分析法與綜合法

1、競賽題解題思想方法一、分析法與綜合法解題過程（一）綜合法例1、甲班和乙班共83人，乙班和丙班共86人，丙班和丁班共88人，問甲班和丁班共多少人？（83+88）86=17186=85（人）例2、一個車間有兩個小組，第一小組與第二小組人數(shù)的比是5：3；如果從第一小組調(diào)14人到第二小組，則第一小組與第二小組人數(shù)的比是1：2，原來兩個小組各有多少人？例3、自行車裝配車間要裝配690輛自行車，已經(jīng)裝了8天，每天裝配45輛，由于改進(jìn)技術(shù)，剩下的任務(wù)6天就可以完成，這6天中平均每天裝配多少輛？綜合法分析：已經(jīng)做了8天，每天裝配45輛，由此可求出已經(jīng)裝配的輛數(shù)。（2）已知要裝配690輛和已經(jīng)裝配的輛數(shù)，可以求

2、出還要裝配的輛數(shù)。（3）已求出還要裝配的輛數(shù)和以后裝配的天數(shù)（4）可以求出以后平均每天裝配的輛數(shù)。（二）分析法例4、下面是一道有名的“斯利哈拉問題”：有一群蜜蜂，其中五分之一落在杜鵑花上，三分之一落在桂花上，這兩者差的3倍飛向月季花，最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和玉蘭花之間飛來飛去，問共有幾只蜜蜂？例5、自行車裝配車間要裝配690輛自行車，已經(jīng)裝了8天，每天裝配45輛，由于改進(jìn)技術(shù)，剩下的任務(wù)6天就可以完成，這6天中平均每天裝配多少輛？分析法分析:(1)要求以后平均每天裝配的輛數(shù),需要知道以后要裝配的輛數(shù)(未知)和裝配的天數(shù)(已知)(2)要求以后要裝配的輛數(shù),需要知道要裝配的總輛數(shù)(690

3、輛)和已裝配的輛數(shù)(未知)(3)要求已裝配的輛數(shù),需要知道已裝配的天數(shù)(8天)和每天裝配的輛數(shù)(45輛)（三）分析-綜合法例6、東方供銷社從城里買了4500千克化肥，用一輛汽車和一輛大車裝運(yùn)，汽車裝的重量上大車的3倍還多100千克，求兩車各裝運(yùn)多少千克？分析：4500千克 汽車運(yùn)的 大車運(yùn)的100千克根據(jù)已知條件，從圖中可以看出，如果用大車運(yùn)量去代替汽車運(yùn)量，那么汽車運(yùn)量就相當(dāng)于3輛大車運(yùn)量再加100千克，從總量中減去100千克，就相當(dāng)于（3+1）輛大車運(yùn)量，從而可求出每輛大車運(yùn)量。例7、畜牧場存有干草若干公斤，如果畜群每天吃草370公斤，若干天后還剩840公斤；如果每天吃草330公斤，那么同

4、樣天數(shù)后還剩1760公斤，問原存干草多少公斤？分析：比較兩次每天吃草數(shù)量和剩余草量，由于每天吃草量不同，同樣天數(shù)后剩余草量也不相同，根據(jù)兩次剩余量之差及每天吃草量之差，可以求出吃了幾天，然后再求出原存干草數(shù)量。例8、某校分配學(xué)生宿舍，如果每個房間住6人，則有38人沒有床位，如果每間住8人，則多余32個床位，問宿舍幾間？學(xué)生幾人？分析：比較兩次分配方案，由于第二次分配時(shí)每間人數(shù)和第一次相差（8-6）人，而兩次分配中床位差為（38+32）個，根據(jù)兩次分配中的床位差和每間人數(shù)差可求出宿舍間數(shù)，再求出人數(shù)。例9、糧庫內(nèi)存有大米若干包，第一次運(yùn)出庫存的一半多20包，第二次運(yùn)出剩下的一半多40包，第三次運(yùn)

5、出140包，糧庫里還存50包，求糧庫里原有大米多少包？分析：由于第三次運(yùn)出140包，還剩50包，可知第三次運(yùn)出之前，糧庫里大米為（140+50）包。由于第二次運(yùn)出余下的一半多40包，剩下的就是第三次運(yùn)出之前的190包，也就是說（190+40）包相當(dāng)于第一次余下的一半，這就可以求出第一次余下的包數(shù)，即2302=460（包），由于第一次運(yùn)出庫存的一半多20包，那么460+20=480（包）就是原有大米的一半，從而可以求出原有大米的包數(shù)二、反證法1、反證法證題的步驟 （1）假設(shè)命題的結(jié)論不成立 （2）進(jìn)行一些列推理 （3）在推理過程中出現(xiàn)了下列情況中的一種。與已知條件矛盾與公里矛盾與已知定理矛盾。

6、（4）由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言原來的假定是錯誤的。 （5）肯定原結(jié)論成立。 作業(yè)：1、求證是無理數(shù)2、3、證明素?cái)?shù)的個數(shù)是無限的反證法在小學(xué)數(shù)學(xué)解題中也有很廣泛的應(yīng)用例1、甲、乙、丙、丁四個人比賽乒乓球，每兩個人都要賽一場，結(jié)果甲勝了丁，并且甲乙丙三人勝的場數(shù)相同，問丁勝了幾場？例2、將1、2、3、21分成七組，每組3個數(shù)，試證：無論怎樣分組，都不能保證每組中都有一個數(shù)等于其余兩個數(shù)的和。例3、求證：整數(shù)ab的商如果存在，則商是唯一的。例4、在一次長跑比賽中，有100名選手參加，組委會準(zhǔn)備了標(biāo)有1到100的一百塊號碼布，分發(fā)給每個選手，比賽結(jié)束時(shí)，要求每位選手將自己的號碼布上的數(shù)與到達(dá)終點(diǎn)

7、時(shí)名次相加并將這個和交上去，問這次交上來的100個數(shù)的末兩位是否可能各不相同？為什么？（假定沒有同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)的選手）二、化歸思想及其應(yīng)用 例1、明明原有的圖書是亮亮的6倍，如果兩人各再買2本，那么明明所有圖書是亮亮的4倍。兩人原來各有圖書多少本？明明亮亮6 倍2本2本4 倍12-2=10（本）6-4=2倍4 倍1 倍 將原題化歸成一個簡單的“差倍問題”：已知兩數(shù)的差為10，倍數(shù)差為2，求一倍數(shù)。 例2、甲站有汽車192輛，乙站有汽車48輛，每天從甲站開往乙站的汽車有21輛，從乙站開往甲站的汽車有24輛。幾天以后甲站的汽車是乙站的7倍？ 1、甲乙兩站共有汽車（192+48）輛，當(dāng)甲站的汽車是乙站

8、汽車的7倍時(shí)，乙站有多少輛汽車？ 原問題可以分割成以下兩道有連續(xù)性的簡單應(yīng)用題： 2、乙站原有汽車48輛，每天從乙站開往甲站的汽車有24輛，從甲站開往乙站的汽車有21輛，幾天以后乙站還有30輛汽車？（一）化歸原則 1、 “化歸”一詞，從字面上看是轉(zhuǎn)化和歸結(jié)的意思。 數(shù)學(xué)中的“化歸原則”，就是指未解決的或待解決的問題通過某種途徑進(jìn)行轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為已解決的或易解決的問題，最終使原問題獲得解決的一種方法原則。 2、 數(shù)學(xué)中到處蘊(yùn)涵著化歸思想 譬如運(yùn)算。小學(xué)數(shù)學(xué)中減法是化歸成加法、除法是化歸成乘法而完成的；異分母分?jǐn)?shù)的大小比較及加減運(yùn)算法則的基本思想，是借助通分將其化歸為同分母分?jǐn)?shù)的大小比較及加減運(yùn)算，

9、進(jìn)而化歸為整數(shù)（分子）的大小比較及加減運(yùn)算。代數(shù)中，有理數(shù)的大小比較與運(yùn)算法則是借助絕對值將其化歸為算術(shù)數(shù)的大小比較與運(yùn)算；整式的加減運(yùn)算又是通過去括號、合并同類項(xiàng)化歸為有理數(shù)間的運(yùn)算。 一般的說，總是將一種新的、陌生的運(yùn)算化為已掌握的、熟悉的運(yùn)算。 再譬如解方程。通過因式分解將一元二次方程的求解化歸為解一元一次方程；通過降次將簡單高次方程的求解化歸為較低次的方程；通過去分母將分式方程的求解化歸為解整式方程；通過去根號將無理方程的求解化歸為解有理方程；通過換元或其它途徑將指數(shù)方程、對數(shù)方程等超越方程的求解化歸為解代數(shù)方程。 數(shù)學(xué)家笛卡爾通過建立坐標(biāo)系把幾何問題化歸為代數(shù)方程問題，開創(chuàng)了用代數(shù)方

10、法研究幾何問題的新紀(jì)元。由此創(chuàng)設(shè)的解析幾何被稱為由初等數(shù)學(xué)階段向變量數(shù)學(xué)發(fā)展的第一個決定性步驟。（二）化歸原則的一般模式為： 數(shù) 學(xué) 問 題 解 答 能夠解決的，較為簡單的問題（*） 解 答 問 題（*）化 歸 ？ 特點(diǎn)：具有較強(qiáng)的目的性、方向性和概括性。 基本原則：由未知到已知、由難到易、由繁到簡。 核心：如何實(shí)現(xiàn)由所要解決的問題向已經(jīng)解決的或 較容易解決的問題轉(zhuǎn)化。（三）常用的化歸法 1、 分割與疊加法 如隧道面積的計(jì)算方法：=+ 一般的,將原問題分成若干部分,以便“化整為零”，分散處理；然后再“集零為整”，使原問題獲得解決。 例3、勾股定理的證明。acb圖中面積為c2的正方形被分割成四個

11、全等的直角三角形及中間一個小正方形，據(jù)他們的面積關(guān)系可得： 例4、籠中有若干只雞與兔，他們共有個頭和只腳，問雞兔各有多少只？設(shè)想出一種奇特的現(xiàn)象，籠中雞兔突然“全體肅立”，每只雞呈金雞獨(dú)立狀，每只兔呈玉兔拜月狀，這時(shí)腳只剩下只，頭仍是個，而雞的頭數(shù)與腳數(shù)相等，每只兔的腳數(shù)比頭數(shù)多。因此，腳的總數(shù)與頭數(shù)的差就是兔子的數(shù)目，而雞有只。注：這個解法簡捷而巧妙。它是用可變的觀點(diǎn)而不是靜止的觀點(diǎn)看問題，對問題已知的數(shù)量進(jìn)行了特殊的分割各取一半，使化歸所得新問題中已知與未知間的聯(lián)系更明顯。 、 換元法 、 待定系數(shù)元法（一）轉(zhuǎn)化已知條件1、已知三（1）班學(xué)生人數(shù)不少于40人，做廣播操時(shí)，若每排站4人，最后一排差3人；若每排站3人，最后一排差2人；若每排站2人，最后一排差1人，問這個班人數(shù)最少幾