蘇教版數(shù)學(xué)高一蘇教版必修4學(xué)案1.2.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

1、課堂導(dǎo)學(xué)三點(diǎn)剖析1.三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式【例1】求下列各三角函數(shù)值.(1)sin();(2)cos();(3)tan(-855).思路分析：直接運(yùn)用誘導(dǎo)公式進(jìn)行變形求值即可.解：(1)sin()=-sin=-sin(2+)=-sin=-sin(+)=sin=.(2)cos=cos(4+)=cos=cos()=-cos=.(3)tan(-855)=-tan855=-tan(2360+135)=-tan135=-tan(180-45)=tan45=1.溫馨提示 對(duì)于負(fù)角的三角函數(shù)求值，可先利用誘導(dǎo)公式三，化為正角的三角函數(shù)，若化了以后的正角大于360,再利用誘導(dǎo)公式一，化為0360間的角的三角函數(shù)，

2、若這時(shí)是90360間的角，再利用180+或180-或360-的誘導(dǎo)公式化為090間的角的三角函數(shù).【例2】化簡(jiǎn)：(kZ).思路分析：將k分為奇數(shù)和偶數(shù)，再利用誘導(dǎo)公式.解法1：當(dāng)k=2n,nZ時(shí)，原式=cos(k+)+cos(k-)=cos(2n+)+cos(2n-)=cos(+)+cos(+)=2cos(+).當(dāng)k=2n+1，nZ時(shí)，原式=cos(2n+1)+cos(2n+1)-=cos(+)+cos(-)=-cos(+)-cos(+)=-2cos(+).解法2：(k+)+(k-)=2k,cos(k-)=cos2k-（k+）=cos(k+).原式2cos（k-）=溫馨提示觀察每組誘導(dǎo)公式的等

3、號(hào)兩邊的角度，不難發(fā)現(xiàn)，這兩個(gè)角度的和或差是一個(gè)軸線(xiàn)角，即為k，kZ的形式.于是誘導(dǎo)公式的一個(gè)重要的功能是：如果兩個(gè)角的和或差是軸線(xiàn)角k，kZ的話(huà)，利用誘導(dǎo)公式總可以把它們變成同角函數(shù)來(lái)處理.2.關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的性質(zhì)與（）的誘導(dǎo)公式【例3】證明sin（-）=-sin,cos（-）=cos,tan(-)=-tan.思路分析：利用三角函數(shù)定義解析問(wèn)題.證明：設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為P1（x,y），由于角-的終邊與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，角-的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2與點(diǎn)P1，關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，因此點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（x,-y），由三角函數(shù)的定義得sin=y,cos=x,tan=;sin(-)

4、=-y,cos(-)=x,tan(-)=-;從而得sin(-)=-sin,cos(-)=cos,tan(-)=-tan.溫馨提示學(xué)習(xí)過(guò)程中，充分理解本節(jié)的宗旨，突出數(shù)形結(jié)合思想.3.誘導(dǎo)公式應(yīng)用時(shí)符號(hào)的確定【例4】 已知sin（3+）=,求的值.解析：sin(3+)=,sin=-.原式=18.溫馨提示 應(yīng)用公式時(shí)，名稱(chēng)是否變化一般能觀察明白，而函數(shù)符號(hào)的判斷要注意，易出錯(cuò).各個(gè)擊破類(lèi)題演練1求下列各三角函數(shù)值.(1)sin();(2)cos(-945).解：（1）解法1：sin()=-sin16=-sin(4+)=-sin=-sin+=sin=.解法2：sin()=sin(-6+)=sin=s

5、in(-)=sin=.(2)cos(-945)=cos945=cos（2360+225）=cos225=cos(180+45)=-cos45=.變式提升1計(jì)算：（1）cos+cos+cos+cos;(2)tan10+tan170+sin1 866-sin(-606).解：(1)原式=(cos+cos)+(cos+cos)=cos+cos(-)+cos+cos(-)=(cos-cos)+(cos-cos)=0.(2)原式=tan10+tan(180-10)+sin1 866-sin(-606)=tan10+sin(5360+66)-sin（-2）360+114=tan10-tan 10+sin6

6、6-sin66=0.類(lèi)題演練2化簡(jiǎn)：(nZ).思路分析：考查誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，關(guān)鍵在于去掉“n”.解：原式=變式提升2(1)已知tan(-)=2,求的值.思路分析：首先求出tan,其次將所求式子“弦化切”化簡(jiǎn).解：由tan(-)=2得tan=-2.則原式=.(2)已知：cos(-2)=m,求cos(2+)的值.思路分析：根據(jù)（-2）與（2+）是互補(bǔ)的角，適當(dāng)選擇誘導(dǎo)公式計(jì)算.解：（-2）+(2+)=,cos(2+)=cos-(-2)=-cos(-2)=-m.類(lèi)題演練3求證sin（-）=sin,cos（-）=-cos,tan(-)=-tan.證明：設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為P1（x,y），

7、由于角（-）的終邊與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，角（-）的終邊與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，角（-）的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，因此點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（-x,y），由三角函數(shù)的定義得：sin=y,cos=x,tan=;sin(-)=y,cos(-)=-x,tan(-)=- ;從而得sin(-)=sin,cos(-)=-cos,tan(-)=-tan.變式提升3求證：sin(-)=cos,cos(-)=sin.證明：設(shè)任意角的終邊與單位圓的交點(diǎn)P1的坐標(biāo)為（x,y）.由于角-的終邊與角的終邊關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，角-的終邊與單位圓的交點(diǎn)P2與點(diǎn)P1關(guān)于直線(xiàn)y=x對(duì)稱(chēng)，因此點(diǎn)P2的坐標(biāo)是（y,x）

8、.于是我們有：cos=x,sin=y;cos(-)=y,sin(-)=x.從而得sin（-）=cos,cos(-)=sin.類(lèi)題演練4在ABC中，sin（A+B+C）；sin（A+B）+sinC；cos（A+B）+cosC；tantan;tan(A+B)-tanC,其中表示常數(shù)的有_.解析：sin(A+B+C)=sin=0.sin(A+B)+sinC=sin(-C)+sinC=2sinC.cos(A+B)+cosC=cos(-C)+cosC=-cosC+cosC=0.tantan=tan(90-)tan=cottan=1.tan(A+B)-tanC=tan(-C)-tanC=-tanC-tanC=-2tanC.故應(yīng)填.答