體中的原子數(shù)將式(8)TU 4e 2 T2 B3 e B2 D 0 xD 當1，將ex 展開1 x3 C VB D 0同樣得到點陣熱容的經(jīng)典值當D x Dex 1dx 0061 4301U3T5BD125 TCV B B D D 3這就得到了低溫下點陣熱容的定律它與實驗符合甚好德拜熱容和愛因期坦熱容隨T 563低溫下點陣熱容的3低溫下點陣熱容所遵循的定律3這就得到了低溫下點陣熱容的定律

6、它與實驗符合甚好德拜熱容和愛因期坦熱容隨T 563低溫下點陣熱容的3低溫下點陣熱容所遵循的定律(a)首先計算在足夠低的溫度下，近似有多少簡正模式(b)其次證明在經(jīng)典近似下每個模式對熱能的貢獻大約為T，與T3 成(c)最后由以上結果證明低溫下點陣熱容的數(shù)量級為 BD 是晶體中包含的原子數(shù)。比這里 是德拜溫3但可以直觀地解釋定律的由來解(a)粗略地說，在一定的低溫T 下，只有 kBT 的振動模式才能被激發(fā)， KTvv vK KDv434333DKTTD T3N3NTD KD 隨溫度按T 3 規(guī)律變化(b) KDv434333DKTTD T3N3NTD KD 隨溫度按T 3 規(guī)律變化(b)由普朗克分

7、布，在溫度T ，頻率為 的振動模式上占據(jù)的平均聲子1ne 當 kBT nn均為kBT (c)由以上分析得到低溫下點陣熱能的近似式 U 3N D U B D CV T即3上述的分析清楚地低溫下點陣熱容所遵循的定律是由于低3激發(fā)的模式數(shù)在按規(guī)律變化的緣故 dg 1dg 12VV式中C0是熱容的經(jīng)典值，按照杜隆玻替定律，C0 3Nk ，NV dg 1dg 12VV式中C0是熱容的經(jīng)典值，按照杜隆玻替定律，C0 3Nk ，NVVBg 是簡正模式密C C0(b)CV C0 V 1240 dgdgr (c)如果晶體是單原子布喇菲點陣，原子對間僅僅通過對勢相互作用N2 d2g 解(a)在溫度T 時，簡諧晶體

8、的能量K s KU e sK 0s2KK式中是平衡時的點陣能；第二項是簡正模式的零點動能；第三項是熱能，求1 sKC T sK VKxK ，在高溫x 1。將式(5)s1 1 x B1B2x4 B3x6 B4x8 2其式中是平衡時的點陣能；第二項是簡正模式的零點動能；第三項是熱能，求1 sKC T sK VKxK ，在高溫x 1。將式(5)s1 1 x B1B2x4 B3x6 B4x8 2其中B 1111B , B , B 1234n6式(6)中前三項代入式(5)并略以上的高次項，于1 K K2C k TsVB2k k KB2 K 121KT sBsk KBK 2 kk sB Bk KKC0 V

9、V而 s Kk 3Nk ,C VBk K,s K1Vdg K 2sKVg 1dg dg 12Vk V于是式(1)得證 CV 就是簡諧晶體高溫熱容量子修正的首(b)將展開式(6)取到第 4 項，代入式(5)C C 0CVVK kB C1 sVk K,s 1dg dg 12Vk V于是式(1)得證 CV 就是簡諧晶體高溫熱容量子修正的首(b)將展開式(6)取到第 4 項，代入式(5)C C 0CVVK kB C1 sVk K,s 4 K 1sV720K,s 3k B4 K ksB240K,s C是簡諧晶體高溫熱容量子修正的VK 4 11sV240k KV 1 dgdg T k (c)設晶體結構屬于

10、單原于布喇菲原子間只通過對勢 r 相互作DK KK 2s1,Msss其中是偏振矢量，D(K)是動力學矩陣、上式又可s1KDReiKR KK 2sssMK或1MDKReiKR K K 2s兩邊同乘以s K ，并求有eeDDRRKKNDs R,0 1有eeDDRRKKNDs R,0 12 KN D KK s1sK KK s1,2ss R eDRKss2K,s M 1K M 01 eD R K N e D RK,s M K R56 本非簡諧效應對點陣熱容的影響為簡單起見，考慮經(jīng)典模型設原子相對于平衡位置的位移為時原子的勢能為式c、g、均為大于零的常數(shù)試證明在經(jīng)典模型下該原子(看作一維經(jīng)典非簡諧振子)

11、對點陣熱容的貢獻為解u，Z1 gx 56 本非簡諧效應對點陣熱容的影響為簡單起見，考慮經(jīng)典模型設原子相對于平衡位置的位移為時原子的勢能為式c、g、均為大于零的常數(shù)試證明在經(jīng)典模型下該原子(看作一維經(jīng)典非簡諧振子)對點陣熱容的貢獻為解u，Z1 gx 2 3pMEp,x 2 Z xxkcR VBBk2c 8ch 2m 0MR p cx2gx3fx41h1hZ e 2 cx gx 1 12m12gx fx g x 342 6e1h21 cx3ecx2 dx p cx2gx3fx41h1hZ e 2 cx gx 1 12m12gx fx g x 342 6e1h21 cx3ecx2 dx 21 3 1

12、 x4ecx2 dx 4cc 31 1 x6ecx2 dx 15c c8 1 2 312m12 1511 f 2g2Z h cc c82m12 g3h 14 16 23cf 15 g 12 1 u lnZ ln 24 ln1x 有3 f 15 g2 1f 15 g2 ln1224 4 三維晶體中有N 個原子，每個原子有3 d-維晶體的低溫熱容很容易將 54 題中的結論加以推廣，可以預計，對 d-維晶體，低溫下的點陣熱容將按規(guī)律變化為此，要求從數(shù)學上證明d-維簡諧晶體的低頻模式密度按規(guī)律變化；(b)由此導出 d-維簡諧晶體的低溫熱容規(guī)律趨于零(c)如果簡諧晶體的簡正模式頻率不是和波矢 K 成正比

13、，而是和成正比，則 d-維簡諧晶體的低溫熱容將按規(guī)律趨于零解三維晶體中有N 個原子，每個原子有3 d-維晶體的低溫熱容很容易將 54 題中的結論加以推廣，可以預計，對 d-維晶體，低溫下的點陣熱容將按規(guī)律變化為此，要求從數(shù)學上證明d-維簡諧晶體的低頻模式密度按規(guī)律變化；(b)由此導出 d-維簡諧晶體的低溫熱容規(guī)律趨于零(c)如果簡諧晶體的簡正模式頻率不是和波矢 K 成正比，而是和成正比，則 d-維簡諧晶體的低溫熱容將按規(guī)律趨于零解(a)對低頻簡正模式可以用德拜模型，即色散關系近似為直線， d1d vCg kdKdK2u d VB sVss1 3f151g5g22 k KB d2 2 3 B 4

14、c 16c8 2ss為1gd v d2 s設 Z v KdK 1dZ svZd 1 dZg 2sd 12為1gd v d2 s設 Z v KdK 1dZ svZd 1 dZg 2sd 12sgd(b)gAd1 A是某一常數(shù)d-dg C V101這里 ，將式(4)代入式(5)，d C e 1V0令 x ，則dx d ，式(6)化dk xd1 xkBT T C BVe x1B Td1 T AV Bkex 10顯然，d維簡諧晶體的低溫熱容按Td (c)如果色散關系K v ssddgs 2 v s1d v dss令 Z vsK dZ vsKZ1v1ddgs 2 v s1d v dss令 Z vsK d

15、Z vsKZ1v1s11dK vs g 的表達式v1 Z 1Z1g zddZ vs 2vs s1 d ZdZZd2 sdZ BdZZdg 于是ddg C V 0d T0dVBT 0 d 令x ，有d ，d xkBT k ex C B V 0d xd d1VBkB B Te 1T x0CTdd其中C 也是常量由看到，d維簡諧d xkBT k ex C B V 0d xd d1VBkB B Te 1T x0CTdd其中C 也是常量由看到，d維簡諧晶體的低溫熱容按規(guī)律變3 8 v ，其中v是聲速，是點陣的質量密度， 23DDR x 2 RD4 x 3對于任何物理測量來說的發(fā)散是不重要的解E n 1

16、2K x 為u u0 cosKxt1E V 2 k04 1n 11E 2 V22k41u 2 n22 0這就是點陣的零點振幅的平方而位移u u2 u2 1Tcos2tKx0 T02u02u2 1u 2 n22 0這就是點陣的零點振幅的平方而位移u u2 u2 1Tcos2tKx0 T02u02u2 u2 K,s K用模式密g 把K，s 的求和化為對 g Dd0g D 33dD32 8 220的平方成正比和聲速三次方戊反(b)對一維點陣，德拜模式密度為1gD d0dDlnD2200R有 x Ru x 由式K,s u Ksint0D d0dDlnD2200R有 x Ru x 由式K,s u Ksi

17、nt0u于是x 22uT u T xx0Tu K tKx 20T0 1u2K02R12 u x K2D 21 v v 0DMN L，M 2 R 4 x R x 表面張力波的頻率v 和波長 和3表面對液氦比熱的貢獻與德拜定律類似能F E Ts，試說明在絕對零度附近若已知 如解由表面張力波的頻率v 和波長 的表面張力波的頻率v 和波長 和3表面對液氦比熱的貢獻與德拜定律類似能F E Ts，試說明在絕對零度附近若已知 如解由表面張力波的頻率v 和波長 的關 2 K波矢空間的頻率等值面是圓，頻率為 的等值線內包含的模式數(shù)KN K2 L2AN4 41 dN21g13 1 21式中 E 0 g0 0 g

18、d g 2E0 u 式的截止頻率，要確定c 可以用無窮大代替積分上限溫下的數(shù)值是無關緊要的，因為這設1式中 E 0 g0 0 g d g 2E0 u 式的截止頻率，要確定c 可以用無窮大代替積分上限溫下的數(shù)值是無關緊要的，因為這設x ，而d 將式(5)代入式(6)0 1 2 04 gd 0 0 u 3 2 3 T 7 1x4 x B 3e 0 x0 7 23Tx4 1u B 3e x0T 73 其中 為常量由式(7)c u 7T43表面比熱和成正比4 面積的 7T43Ts 0TE絕對零度時能為 布喇格反射譜線的強度減小了一個因子，稱為德拜瓦勒爾因子 式是剛性點陣譜線的強度，G 是倒易點陣矢量，

19、u 相對于平衡位置的位移Hz，試求在 T0K 和 T300K，G108cm-1 的譜線強度減弱到多少？設原子質量解G u將 3cos2代入式(1)布喇格反射譜線的強度減小了一個因子，稱為德拜瓦勒爾因子 式是剛性點陣譜線的強度，G 是倒易點陣矢量，u 相對于平衡位置的位移Hz，試求在 T0K 和 T300K，G108cm-1 的譜線強度減弱到多少？設原子質量解G u將 3cos2代入式(1)T 0 ETs2222u2u2uuT 7702 4 741 u2 I 3其是原子位移的均方值以下用兩種方法來求解(a)經(jīng)典U 3k B2U 12 1 M2C1 u2 I 3其是原子位移的均方值以下用兩種方法來

20、求解(a)經(jīng)典U 3k B2U 12 1 M2CCM2 是原子的振動頻率由式(5)、(6) MkBT I I 0將G108cm1M 1.671023g,21012s1210161.67102321012k 2.09310BITI00當T300K當T0K時II0(b)量子n 13 11e E 21其中 有12 211 1e 21 3 1 1e 211 2131 1M有12 211 1e 21 3 1 1e 211 2131 1M2GG2k k2 B 2MI I 00 因子當T 0K時，由式(9)2I I 2M0010161.6710232再把上式數(shù)據(jù)代人式(10)，得T 0KI 0.1006 當

21、T 0K時，由式(9)20.100611 e10.1006e0.100620.100611 e10.1006e0.10061 而IIe2I e0.629000 s KF UVkBT ln2k K式中U V 是絕對零度時點陣的內能，只和晶體體積有關dUVEVp pE是點陣振動能，包括零點動能和熱能，是格林愛森常數(shù)。定 dlns Kd 解(a)點FF1F 包括兩F1是點陣T0KF1UVsK 解(a)點FF1F 包括兩F1是點陣T0KF1UVsKF2,sKkBTlnZsKZs K 是頻率為s K 的模式的配分函n1 K 2 Zs K1式中 。利用級11 s Kes K s K1于是，一個振動模式s