動(dòng)量角動(dòng)量和能量

1、動(dòng)量 角動(dòng)量和能量4.1 動(dòng)量與沖量 動(dòng)量定理41 1動(dòng)量 在牛頓定律建立以前，人們?yōu)榱肆慷任矬w作機(jī)械運(yùn)動(dòng)的“運(yùn)動(dòng)量”，引入了動(dòng)量的概念。 當(dāng)時(shí)在研究碰撞和打擊問(wèn)題時(shí)認(rèn)識(shí)到：物體的質(zhì)量和速度越大，其“運(yùn)動(dòng)量”就越大。物 體的質(zhì)量和速度的乘積 mv 遵從一定的規(guī)律，例如，在兩物體碰撞過(guò)程中，它們的改變必 然是數(shù)值相等、方向相反。在這些事實(shí)基礎(chǔ)上，人們就引用mv來(lái)量度物體的“運(yùn)動(dòng)量” 稱(chēng)之為動(dòng)量。412沖量 要使原來(lái)靜止的物體獲得某一速度，可以用較大的力作用較短的時(shí)間或用較小的力作 用較長(zhǎng)的時(shí)間，只要力F和力作用的時(shí)間At的乘積相同，所產(chǎn)生的改變這個(gè)物體的速度效 果就一樣，在物理學(xué)中把F人匸叫做沖

2、量。413質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理 由牛頓定律，容易得出它們的聯(lián)系：對(duì)單個(gè)物體：FAt 二 maAt 二 mAv 二 mv mvFAt 二 Ap10 即沖量等于動(dòng)量的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定理。在應(yīng)用動(dòng)量定理時(shí)要注意它是矢量式，速度的變化前后的方向可以在一條直線(xiàn)上， 也可以不在一條直線(xiàn)上，當(dāng)不在一直線(xiàn)上時(shí)，可將矢量投影到某方向上，分量式為：第1個(gè)I I mv 第1個(gè)I I mv mv1 外+ 1 內(nèi)=1 1t1 10第2個(gè)I m v m v外+ 2 內(nèi)=2 2 t2 20m v m vn nt n n 0n 外 + n 內(nèi)第n個(gè)由牛頓第三定律 因此得到：1內(nèi)+2 內(nèi)+ n 內(nèi) =0F At 二 mv mvF

3、 At = mv mvF At = mv mvxtx0 xyty0 yztz0 z對(duì)于多個(gè)物體組成的物體系，按照力的作用者劃分成內(nèi)力和外力。對(duì)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)用動(dòng) 量定理：mv2 20 +mvmv2 20 +mvn n 0外+ 2 外+ + n 外=（ 1 1t+ 2 2t + n nt ）-（ 1 10+ 即：質(zhì)點(diǎn)系所有外力的沖量和等于物體系總動(dòng)量的增量。4，2 角動(dòng)量 角動(dòng)量守恒定律 動(dòng)量對(duì)空間某點(diǎn)或某軸線(xiàn)的矩，叫動(dòng)量矩，也叫角動(dòng)量。它的求法跟力矩完全一樣，只要把力F換成動(dòng)量P即可，故B點(diǎn)上的動(dòng)量P對(duì)原點(diǎn)O 的動(dòng)量矩J為J 二 r x P （r = OB）以下介紹兩個(gè)定理： （ 1）角動(dòng)量定理：質(zhì)

4、點(diǎn)對(duì)某點(diǎn)或某軸線(xiàn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的微商，等于作用在該質(zhì)點(diǎn)上的力 對(duì)比同點(diǎn)或同軸的力矩，即dt（ M 為力矩）。（ 2）角動(dòng)量守恒定律如果質(zhì)點(diǎn)不受外力作用，或雖受外力作用，但諸外力對(duì)某點(diǎn)的合力矩為零，則對(duì)該點(diǎn)來(lái)講，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩J為一恒矢量，這個(gè)關(guān)系叫做角動(dòng)量守恒定律 即 rXF=0,則J=r X mv=r X P=恒矢量4.3 動(dòng)量守恒定律 動(dòng)量守恒定律是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐的基礎(chǔ)上建立的，首先在碰撞問(wèn)題的研究中發(fā)現(xiàn) 了它，隨著實(shí)踐范圍的擴(kuò)大，逐步認(rèn)識(shí)到它具有普遍意義，對(duì)于相互作用的系統(tǒng)，在合外力為零的情況下，由牛頓第二定律和牛頓第三定律可得出物體的總動(dòng)量保持不變。即：m v m v m v1 1即：m

5、 v m v m v1 1t + 2 2 t + n nmv + m v +1 1 2 2fmvnn上式就是動(dòng)量守恒定律的數(shù)學(xué)表達(dá)式。應(yīng)用動(dòng)量守恒定律應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1）動(dòng)量是矢量，相互作用的物體組成的系統(tǒng)的總動(dòng)量是指組成物體系的所有物體的 動(dòng)量的矢量和，而不是代數(shù)和，在具體計(jì)算時(shí)，經(jīng)常采用正交分解法，寫(xiě)出動(dòng)量守恒定律 的分量方程，這樣可把矢量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，（2）在合外力為零時(shí)，盡管系統(tǒng)的總動(dòng)量恒定不變，但組成系統(tǒng)的各個(gè)物體的動(dòng)量卻 可能不斷變化，系統(tǒng)的內(nèi)力只能改變系統(tǒng)內(nèi)物體的動(dòng)量，卻不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量。在合 外力不為零時(shí)，系統(tǒng)的總動(dòng)量就要發(fā)生改變，但在垂直于合外力方向上系統(tǒng)的動(dòng)量應(yīng)保

6、持 不變，即合外力的分量在某一方向上為零，則系統(tǒng)在該方向上動(dòng)量分量守恒。（3）動(dòng)量守恒定律成立的條件是合外力為零，但在處理實(shí)際問(wèn)題時(shí)，系統(tǒng)受到的合外 力不為零，若內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力時(shí)，我們?nèi)钥梢园阉?dāng)作合外力為零進(jìn)行處理，動(dòng)量守恒定 律成立。如遇到碰撞、爆炸等時(shí)間極短的問(wèn)題時(shí)，可忽略外力的沖量，系統(tǒng)動(dòng)量近似認(rèn)為 守恒。（4）動(dòng)量守恒定律是由牛頓定律導(dǎo)出的，牛頓定律對(duì)于分子、原子等微觀(guān)粒子一 般不適用，而動(dòng)量守恒定律卻仍適用。因此，動(dòng)量守恒定律是一條基本規(guī)律，它比牛頓定 律具有更大的普遍性。動(dòng)量守恒定律的推廣 由于一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系在不受外力的作用時(shí)，它的總動(dòng)量是守恒 的，所以一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力不能改變它質(zhì)心

7、的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，這個(gè)討論包含了三層含意：（1）如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心原來(lái)是不動(dòng)的，那么 在無(wú)外力作用的條件下，它的質(zhì)心始終不動(dòng)，即位置 不變。（2）如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心原來(lái)是運(yùn)動(dòng)的，那么 在無(wú)外力作用的條件下，這個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心將以原來(lái) 的速度做勻速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)。（3）如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心在某一個(gè)外力作用下 作某種運(yùn)動(dòng)，那么內(nèi)力不能改變質(zhì)心的這種運(yùn)動(dòng)。比 如某一物體原來(lái)做拋體運(yùn)動(dòng)，如果突然炸成兩塊，那 么這兩塊物體的質(zhì)心仍然繼續(xù)做原來(lái)的拋體運(yùn)動(dòng)。如果一個(gè)質(zhì)量為mA的半圓形槽A原來(lái)靜止在 水平面上，原槽半徑為Ro將一個(gè)質(zhì)量為mB的滑塊B 由靜止釋放（圖4-3-1）,若不計(jì)一切摩擦，問(wèn)A的最 大位移為多少？由

8、于 A 做的是較復(fù)雜的變加速運(yùn)動(dòng)，因此很難 用牛頓定律來(lái)解。由水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒, 可知B 一定能到達(dá)槽A右邊的最高端，而且這一瞬間A、B 相對(duì)靜止。因?yàn)?A、B 組成的體系原來(lái)在水平方向的動(dòng)量為零，所以它的質(zhì)心位置 應(yīng)該不變，初始狀態(tài)A、B的質(zhì)心距離圓槽最低點(diǎn)的水平距離為：mS二Bm + mAB所以B滑到槽A的右邊最高端時(shí)，A的位移為(圖4-3-2)m + mAB如果原來(lái)A、B 起以速度v向右運(yùn)動(dòng)，用膠水將B粘在槽A左上端，某一時(shí)刻膠水 突然失效，B開(kāi)始滑落，仍然忽略一切摩擦。設(shè)從B脫落到B再次與A相對(duì)靜止的時(shí)間是 t，那么這段時(shí)間內(nèi)A運(yùn)動(dòng)了多少距離？B脫落后，A將開(kāi)始做變加速運(yùn)動(dòng)

9、，但A、B兩物體的質(zhì)心仍然以速度v向右運(yùn)動(dòng)。 所以在t時(shí)間內(nèi)A運(yùn)動(dòng)的距離為：2mL 二 vt bm + mAB4.4 功和功率F1F20 sF1F20 s1圖 4-4-1力和力的方向上位移的乘積稱(chēng)為功。即W = Fs cos 式中是力矢量F與位移矢量s之間的夾角。功是標(biāo) 量，有正、負(fù)。外力對(duì)物體的總功或合外力對(duì)物體所做功等 于各個(gè)力對(duì)物體所做功的代數(shù)和。對(duì)于變力對(duì)物體所做功，則可用求和來(lái)表示力所做功， 即W = ZF Asi cos ii也可以用F=F (s)圖象的“面積”來(lái)表示功的大小，如 圖 4-4-1 所示。由于物體運(yùn)動(dòng)與參照系的選擇有關(guān)，因此在不同的參照系中，功的大小可以有不同的數(shù)值，

10、但是一對(duì)作用力與反作用力做功之和與參照系的選擇無(wú)關(guān)。因?yàn)樽饔昧Ψ醋饔昧ψ龉χ腿Q于力和相對(duì)位移，相對(duì)位移是與參照系無(wú)關(guān)的。值得注意的是，功的定義式中力F應(yīng)為恒力。如F為變力中學(xué)階段常用如下幾種處理 方法：( 1)微元法；( 2)圖象法；( 3)等效法。o x x x(ao x x x(a) 2 1圖 4-4-2具有“做功與路徑無(wú)關(guān)”這一特點(diǎn)的力稱(chēng)為保守力，如 重力、彈力和萬(wàn)有引力都屬于保守力。不具有這種特點(diǎn)的力稱(chēng) 為非保守力，也叫耗散力，如摩擦力。( 1 )重力的功 重力在地球附近一個(gè)小范圍內(nèi)我們認(rèn)為是恒力，所以從高 度 h1 處將重力為 mg 的物移到高 h2 處。 重力 做功為： Wc二

11、mg(h2 hi)，顯然與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。(2)彈簧彈力的功物體在彈簧彈力F=-kx的作用下，從位置3運(yùn)動(dòng)至位x2，如圖4-4-2 (a)所示，其彈力變化F=F (x)如圖4-4-2 (b)所示則該過(guò)程中彈 力的功 W 可用圖中斜線(xiàn)“面積”表示，功大小為-kx + (1x ) /.1 了1 ,W = i 2 - (x - x ) = kx 2 - kx 22 2 1 2 1 2 2(3)萬(wàn)有引力的功質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)在另一質(zhì)量M的質(zhì)點(diǎn)的作用下由相對(duì)距離運(yùn)動(dòng)至相對(duì)距離r2的過(guò) 程中，引力所做功為443.功率1 1W 443.功率1 1W = -GMm()=rr12GMm GMmrr21作用于物體的力在單

12、位時(shí)間內(nèi)所做功稱(chēng)為功率，表達(dá)式為求瞬時(shí)功率，取時(shí)間At T 0則為AWFAs cos 0八P = Iim = Iim= F - v cos 0AtTOAtAtTOAt式中v為某時(shí)刻的瞬時(shí)速度，0為此刻v與F方向的夾角 45 動(dòng)能 動(dòng)能定理451 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理質(zhì)量m的質(zhì)點(diǎn)以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，它所具有動(dòng)能Ek為：匸1E = mv 2 k2動(dòng)能是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)狀態(tài)量，當(dāng)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能發(fā)生變化時(shí)，是由于外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)做了功其關(guān)系是：W = AE = E - EW 外= KK1K 2上式表明外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做功，等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的變化，這就是質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理。452質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 若質(zhì)點(diǎn)系由 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)都會(huì)受到

13、來(lái)自于系統(tǒng)以外的作用力(外力)和系統(tǒng)內(nèi)其它質(zhì)點(diǎn)對(duì)它作用力(內(nèi)力)，在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，這些力都將做功。設(shè)質(zhì)點(diǎn) 系由N個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，選取適當(dāng)?shù)膽T性系，對(duì)其中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理外+i外+i11m v 2 - m v 2= 2 i i 22 i i1內(nèi)=對(duì)所有 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理求和就有11 工一m v 2-L mv 2Y W + L W =2 i i 211工 m v 2 11工 m v 2 工 m v 22 i i 2 、2 i i1Eki分別表示丫 W外、Y W若用W外、W內(nèi)、Ek2、外 內(nèi) K2則上式可寫(xiě)成W + W = E E外 內(nèi) K 2 K1 由此可見(jiàn)，對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，外力做的功與內(nèi)力做的

14、功之和等于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理。和質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理一樣，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理只適用于慣性系，但質(zhì)點(diǎn)系動(dòng) 能定理中的W內(nèi)一項(xiàng)卻是和所選的參照系無(wú)關(guān)的，因?yàn)閮?nèi)力做的功取決于相對(duì)位移，而相 對(duì)位移和所選的參照系是無(wú)關(guān)的。這一點(diǎn)有時(shí)在解題時(shí)十分有效。46 勢(shì)能461 勢(shì)能 若兩質(zhì)點(diǎn)間存在著相互作用的保守力作用，當(dāng)兩質(zhì)點(diǎn)相對(duì)位置發(fā)生改變時(shí)，不 管途徑如何，只要相對(duì)位置的初態(tài)、終態(tài)確定，則保守力做功是確定的。存在于保守力相 互作用質(zhì)點(diǎn)之間的，由其相對(duì)位置所決定的能量稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)的勢(shì)能。規(guī)定保守力所做功等于 勢(shì)能變化的負(fù)值，即W 保=- AEp 。保p（1）勢(shì)能的相對(duì)性。通常選定某一狀態(tài)為系統(tǒng)勢(shì)能的零值

15、狀態(tài)，則任何狀態(tài)至零勢(shì)能狀態(tài)保守力所做 功大小等于該狀態(tài)下系統(tǒng)的勢(shì)能值。原則上零勢(shì)能狀態(tài)可以任意選取，因而勢(shì)能具有相對(duì) 性。（2）勢(shì)能是屬于保守力相互作用系統(tǒng)的，而不是某個(gè)質(zhì)點(diǎn)獨(dú)有的。（3）只有保守力才有相應(yīng)的勢(shì)能，而非保守力沒(méi)有與之相應(yīng)的勢(shì)能。462 常見(jiàn)的幾種勢(shì)能（1）重力勢(shì)能在地球表面附近小范圍內(nèi)， mg 重力可視為恒力，取地面為零勢(shì)能面，則 h 高處重 物m的重力勢(shì)能為E = m g hp（2）彈簧的彈性勢(shì)能彈力做取彈簧處于原長(zhǎng)時(shí)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，當(dāng)彈簧伸長(zhǎng)（壓縮）x時(shí)，彈力F=-kx, 的功為彈力做1W 二一kx 22由前面保守力所做功與勢(shì)能變化關(guān)系可知E = kx 2PW = -AE

16、 =-(E - 0)PP(3)引力勢(shì)能兩個(gè)質(zhì)點(diǎn) ME = kx 2PW = -AE =-(E - 0)PP(3)引力勢(shì)能兩個(gè)質(zhì)點(diǎn) M、m 相距無(wú)窮遠(yuǎn)處Mm規(guī)定Epo = 0，設(shè)m從無(wú)窮遠(yuǎn)處移近M,引力做功W,由于F引=r2，大小隨r變化, n由A到B,位移為Ar = rMmAW 二Arr2Ar 很小， rA 、GMmAW =（rA可采用微元法分段求和方式。如圖4-5-1，1一 丫2，引力做功rB 差異很小，則GMmGMm GMm-r ) =(r - r )=-r2 A Br2 A BrAAB由無(wú)窮遠(yuǎn)至距r處，引力功W為1 1 1W = YAW = GMrZ(- ) = GMm(-iri +1

17、ri丄）r初取質(zhì)點(diǎn)開(kāi)始時(shí)廠(chǎng)初 N，最后相對(duì)距離為廠(chǎng)末=rGMmW r又有mArbabri B:rHA圖 4-6-1GMmW = -AE =-( E - EPPrg)E 二一Pr r質(zhì)點(diǎn)與均勻球體間引力勢(shì)能，在球體外，可認(rèn)為球體質(zhì)量集中于球心，所以引力勢(shì) 能為GMmr三RR為球半徑E = r三RR為球半徑質(zhì)量M,半徑為R的薄球殼，由于其內(nèi)部引力合力為零，故任意兩點(diǎn)間移動(dòng)質(zhì)點(diǎn)m.引力均不做功，引力勢(shì)能為恒量，所以質(zhì)量m質(zhì)點(diǎn)在薄球殼附近引力勢(shì)能為GMmGMmEpR47 功能原理和機(jī)械能守恒定律471 功能原理 根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 W + W = E - E 外 內(nèi)k2k1當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)有保守力作用和非保

18、守力作用時(shí)，內(nèi)力所做功又可分為W = W + W內(nèi) 保 非保而由保守力做功特點(diǎn)知，保守力做功等于勢(shì)能增量的負(fù)值，即W =-AE = E - E TOC o 1-5 h z 保PP1P 2于是得到W + W + E - E = E - E外 非保P1P2 K 2K1W + W =（E + E ） - （E + E ）外 非保 K 2P 2K1P1用 E 表示勢(shì)能與動(dòng)能之和，稱(chēng)為系統(tǒng)機(jī)械能，結(jié)果得到W + W = E - E 外 非保 2 1 外力的功和非保守力內(nèi)力所做功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量，這就是質(zhì)點(diǎn)系的功能 原理?？梢缘玫剑ㄍ饬ψ稣κ刮矬w系機(jī)械能增加，而內(nèi)部的非保守力作負(fù)功會(huì)使物體系 的

19、機(jī)械能減少）。|_o圖 4-7-1kwwwvw m功能原理適用于分析既有外力做功，又有內(nèi)部非保守力做功的物體系，請(qǐng)看下題： 勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧水平放置，左端固定，右端連接一個(gè)質(zhì)量為m的木塊（圖 4-7-1）開(kāi)始時(shí)木塊靜止平衡于某一位置，木塊與水平面之間的動(dòng) 摩擦因數(shù)為卩。然后加一個(gè)水平向右的恒力作用于木塊上。（1） 要保證在任何情況下都能拉動(dòng)木塊，此恒力F|_o圖 4-7-1kwwwvw m題目告知“開(kāi)始時(shí)木塊靜止平衡于某一位置”，并未指明 確切的位置，也就是說(shuō)木塊在該位置時(shí)所受的靜摩擦力和彈簧的 形變量都不清楚，因此要考慮各種情況。如果彈簧自然伸展時(shí)，木塊在O點(diǎn)，那么當(dāng)木塊 在 O 點(diǎn)右

20、方時(shí)，所受的彈簧的作用力向右。因?yàn)槟緣K初始狀態(tài)是靜止的，所以彈簧的拉力 不能大于木塊所受的最大靜摩擦力mg卩。要將木塊向右拉動(dòng)，還需要克服一個(gè)向左的靜摩 擦力mg卩，所以只要F22mg卩，即可保證在任何情況下都能拉動(dòng)木塊。設(shè)物體的初始位置為Xo，在向右的恒力F作用下，物體到x處的速度再次為零，在此過(guò)程中，外部有力 F 做功，內(nèi)部有非保守力 f 做功，木塊的動(dòng)能增量為零，所以根據(jù) 物體系的功能原理有11F (x - x ) _pmg( x - x )二 kx 2 - kx 20 0 2 2 01F 一 pmg =k (x + x )20可得2(F 一 卩 mg)x 二一 xk0因?yàn)槟緣K一開(kāi)始靜止

21、，所以要求卩mg卩mgk W x0 W k可見(jiàn)，當(dāng)木塊再次靜止時(shí)，彈簧可能的伸長(zhǎng)是卩 mg3mgy472 機(jī)械能守恒定律若外力的與非保守內(nèi)力的功之和為零時(shí)，氣卜+ w非保=0則系統(tǒng)機(jī)械能守恒，這 就是機(jī)械能守恒定律。注意：該定律只適用于慣性系，它同時(shí)必須是選擇同一慣性參照系。在機(jī)械能守恒 系統(tǒng)中，由于保守內(nèi)力做功，動(dòng)能和勢(shì)能相互轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能則保持不變。下面介紹一例由機(jī)械能守恒推出的重要定理：伯努利方程理想流體 不可壓縮的、沒(méi)有粘滯性的流體，稱(chēng)為理想流體。定常流動(dòng) 觀(guān)察一段河床比較平緩的河水的流動(dòng)，你可以看到河水平靜地流著，過(guò)一會(huì)兒再看，河水還是那樣平靜地流著，各處的流速?zèng)]有什么變化。河水

22、不斷地流走，可是這段河水的流動(dòng)狀態(tài)沒(méi)有改變。河水的這種流動(dòng)就是定常流動(dòng)。流體質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過(guò)空間各點(diǎn)的流速雖然可以不同，但如果空間每一點(diǎn)的流速不隨時(shí)間而改變，這樣的流動(dòng)就叫做定常圖 4-7-2流動(dòng)。自來(lái)水管中的水流，石油管道中石油的流動(dòng)， 都可以看做定常流動(dòng)。流體的流動(dòng)可以用流線(xiàn)形象 地表示。在定常流動(dòng)中，流線(xiàn)表示流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng) 軌跡。圖4-7-2是液體流過(guò)圓柱體時(shí)流線(xiàn)的分布。A、 B 處液體流過(guò)的橫截面積大， CD 處液體流過(guò)的橫 截面積小。液體在CD處流得急，流速大。AB處 的流線(xiàn)疏， CD 處的流線(xiàn)密，這樣，從流線(xiàn)的分布 可以知道流速的大小。流線(xiàn)疏的地方，流速小；流 線(xiàn)密的地方，流速大。圖 4-

23、7-2伯努利方程 現(xiàn)在研究理想流體做定常流動(dòng)時(shí)流體中壓強(qiáng)和流速的關(guān)系。圖473表示一個(gè)細(xì)管，其中流體由左向右流動(dòng)。在管的ai處和a處用橫截面截出一 段流體，即ai處和a2處之間的流體，作為研究對(duì)象。ai處的橫截面積為Si，流速為Vi，高度為hi，ai處左邊的流體對(duì)研究對(duì)象的壓強(qiáng) 為 p1 ，方向垂直于 S1 向右。a處的橫截面積為S2，流速為v2，高度為h2，a2處左邊的流體對(duì)研究對(duì)象的壓強(qiáng)為 p2 ，方向垂直于 S2 向左。經(jīng)過(guò)很短的時(shí)間間隔At，這段流體的左端Si由ai移到bi。右端S 2由a2移到b2。 兩端移動(dòng)的距離分別為Ali和Al2。左端流入的流體體積為AVi二SiAli，右端流出

24、的流體 體積為AV2二S2Al2，理想流體是不可壓縮的，流入和流出的體積相等，AV1 =AV2，記 為 AV ?，F(xiàn)在考慮左右兩端的力對(duì)這段流體所做的功。作用在液體左端的力F1 = p1 S1，所做的功圖 4-7-3動(dòng)能和重力勢(shì)能都沒(méi)有改變W 二 F Al 二 p S Al = p AV圖 4-7-3動(dòng)能和重力勢(shì)能都沒(méi)有改變1 1 1 1 1 1 1 。作用在右端的力 = P2S2，所做的功W 二一F Al 二一p S Al 二一p AV2 2 2 2 2 2 2 。外力所做的總功W 二W + W 二(p -p )AV1 2 1 2( 1 )外力做功使這段流體的機(jī)械能發(fā)生改變。初狀態(tài)的 機(jī)械能是

25、ai到a2這段流體的機(jī)械能Ei，末狀態(tài)的機(jī)械能 是bi到b2這段流體的機(jī)械能E2。由bi到a這一段，經(jīng)過(guò) 時(shí)間At，雖然流體有所更換，但由于我們研究的是理想流 體的定常流動(dòng)，流體的密度卩和各點(diǎn)的流速V沒(méi)有改變， 以這一段的機(jī)械能沒(méi)有改變，這樣機(jī)械能的改變E2 - Ei就等于流出的那部分流體的機(jī)械 能減去流入的那部分流體的機(jī)械能。由于m二PAV，所以流入的那部分流體的動(dòng)能為1mv 2 =21重力勢(shì)能為mgh = p gh AV流出流體的動(dòng)能為11mv 2 = pv 2 AV2222重力勢(shì)能為mgh = p gh AV22機(jī)械能的改變?yōu)?E 一E = p（v2 一 v2）AV + pg（h 一h

26、）AV2 1 2 2 1 2 1理想流體沒(méi)有粘滯性，流體在流動(dòng)中機(jī)械能不會(huì)轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，所以這段流體兩端受 的力所做的總功 W 等于機(jī)械能的改變E2 - E1，即 W= E2 - E1（3）將（ 1）式和（2）式代入（3）式，得（p - p ）AV =丄 p （v2 - v2）AV + pg （h - h ）AV1 2 2 2 1 2 1整理后得pv 2 + pgh = p + pv 2 + pgh2 2 2 2 2（4）4）ai和a是在流體中任意取的，所以上式可表示為對(duì)管中流體的任意處：p + pv 2 + pgh =2 常量 式和（5）式稱(chēng)為伯努利方程。流體水平流動(dòng)時(shí)，或者高度差的影響不顯著

27、時(shí) 如氣體的流動(dòng)），伯努利方程可表達(dá)為p + p v 2 二2 常量（ 6 ）5）圖 4-7-4從（6）式可知，在流動(dòng)的流體中，壓強(qiáng)跟流速有關(guān)，流速V大的地方要強(qiáng)p小, 流速V小的地方壓強(qiáng)p大。知道壓強(qiáng)和流速的關(guān)系，就可以解釋本節(jié)開(kāi)始所做的實(shí)驗(yàn)了。經(jīng)過(guò)漏斗吹乒乓球時(shí)，乒乓球上方空氣的流速大，壓強(qiáng)小，下方空氣的壓強(qiáng)大，乒乓球受到向上的力，所以會(huì)貼在漏斗上不會(huì)掉下來(lái)。向兩張紙中間吹 氣，兩張紙中間空氣的流速大，壓強(qiáng)小，外邊空氣的壓強(qiáng)大，所 以?xún)蓮埣垖⒒ハ噘N近。同樣的道理，兩艘并排的船同向行駛時(shí)（圖 4-7-4）如果速度較大，兩船會(huì)互相靠近，有相撞的危險(xiǎn)。歷史上 就曾經(jīng)發(fā)生過(guò)這類(lèi)事故。在航海中。對(duì)并

28、排同向行駛的船舶，要 限制航速和兩船的距離。伯努利方程的應(yīng)用： 球類(lèi)比賽中的旋轉(zhuǎn)球和不轉(zhuǎn)球的飛行軌跡不同，是因?yàn)榍蛑?圍空氣流動(dòng)情況不同造成的。圖4-7-5 甲表示不轉(zhuǎn)球水平向左運(yùn) 動(dòng)時(shí)周?chē)諝獾牧骶€(xiàn)。球的上方和下方流線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，流速相同，上 下不產(chǎn)生壓強(qiáng)差?，F(xiàn)在考慮球的旋轉(zhuǎn)，致使球的下方空氣的流速 增大，上方流速減小，周?chē)諝饬骶€(xiàn)如圖乙所示。球的下方流速 大，壓強(qiáng)小，上方流速小，壓強(qiáng)大。跟不轉(zhuǎn)球相比，圖 4-6 乙 所示旋轉(zhuǎn)球因?yàn)樾D(zhuǎn)而受到向下的力，飛行軌跡要向下彎曲。例：如圖4-7-6所示，用一彈簧把兩物塊A和B連接起來(lái)圖 4-7-5后，置于水平地面上。已知A和B的質(zhì)量分別為m和m2。問(wèn)應(yīng)給物

29、塊A上加多大的壓力F,才可能在撤去力F后，A向上跳起后會(huì)出現(xiàn)|B對(duì)地?zé)o壓力的情況？彈簧的質(zhì)量略去不計(jì)。設(shè)彈簧原長(zhǎng)為10，建立如圖4-7-7所示的坐標(biāo)，以k表示彈簧的勁度系數(shù)，則有mg = kXo取圖中O點(diǎn)處為重力勢(shì)能零點(diǎn)，當(dāng)A受力F由O點(diǎn)再被壓縮了 x時(shí)， 系統(tǒng)的機(jī)械能為A Bii圖 4-7-6E = 一m gx + k （x + x）2 + （-m gl ）x12020撤去F當(dāng)A上升到最高處即彈簧較其自然長(zhǎng) 度再伸長(zhǎng)x時(shí)，系統(tǒng)的機(jī)械能為X + XO一 B lieA Bii一 A * ssE = mg(x + x) + kx2 + (-m gl )x，1022 0A在x處時(shí)，其受力滿(mǎn)足F +

30、mg k (x + x)二 01 0 ，以式的mig二kxo代入上式，乃有F = kx當(dāng)F撤去A上升到xo + x處時(shí)，彈簧的彈力大小為kx，設(shè)此時(shí)B受到地面的支持 力為N,則對(duì)于B應(yīng)有N + kx m g = 02要B對(duì)地?zé)o壓力，即N=0,則上式變?yōu)閗x 二 m g2因?yàn)锳由x處上升至xo + x處的過(guò)程中，對(duì)此系統(tǒng)無(wú)外力和耗散力作功，則其機(jī)械能守恒，即E =Ex x聯(lián)立解式，可得F 二 m g + m g12。顯然，要出現(xiàn)B對(duì)地?zé)o壓力的情況，應(yīng)為F三(m1 + m2)g。當(dāng)F= ( m1 + m2)g 時(shí)，剛好能出現(xiàn)B對(duì)地?zé)o壓力的情況，但B不會(huì)離開(kāi)地面；當(dāng)F( m1 + m2)g時(shí)，B將

31、出現(xiàn)離開(kāi)地面向上跳起的情況。48 碰撞質(zhì)量mi和m2的兩個(gè)物塊，在直線(xiàn)上發(fā)生對(duì)心碰撞，碰撞前后速度分別為卩10和V20 及 v1 和 v 2 ， 碰 撞 前 后 速 度 在 一 條 直 線(xiàn) 上 ， 由 動(dòng) 量 守 恒 定 律 得 到 m v + m v 二 m v + m v1 10 2 20 1 1 2 2 根據(jù)兩物塊在碰撞過(guò)程中的恢復(fù)情況，碰撞又可分類(lèi)為下列幾種彈性碰撞 在碰撞過(guò)程中沒(méi)有機(jī)械能損失的碰撞稱(chēng)為彈性碰撞，由動(dòng)能守恒有1 1 1 1m v 2 + m v 2 = m v 2 + m v 22 1 10 2 2 20 2 1 1 2 2 2 結(jié)合動(dòng)量守恒解得 TOC o 1-5 h

32、 z HYPERLINK l bookmark6 o Current Document m m2 mv 二 12 v +2 vm + m 10 m + m 201 2 1 22mm mv 二 2 v + 21 vm + m 10 m + m 20 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 1 2 12對(duì)上述結(jié)果可作如下討論m1= m2，則v1二v20，v廣v10，即m1m2交換速度。若m1 m2，且有v20=0,則v1 Q v10，y 2v10即質(zhì)量大物速度幾乎不變，小物 以二倍于大物速度運(yùn)動(dòng)。若m1 0R 2v = 2 Rg 二 11.2 km. s我

33、們稱(chēng)v =11.2km/s為第二宇宙速度，它恰為第一宇宙速度為、：2倍。另外在上面的二體系統(tǒng)中，由于萬(wàn)有引力屬于有心力，所以對(duì)m而言，遵循角動(dòng)量守恒mv - r = 恒量或 mvr - sin 0 二恒量0是與廠(chǎng)方向的夾角。它實(shí)質(zhì)可變換得到開(kāi)普勒第二定律，即行星與恒星連線(xiàn)在相等時(shí)間內(nèi)掃過(guò)面積等。4102、天體運(yùn)動(dòng)的軌道與能量若M天體固定，m天體在萬(wàn)有引力作用下運(yùn)動(dòng)，其圓錐曲線(xiàn)可能是橢圓（包括圓）拋 物線(xiàn)或雙曲線(xiàn)。i）橢圓軌道如圖 4-7-1 所示，設(shè)橢圓軌道方程為x2 y 2+ = 1 a 2 b2（ab）則橢圓長(zhǎng)，短半軸為a、b,焦距c =22 -b2，近地點(diǎn)速度V1，遠(yuǎn)地點(diǎn)速度V2，則GM

34、m 1GMmE = mv 2 一= mv 2 1 a - c 22 a + cmv (a 一 c) = mv (a + c)12 或由開(kāi)普勒第二定律：11v (a 一 c) = v (a + c)2 i2 2V可解得v 二 J (a + c)GM /(a - c) - a i 、v 二 J (a c)GM /(a + c) - a1 2 * 代入E得 e二GMmo2aii）拋物線(xiàn)設(shè)拋物線(xiàn)方程為y 二 Ax 2太陽(yáng)在其焦點(diǎn)（）處，則太陽(yáng)在其焦點(diǎn)（）處，則m在拋物線(xiàn)頂點(diǎn)處能量為GMm 1GMm 1E = mv 2 = mv 20 1 2 0()24 A 4 AGMmP可以證明拋物線(xiàn)頂點(diǎn)處曲率半徑2

35、A，則有mv 2 P可以證明拋物線(xiàn)頂點(diǎn)處曲率半徑2A，則有mv 2 / P = GMm /( 04A)2v =、8 AGM0 拋物線(xiàn)軌道能量1E = - m - (8AGM) 4AGM = 0iii )雙曲線(xiàn) 設(shè)雙曲線(xiàn)方程為x2 y 2 =1a 2 b2得到焦距c 72 + b2 ,太陽(yáng)位于焦點(diǎn)（C, 0）,星體m在雙曲線(xiàn)正半支上運(yùn)動(dòng)。如圖4-10-3 所示，其漸近線(xiàn)OE方程為y=bx/a,考慮m在D處與無(wú)窮遠(yuǎn)處關(guān)系，有GMm 1E = mv 2 = mv 20 c x2s考慮到當(dāng)r fg，運(yùn)動(dòng)方向逼近漸近線(xiàn)，焦點(diǎn)與漸近線(xiàn)距FC為FC = cb / x，a 2 + b 2 = b故有mv (c

36、 a) = mvDgv (c mv (c a) = mvDg2 D2 ” 或聯(lián)解得v = JGM / a02a小結(jié)E二一GME二一GMm02aE 二 GMm 02a橢圓軌道拋物線(xiàn)軌道雙曲線(xiàn)軌道以下舉一個(gè)例子質(zhì)量為 m 質(zhì)量為 m 的宇宙飛船繞地球中心0 作圓周運(yùn)動(dòng)，已知地球半徑為R,飛船軌道半徑為2R?，F(xiàn)要將飛船轉(zhuǎn)移到另一個(gè)半徑為4R的新軌道上，如圖 4-10-4 2R。現(xiàn)要將飛船轉(zhuǎn)移到另一個(gè)半徑為4R的新軌道上，如圖 4-10-4 所示,求（1）轉(zhuǎn)移所需的最少能量；（2）如果轉(zhuǎn)移是沿半橢圓雙切軌道進(jìn)行的，如圖中的ACB 所示,則飛船在兩條軌道的交接處A和B的速度變化AVa和AVb 各為多少？

37、解：（1）宇宙飛船在2R軌道上繞地球運(yùn)動(dòng)時(shí)，萬(wàn)有引力提供向心力，令其速度為Vi，乃有GMm mv 2= 1（2R）2 2R故得 _GMv 12 R此時(shí)飛船的動(dòng)能和引力勢(shì)能分別為1 GMmE = mv 2 =k1 2 14R圖 4-10-4GMmE 二一一 p12 R所以飛船在2R軌道上的機(jī)械能為E = E = E + E =1k 1p1GMm4 R同理可得飛船在4R軌道上的機(jī)械能為以?xún)绍壍郎巷w船所具有的機(jī)械能比較，知其機(jī)械能的增量即為實(shí)現(xiàn)軌道轉(zhuǎn)移所需的最少能量，即AE 二 E 一 E 二 GMm218R（2）由（1）已得飛船在2R軌道上運(yùn)行的速度為同樣可得飛船4R軌道上運(yùn)行的速度為GMff設(shè)飛

38、船沿圖示半橢圓軌道ACB運(yùn)行時(shí)，在A(yíng)、B兩點(diǎn)的速度分別為vi和v2。貝9由開(kāi)普勒第二定律可得v 2R 二 vv - 4R12又由于飛船沿此橢圓軌道的一半運(yùn)行中機(jī)械能守恒，故應(yīng)有1 GMm 1 GMmmv 2 一= mv 2 一 TOC o 1-5 h z 2 12 R2 24 R聯(lián)立以上兩式解之可得,；2GMmvi3R-,12GMmv =223R故得飛船在A(yíng)、B兩軌道交接處的速度變化量分別為Av=vGMAv=v1一2 iGMY34R例如：三個(gè)鋼球A、B、C由輕質(zhì)的長(zhǎng)為1的硬桿連接，豎立在水平面上，如圖4-10-5所示。已知三球質(zhì)量mAAv=vGMAv=v1一2 iGMY34R例如：三個(gè)鋼球A、

39、B、C由輕質(zhì)的長(zhǎng)為1的硬桿連接，豎立在水平面上，如圖4-10-5所示。已知三球質(zhì)量mA = 2mm = mc = mBa=，距離桿空18 處有一面豎直墻。因受微小擾動(dòng)，兩桿分別向兩邊滑動(dòng)，使B球豎直位置下降。致使C球與墻面發(fā)生碰撞。設(shè) C 球與墻面碰撞前后其速度大小不變，且所有摩擦不計(jì)各球的直徑都比1小很多，求B球落地瞬間三球的速度大小。a解：1）球碰墻前三球的位置圖 4-10-5視A、B、C三者為一系統(tǒng)，A、C在水平面上滑動(dòng)時(shí)，只要C不與墻面相碰，則此系統(tǒng)不受水平外力作用，此系統(tǒng)質(zhì)心的水平坐標(biāo)不發(fā)生變 化。以圖4-10-6表示C球剛好要碰墻前三球的位置，以a 表示此時(shí) BC 桿與水平面間的夾

40、角，則 AB 桿與水平面間 的夾角也為a，并令BA桿上的M點(diǎn)與系統(tǒng)質(zhì)心的水平坐 標(biāo)相同，則應(yīng)有m - AM cos a = mAB11MB = -AB =-44-MB cos a + m - BC cos aC故得 圖 4-10-7由上述知M點(diǎn)的水平坐標(biāo)應(yīng)與原來(lái)三秋所在的位置的水平坐標(biāo)相同，故知此刻M點(diǎn) 與右側(cè)墻面的距離即為 a ， 即 M 點(diǎn)與 C 球的水平距離為 a ， 由此有 MB -cos a + BC - cos a = a，即cos a +1 cos a =cos a =由上式解得2，故有a = 45（2）求三球碰墻前的速度 由于碰墻前 M 點(diǎn)的水平坐標(biāo)不變，則在 A、C 沿水平面滑動(dòng)過(guò)程中的任何時(shí)刻，由5于圖中的