章二次根式知識(shí)點(diǎn)及例題

1、 /18第十六章二次根式知識(shí)點(diǎn)一、二次根式1定義：一般地，我們把形如丫a(a0)的式子叫做二次根式，稱為二次根號(hào)，二次根號(hào)下的a叫做被開(kāi)方數(shù).注意：(1)二次根號(hào)的定義是從形式上界定的，即必須含有二次根號(hào)一”.二次根式的被開(kāi)方數(shù)可以是一個(gè)數(shù)字，也可以是一個(gè)代數(shù)式，但必須滿足被開(kāi)方數(shù)大于等于0.根指數(shù)是2,這里的2可以省略不寫.形如b爲(wèi)(a0)的式子也是二次根式，它表示b與需的乘積.例題：下列各式中，一定是二次根式的是.(1)327(2)、：一9(3)v3a2*x2+12+2a+1(6)02x-10,y0)(5)；3a2+8x2-6x-12下列各式中，一定是二次根式的是()A.、二9B.g1(x

2、為任意實(shí)數(shù))C.m2(m為任意實(shí)數(shù))D.$5知識(shí)點(diǎn)二、二次根式有意義的條件從總體上描述：在二次根式7a中，當(dāng)a0時(shí)，/a有意義，當(dāng)a0;A0B0多個(gè)二次根式相加JA+4b+.+JN有意義的條件：；N0(3)二次根式作為分式的分母如(3)二次根式作為分式的分母如有意義的條件:二次根式作為分式的分子如尋有意義的條件：b:0例題：1當(dāng)x是怎樣的實(shí)數(shù)時(shí)，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義.(1)23x1(2)、：一1x(3)=(4)x+1+丄x2+1-1B.x-1C.x0D.xH0若有意義，則x的取值范圍是.Vx-2練習(xí)：1若式子vl-3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是()A.x3b.x3d.x2的是()

3、A.2A.2xB.x2C.3土2有意義的x的取值范圍是x1知識(shí)點(diǎn)三、二次根式的性質(zhì)(重點(diǎn)，難點(diǎn))性質(zhì)1：式子*a(a0)具有雙重非負(fù)性，它即表示二次根式，又表示非負(fù)數(shù)a的算式平方根,具體描述為：(1)0），即一個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身.注意：不能忽略a0這一限制條件，導(dǎo)致類似C-41=-4的錯(cuò)誤.性質(zhì)3:07=|a|=a（a0），即當(dāng)一個(gè)數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)，它的平方的算術(shù)平方根等于它本身，記為爲(wèi)T=a（a0）；l-a（a0）當(dāng)一個(gè)數(shù)為非負(fù)數(shù)時(shí)，它的平方的算術(shù)平方根等于它的相反數(shù)，記為、訂=-a（a0）.注意：不要認(rèn)為a一定是非負(fù)數(shù)，從而出現(xiàn)如頁(yè)不=-2的錯(cuò)誤.0a為任意實(shí)數(shù)運(yùn)算結(jié)果不同(

4、7Z)2=a(a0)廠IIfa(a0)7a2=|a|=-a(a0時(shí)，=（需）2例題:1.計(jì)算:(1)(語(yǔ))2(2)(亦)2(3)(一3冒)2(4)(1帀)22計(jì)算:(4)2計(jì)算:(4)、：(3.14-兀)23當(dāng)m3時(shí)，J(m_3)2=4.設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)為a,b,c，試化簡(jiǎn)：丫（。+b+c）2+（a-b一c）2+；（b-a一c）2-f（c一b一a）2.練習(xí)：1計(jì)算：(1)234)2(2)(空37)2(3)：(3兀)2(4)、(4兀)2若2a0,b0).提示：(1)在設(shè)計(jì)二次根式運(yùn)算時(shí)沒(méi)有特備說(shuō)明，所有字母都表示正數(shù);(2)a,b可以是數(shù)，也可以是代數(shù)式，但必須是非負(fù)的.推廣：7口*牛1乙口陽(yáng)=

5、abcd(a0,b0,c0,d0).21口祐=、:ab的逆運(yùn)用：sb=、ab(a0,b0).例題：1.計(jì)算：邁x話6邁7x(-2扁)(121)x(196)化簡(jiǎn)：(1)9x125(2)224(1)比較3亦與伍的大小,(2)比較5J5與6J3的大小.練習(xí)：1.計(jì)算：(1)*(121)x(一196)(2)(1/3)(3+.3)(3)v4x2y3*9y2x；5x3yQ9xy化簡(jiǎn)：(116x1213v96比較6虧與4J6的大小,(2)比較8J3與3儷的大小3分母有理化：把分母中的根號(hào)化去，叫做分母有理化。有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說(shuō)這兩個(gè)二次根式互為

6、有理化因式。有理化因式確定方法如下：?jiǎn)雾?xiàng)二次根式有理化因式兩項(xiàng)二次根式有理化因式1Vaa1-a+Pba、bJa+bva+bva+bVabJababm(a+nbmTanb分母有理化的方法與步驟:（1）現(xiàn)將分子、分母化成最簡(jiǎn)二次根式;（2）將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式;（3）最后結(jié)果必須化成最簡(jiǎn)二次根式或有理式。例題：TOC o 1-5 h z1.*1化簡(jiǎn)為（）；a-x:bA.胃-ubB.著+托C.西二辿D.a-ba-b2下列各式中正確的是（）314060A.1=、込1B.-4二邁C.1000=105d.-L314060V21V505已知a=、；5+卞6，b=-，則a與b的

7、大小關(guān)系式是ab.655將下列各式分母有理化.1擊112：81擊112：83y12a3b25c2(4)練習(xí):1.已知a=v3+2,b=1，則a與b的關(guān)系是（）V3-2A.a=bB.ab=lC.a=-bD.ab=-l442滿足不等式-x0,b0）.提示：乘除法：二次根式相乘（除），將被開(kāi)方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開(kāi)方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡(jiǎn)二次根式.例題：1.計(jì)算：（1八萬(wàn)81.計(jì)算：（1八萬(wàn)8仝()510七3a3b+；4ab2練習(xí)：1.計(jì)算：58f82-TI(3)8a3b2+4a3b24最簡(jiǎn)二次根式：（1）被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)方開(kāi)的盡的因數(shù)或因式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含分母，小數(shù)；

8、（3）分母中不含根式.例題：1下列二次根式中，是最簡(jiǎn)二次根式的是（）1A.0.2B.a2-b2C.D.4ax（2014華倫單元卷）把a(bǔ)：-1根號(hào)外的因式移動(dòng)到根號(hào)內(nèi)的結(jié)果是（）aA.ab.；ac.xad.、；a頁(yè)是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A.4B.5C.6D.7練習(xí)：1下列根式中不是最簡(jiǎn)二次根式的是（）A.U2B.、：6C.8D.110C.12D.C.12D.”氣A.x2+1B.Ia+1化簡(jiǎn)二次根式a，-的結(jié)果是（）a2A.、,；a1B.”a1c.va+1D.：a+1已知avb,則化簡(jiǎn);a3b的結(jié)果正確的是（）A.aQ一abb.a/OKc.aVObd.aJ-ab顧是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小

9、值是（）A.3B.4C.5D.66李明的作業(yè)本上有四道題：A.3B.4C.5D.66李明的作業(yè)本上有四道題：J16a4二4a2，（2）丁5和而=5a邁,=a，(4)i：3a、：2a=a，如果你是他的數(shù)學(xué)老師，請(qǐng)找出他做錯(cuò)的題是（）A.（1）B.（2）C.（3）D.（4）知識(shí)點(diǎn)五、二次根式的加減加減法：二次根式加減時(shí)，可以先將二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并.注意：同類二次根式：化成最簡(jiǎn)二次根式后，被開(kāi)方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式，例如和3込。一個(gè)二次根式不能叫同類二次根式，至少兩個(gè)二次根式才有可能稱為同類二次根式。要判斷幾個(gè)根式是不是同類二次根式，須先化

10、成最簡(jiǎn)二次根式后，再判斷。例題：1下列計(jì)算正確的是（）A4A4朽-3占二1B.邁+朽仝C2訪-=J2D.3+22二5叮23計(jì)算3計(jì)算填空(1)5&+2*匚=(2)jI4+i6(3)5j2-、汎=(4)-v27-xVl=(2)5+阿-鳳+4邁練習(xí):1.（2014.外國(guó)語(yǔ)學(xué)校期中卷）下列計(jì)算正確的是（）A.2xi3=v6B.2+=、5C.=4、：2D.：4、一2=v22.（2015.平南縣月考卷）若i8X+2.（2015.平南縣月考卷）若i8X+2、；-+2:2=10，則x的值為（）A.4B.土2C.2D.土43計(jì)算(1)75-27+込五2-6-+2打8/(3)22-3-/(3)22-3-1)-2

11、2丿+*；18(I6xJ4+沁不1xy丿2混合運(yùn)算：有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律、結(jié)合律，乘法對(duì)加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式,都適用于二次根式的運(yùn)算.例題：1下列計(jì)算正確的是()11I1I1A.幣+占=4B.R八百加=3C.5+込=用D.代=2育2下列計(jì)算正確的有()：C4)9)=、：一4x丫9=6，4)9)=：4x9=6，：5242=+4xy54=1,：5242=、：5242=1A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)是32cm,則正方形的周長(zhǎng)是，面積是.4計(jì)算IIII-;_(2)464一+308一24223低+5須-4背卜豆5.若3,m,5三角形的三邊，化簡(jiǎn)p（2-m

12、）2、.；（m-8）2.Iijx6.化簡(jiǎn)求值:X79X-X2：石*6X“4，其中X=5-6.化簡(jiǎn)求值:練習(xí):1下列化簡(jiǎn)或計(jì)算正確的是（）A.X32=-、KB.I：鳩=1+1=7c.氐一后L9-2晶D殛+=-42.已知a=3+5，b=3-、占，貝M弋?dāng)?shù)式;a2-ab+b2的值是（）A.24B.+2.6c.2A.24B.+2.6c.2、；石D.2、呂3.已知矩形的周長(zhǎng)為（：48+t72）cm,邊長(zhǎng)為（、：3+辺2）cm，矩形的另一邊長(zhǎng)為，面積為.4.計(jì)算:(1)01.當(dāng)x=時(shí)，式子Ux+2+X1-x一2有意義.已知y=2x5+：52x3，則2xy的值為()TOC o 1-5 h z1515A.-1

13、5B.15C.D.22(2014.華倫單元卷)若叮x1、：1x=(x+y)2,則x-y的值為()A.-1B.1C.2D.34.若實(shí)數(shù)a,b,c滿足：b2a+4+ya+b5=、：c2+站2c，試求a2+b2+c2的值.3絕對(duì)值結(jié)合數(shù)軸化簡(jiǎn):3絕對(duì)值結(jié)合數(shù)軸化簡(jiǎn):a(a0)a(a0)1.（2014黔南州）實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖，化簡(jiǎn)丫（。一1）2+a=.AIIH-2a-10122.（2015春姜堰市期末）已知實(shí)數(shù)a，b，c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)：va2|a+；（cb）2|b|.若3x2，試化簡(jiǎn)：|x2+fG+3+：x210 x+25.4若、x二一x，則x0B.x0C.x0D.x2B.xVO

14、C.xx2D.x5B.a5C.0a5D.0a5把（a一D、：中根號(hào)外的（a-D移入根號(hào)內(nèi)得（）.a1A.、：a1B.、：1ac.-a1D.-、：1a6.x2+y2+ax+by+c二0:配方成平方和為0的形式.1.已知x2+y2+2x4y+5二0，求x+y的值.2.已知a2弋a(chǎn)1+b24b+4=0，求a22ab+b2的值.7乘法公式的靈活運(yùn)用.1.若x=va：b,y=x:a+-b，則xy的值為()A.2Jab.2pbC.a+bD.ab22如果了Z=詳xy2yx那么上+的值等于（）xy3A.23A.2B.57(2010(2010祁門縣校級(jí)模擬)計(jì)算(23)2008(2+3)2009(x2)o=.1

15、c、1、1已知a+=2，求a2+的值.，求a一的值.aa2a5.已知x5.已知x2-3x+1=0，求x2+丄-2的值.x2，求a3b+ab3的值.8整數(shù)和小數(shù).星期天，張明的媽媽和張明做了一個(gè)小游戲，張明的媽媽說(shuō)：“你現(xiàn)在學(xué)習(xí)了二次根式，若x表示、10的整數(shù)部分，y表示它的小數(shù)部分，我這個(gè)紙包里的錢是（JT0+x）y元，你猜一猜這紙包里的錢是多少？若猜對(duì)了，這紙包里的錢全給你.”請(qǐng)問(wèn)他媽媽包里的錢是.x、y分別為8NT的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2xy-y2=.（2011涼山州）已知a、b為有理數(shù),m、n分別表示5一茁的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且amn+bn2=1，則2a+b=.9其他（2014.英才單元卷）當(dāng)=時(shí)，代數(shù)式J2a+1+1取值最小，最小值為.（2015永州模擬）設(shè)m=+1，那么m+丄的整數(shù)部分是.m（2014.十九中期末卷）仿照式子+2迂的化簡(jiǎn)方法：丫3+