曾量子力學(xué)題庫(kù)

1、簡(jiǎn)述題：試述Wien公式、Rayleigh-Jeans公式和Planck公式在解釋黑體輻射能量密度隨頻率分布的問(wèn)題上的差別試給出原子的特征長(zhǎng)度的數(shù)量級(jí)(以m為單位)及可見(jiàn)光的波長(zhǎng)范圍(以A為單位)試用Einstein光量子假說(shuō)解釋光電效應(yīng)試簡(jiǎn)述Bohr的量子理論簡(jiǎn)述波爾-索末菲的量子化條件試述deBroglie物質(zhì)波假設(shè)寫出態(tài)的疊加原理一個(gè)體系的狀態(tài)可以用不同的幾率分布函數(shù)來(lái)表示嗎？試舉例說(shuō)明。按照波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋，試給出波函數(shù)應(yīng)滿足的條件已知粒子波函數(shù)在球坐標(biāo)中為,(r,9,)，寫出粒子在球殼(r,r+dr)中被測(cè)到的幾率以及在(9,)方向的立體角元d=sin9d9d中找到粒子的幾率。什么是

2、定態(tài)？它有哪些特征？12.,(x)=5(x)是否定態(tài)？為什么？設(shè),1eikr，試寫成其幾率密度和幾率流密度r試解釋為何微觀粒子的狀態(tài)可以用歸一化的波函數(shù)完全描述。簡(jiǎn)述和解釋隧道效應(yīng)說(shuō)明一維方勢(shì)阱體系中束縛態(tài)與共振態(tài)之間的聯(lián)系與區(qū)別。試述量子力學(xué)中力學(xué)量與力學(xué)量算符之間的關(guān)系簡(jiǎn)述力學(xué)量算符的性質(zhì)試述力學(xué)量完全集的概念試討論：若兩個(gè)厄米算符對(duì)易，是否在所有態(tài)下它們都同時(shí)具有確定值？若算符A、B均與算符C對(duì)易，即A,CB,C0,A、B、C是否可同時(shí)取得確定值？為什么？并舉例說(shuō)明。對(duì)于力學(xué)量A與B,寫出二者在任何量子態(tài)下的漲落所滿足的關(guān)系，并說(shuō)明物理意義。微觀粒子兀方向的動(dòng)量p和兀方向的角動(dòng)量L是否為

3、可同時(shí)有確定值的xx力學(xué)量？為什么？試寫出態(tài)和力學(xué)量的表象變換的表達(dá)式簡(jiǎn)述幺正變換的性質(zhì)在坐標(biāo)表象中，給出坐標(biāo)算符和動(dòng)量算符的矩陣表示粒子處在V(x)2卩，2x2的一維諧振子勢(shì)場(chǎng)中，試寫出其坐標(biāo)表象和動(dòng)量表象的定態(tài)Schrodinger方程。使用狄拉克符號(hào)導(dǎo)出不含時(shí)間的薛定諤方程在動(dòng)量表象中的形式。29如果A,b,C均為厄米算符，下列算符是否也為厄米算符？111a)-A3b)_(AB-BA)b)_(ABiBA)222試述守恒量完全集的概念全同粒子有何特點(diǎn)？對(duì)波函數(shù)有什么要求？試述守恒量的概念及其性質(zhì)自由粒子的動(dòng)量和能量是否為守恒量？為什么？電子在均勻電場(chǎng)E(0,0,)中運(yùn)動(dòng)，哈密頓量為HH一e

4、z。試判斷2mp,p,p各量中哪些是守恒量，并給出理由。xyz中心力場(chǎng)中粒子處于定態(tài)，試討論軌道角動(dòng)量是否有確定值寫出中心力場(chǎng)中的粒子的所有守恒量試給出氫原子的能級(jí)簡(jiǎn)并度并與一般中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)粒子的能級(jí)簡(jiǎn)并度進(jìn)行比較二維、三維各向同性諧振子及一維諧振子的能級(jí)結(jié)構(gòu)有何異同，并給出二維、三維各向同性諧振子能級(jí)簡(jiǎn)并度。氫原子體系處于狀態(tài),(r,6,)1R(r)Y(6,)+-R(r)Y(6,)，給出L23,11,123,22,-1和L可能取值及取值幾率，并說(shuō)明該狀態(tài)是否是定態(tài)？為什么？z已知中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子哈密頓表示為方25(25)+L2V()，試H(r2)+V(r)2pr25r5r2pr2列舉出

5、幾種該量子體系力學(xué)量完全集的選取方案。什么是正常Zeeman效應(yīng)？寫成與其相應(yīng)的哈密頓量，并指出系統(tǒng)的守恒量有哪些。試給出電子具有自旋的實(shí)驗(yàn)依據(jù)寫出O表象中O、Q和Q的本征值與本征態(tài)矢zxyz試述旋量波函數(shù)的概念及物理意義以a和B分別表示自旋向上和自旋向下的歸一化波函數(shù)，寫出兩電子體系的自旋單態(tài)和自旋三重態(tài)波函數(shù)(只寫自旋部分波函數(shù))。若力和IQ是氫原子的定態(tài)矢(電子和質(zhì)子的相互作用為庫(kù)侖作用，并計(jì)及電子的自旋一軌道耦合項(xiàng))，試給出1。和小態(tài)的守恒量完全集若在H表象中，HH+HH與H的矩陣分別為00010-3000、0.10.101、010-1007K0.10.200H,H=000104000

6、15000106丿1052丿是否可以將H看作微擾，從而利用微擾理論求解H的本征值與本征態(tài)?為什么?48.利用Einstein自發(fā)輻射理論說(shuō)明自發(fā)輻射存在的必然性。是否能用可見(jiàn)光產(chǎn)生1阿秒(io_i8s)的激光短脈沖，利用能量一時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系說(shuō)明原因。試給出躍遷的Fermi黃金規(guī)則(goldenrule)公式，并說(shuō)明式中各個(gè)因子的含義。在質(zhì)心坐標(biāo)系中，設(shè)入射粒子的散射振幅為f(,)，寫出靶粒子的散射振幅，并分別寫出全同玻色子碰撞和無(wú)極化全同費(fèi)米子碰撞的微分散射截面表達(dá)式。二、判斷正誤題(請(qǐng)說(shuō)明理由)由波函數(shù)可以確定微觀粒子的軌道波函數(shù)本身是連續(xù)的，由它推求的體系力學(xué)量也是連續(xù)的平面波表示具有確定

7、能量的自由粒子，故可用來(lái)描述真實(shí)粒子因?yàn)椴òS著時(shí)間的推移要在空間擴(kuò)散，故真實(shí)粒子不能用波包描述正是由于微觀粒子的波粒二象性才導(dǎo)致了測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式是判別經(jīng)典力學(xué)是否適用的標(biāo)準(zhǔn)設(shè)一體系的哈密頓與時(shí)間t無(wú)關(guān)，則體系一定處于定態(tài)不同定態(tài)的線性疊加還是定態(tài)對(duì)階梯型方位勢(shì)，定態(tài)波函數(shù)連續(xù)，則其導(dǎo)數(shù)必然連續(xù)H顯含時(shí)間t，則體系不可能處于定態(tài)，H不顯含時(shí)間t，則體系一定處于定態(tài)一維束縛態(tài)能級(jí)必定是非簡(jiǎn)并的一維粒子處于勢(shì)阱中，則至少有一條束縛態(tài)粒子在一維無(wú)限深勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，其動(dòng)量一定是守恒量量子力學(xué)中，靜止的波是不存在的15.8勢(shì)阱不存在束縛態(tài)自由粒子的能量本征態(tài)可取為sinkx，它也是p，-i的本征態(tài)

8、xx若兩個(gè)算符有共同本征態(tài)，則它們彼此對(duì)易在量子力學(xué)中，一切可觀測(cè)量都是厄米算符如果A,B是厄米算符，其積AB不一定是厄米算符能量的本征態(tài)的疊加態(tài)仍然是能量的本征態(tài)若A,B對(duì)易，則A,B在任意態(tài)中可同時(shí)確定若A,B不對(duì)易，則A,B在任何情況下不可同時(shí)確定p和L不可同時(shí)確定xx若A,B對(duì)易，則A的本征函數(shù)必是B的本征函數(shù)對(duì)應(yīng)一個(gè)本征值有幾個(gè)本征函數(shù)就是幾重簡(jiǎn)并若兩個(gè)算符不對(duì)易，則它們不可能同時(shí)有確定值測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系只適用于不對(duì)易的物理量根據(jù)測(cè)不準(zhǔn)原理，任一微觀粒子的動(dòng)量都不能精確測(cè)定，只能求其平均值力學(xué)量的平均值一定是實(shí)數(shù)體系具有空間反演不變性，則能量本征態(tài)一定具有確定的宇稱在非定態(tài)下力學(xué)量的平均值

9、隨時(shí)間變化體系能級(jí)簡(jiǎn)并必然是某種對(duì)稱性造成的量子體系的守恒量無(wú)論在什么態(tài)下，平均值和幾率分布都不隨時(shí)間改變?nèi)Ｗ酉到y(tǒng)的波函數(shù)必然是反對(duì)稱的全同粒子體系波函數(shù)的對(duì)稱性將隨時(shí)間發(fā)生改變描述全體粒子體系的波函數(shù)，對(duì)內(nèi)部粒子的隨意交換有確定的對(duì)稱性粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，若角動(dòng)量L是守恒量，那么L就不是守恒量zx在中心力場(chǎng)V(r)中運(yùn)動(dòng)的粒子，軌道角動(dòng)量各分量都守恒中心力場(chǎng)中粒子的能量一定是簡(jiǎn)并的中心力場(chǎng)中粒子能級(jí)的簡(jiǎn)并度至少為21+1,l0,1,2,電子的自旋沿任何方向的投影只能取方/2兩電子的自旋反平行態(tài)為三重態(tài)三、證明題：試由Schrodinger方程出發(fā)，證明+v，j=0，其中卩葉)中驚)中(

10、W)tj(r,t)(*V中一c.c.)、2m維粒子波函(x)數(shù)滿足定態(tài)Schrodinger方程，若中(兀)、中(兀)都是方程12的解則有-中中常數(shù)(與X無(wú)關(guān))1221設(shè)中(x)是定態(tài)薛定諤方程對(duì)應(yīng)于能量E的非簡(jiǎn)并解，則此解可取為實(shí)解設(shè)中(x)和中(X)是定態(tài)薛定諤方程對(duì)應(yīng)于能量E的簡(jiǎn)并解，試證明二者的線12性組合也是該定態(tài)方程對(duì)應(yīng)于能量E的解。對(duì)于8勢(shì)壘，V(x)=丫(x)，試證勢(shì)中中(x)的躍變條件6設(shè)中(x)是定態(tài)薛定諤方程-竺丄+V(x)(x)Ea2i2中(x)及其導(dǎo)數(shù)中x)必定連續(xù)。證明一維規(guī)則勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，其束縛態(tài)能級(jí)必定是非簡(jiǎn)并的證明定理：體系的任何狀態(tài)下，其厄米算符的平均值

11、必為實(shí)數(shù)證明定理：厄米算符的屬于不同本征值的本征函數(shù)彼此正交證明：在定態(tài)中幾率流密度矢量與時(shí)間無(wú)關(guān)令p2=-2工，試證p2為厄密算符xdx2x試證Tp2/2m為厄密算符設(shè)U(t)是一個(gè)幺正算符且對(duì)t可導(dǎo)，證明HH(t)i也U1是厄米算符。dt已知A和B是厄米算符，證明(A+B)和A2也是厄米算符試證明：任何一個(gè)力學(xué)量算符在它以自己的本征矢為基矢的表象中的表示為對(duì)角矩陣試證明x表象中p算符的矩陣元是(p)=-id(x-x)xx”ax試證明p表象中x算符的矩陣元是(x)id(p-p)ppap若厄米算符&BB具有共同本征函數(shù)，即召A中,BVB中，而且構(gòu)nnnnnn的直接結(jié)果。022一維體系的哈密頓算

12、符具有分立譜，證明該體系的動(dòng)量在能量本征態(tài)中的平均值等于零如果厄米算符A對(duì)任何矢量|u，有u|A|u20,則稱A為正定算符。試證明算符A=|aa|為厄米正定算符設(shè)全同二粒子的哈密頓量為H(1,2)，波函數(shù)為中(1,2)，試證明交換算符P是12個(gè)守恒量證明在定態(tài)下，任意不顯含時(shí)間t力學(xué)量A取值幾率分布不隨時(shí)間改變。設(shè)力學(xué)量A是守恒量，證明在任意態(tài)下A的取值概率分布不隨時(shí)間改變。證明：量子體系的守恒量，無(wú)論在什么態(tài)下，平均值不隨時(shí)間改變。試證在一維勢(shì)場(chǎng)v(x)中運(yùn)動(dòng)的粒子所受勢(shì)壁的作用力在束縛定態(tài)中的平均值為0(提示：利用對(duì)易關(guān)系H,x二-p)Hx37設(shè)系統(tǒng)的哈密頓量為H，厄米算符A與H對(duì)易。試證

13、明dA二o，其中a是adt的均方根偏差，即AA=1/2，式中尖括號(hào)表示求平均值。如果A,H二b,H二o，但A,bo，試證明H的本征值必有簡(jiǎn)并。粒子在對(duì)數(shù)函數(shù)型勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，V(r)二Cln(r/r)，其中常數(shù)C0,r0。試oo利用Virial定理證明：各束縛態(tài)的動(dòng)能平均值相等。試根據(jù)力學(xué)量平均值表達(dá)式F=“*(x,t)F“(x,t)dx證明力學(xué)量平均值隨時(shí)間/的變化為dF，竺-!F,H，其中H為體系的哈密頓dtdti證明：宇稱算符的本征函數(shù)非奇即偶g,Ixlb42設(shè)粒子處在對(duì)稱的雙方勢(shì)阱中V(x)，0a1xlbVIxIa0在VTd情況下求粒子能級(jí)，并證明能級(jí)是雙重簡(jiǎn)并；0證明V取有限值情況下，簡(jiǎn)

14、并將消失。0證明在氫原子的任何定態(tài)中(r,0,)中,動(dòng)能的平均值等于該定態(tài)能量的負(fù)nlm值，即，-Enlmn44已知中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子哈密頓表示為H，-上-(r2)亠V(r)，2pr2drdr2pr2證明中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子角動(dòng)量守恒45.證明Pauli算符各個(gè)分量的反對(duì)易關(guān)系46若電子處于S本征態(tài)。試證在此態(tài)中S取值/2或-/2的概率各為1/2。zy47.設(shè)有兩個(gè)電子，自旋態(tài)分別為cos1sin47.設(shè)有兩個(gè)電子，自旋態(tài)分別為cos1sinf。證明兩個(gè)電子處于自ei為2/+1esin5Y(0)，ki，o11ki，o110據(jù)此證明光學(xué)定理。四、計(jì)算題：設(shè)一維自由粒子的初態(tài)為中(X,0)，ei

15、kox，求中(X,t)。質(zhì)量為m的粒子在一維無(wú)限深方勢(shì)阱中運(yùn)動(dòng)，勢(shì)阱可表示為Vx)中x,o,a)B；xa求解能量本征值E和歸一化的本征函數(shù)(x)；nn(2)若已知t0時(shí)，該粒子狀態(tài)為中x,0)丄(x)+0),求粒子的束縛定態(tài)能級(jí)與相應(yīng)的歸一化波函數(shù)。設(shè)有質(zhì)量為m的粒子(能量E0)從左入射，碰到8勢(shì)壘V(x)=y8(x)(常數(shù)y0)，試推導(dǎo)出8勢(shì)中中的躍變條件。質(zhì)量為m的粒子，在位勢(shì)V(x)8(x)+W(0)中運(yùn)動(dòng)，其中0 x0V000試給出存在束縛態(tài)的條件，并給出其能量本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)；給出粒子處于兀0區(qū)域中的幾率。它是大于1/2,還是小于1/2,為什么？個(gè)質(zhì)量為m的粒子在一維勢(shì)場(chǎng)v(x

16、);。1x以a，求波函數(shù)滿足的方y(tǒng)8(x)Ixla粒子的定態(tài)能量E與歸一化的波函數(shù)(x)；nn粒子在態(tài)0,r函數(shù)滿足遞推關(guān)系:2n+1K2r（z+1）=zr（z）,r（1）=1,r（2）=Z-!fe，2x22ixdx兀f把傳導(dǎo)電子限制在金屬內(nèi)部的是金屬內(nèi)勢(shì)的一V（x）種平均勢(shì)，對(duì)于下列一維模型（如圖）Vacuum-V-VBV,x0時(shí)接近金屬表面的傳導(dǎo)電子的反射0101和透射幾率。sinp22H(ax)2設(shè)t0sinp22H(ax)2(x,0)Ae2,2x2(cosp)H(ox)+0狀態(tài)，其中A,p是實(shí)常數(shù)，,=f竺丫2,H（ox）是厄米多項(xiàng)式。0與V0時(shí)的量子力學(xué)效應(yīng)。00設(shè)一維線性諧振子處于

17、基態(tài)（1）求,x（2）寫出本征能量e，并說(shuō)明它反映微觀粒子的什么性質(zhì)（3）利用位力定理證明：xp/2，其中xAx-2-2xxx設(shè)一維諧振子能量本征函數(shù)為-。試?yán)眠f推公式nx-丄n+1-+n-求諧振子坐標(biāo)在能量表象中的矩陣表示n,2n+12n-1丿一維諧振子t0時(shí)處于基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)中的疊加態(tài)（兀，），（o（兀i（兀）其中中（x），Ne-2a2x2，（x），Ne-2x22ax0011（1）求t時(shí)刻位置和動(dòng)量的平均值x,p；tt（2）證明對(duì)于一維諧振子的任何狀態(tài)，t時(shí)刻位置和動(dòng)量的平均值有關(guān)系;d1；x，p；dttmt（3）求t時(shí)刻能量的平均值0）r2r設(shè)有一個(gè)定域電子，受到沿x方向均勻磁場(chǎng)的作

18、用，Hamiltonian量（不01010101考慮軌道運(yùn)動(dòng)）表為H=竺S=竺。設(shè)t二0時(shí)電子自旋“向上”S=-），mcx2mcxz2求t,0時(shí)s的平均值。假設(shè)一個(gè)定域電子（忽略電子軌道運(yùn)動(dòng)）在均勻磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，磁場(chǎng)b沿z軸e正向，電子磁矩在均勻磁場(chǎng)中的勢(shì)能為：V=-卩B，其中y=-gcs,s2m二2）為電子的磁矩，自旋用泡利矩陣二2）為電子的磁矩，自旋用泡利矩陣S=表示。求定域電子在磁場(chǎng)中的哈密頓量，并列出電子滿足的薛定諤方程:1)2)3)d入igHX；ct假設(shè)t二0時(shí)，電子自旋指向x軸正向，即s=2，求t,0時(shí)，自旋s的平均值；求t,0時(shí)，電子自旋指向y軸負(fù)向，即s=仏幾率是多少？-y2自旋

19、s二2，并具有自旋磁矩M=嚇的粒子處于沿看向的均勻磁場(chǎng)B中。已知t=0時(shí)，粒子的s二，求在以后任意時(shí)刻發(fā)現(xiàn)粒子具有s=z2y2的幾率。在S表象中求自旋角動(dòng)量在（sin9cos申,sin9sin申,cosO）方向的投影zS二Ssin9cosQ+Ssin9sinp0時(shí)刻體系的自旋波函數(shù)g（t）；（2）在t時(shí)刻電子自旋各分量的平均值；（3）指出哪些自旋分量是守恒量，并簡(jiǎn)述其理由?？紤]兩個(gè)電子組成的系統(tǒng)。它們空間部分波函數(shù)在交換電子空間部分坐標(biāo)時(shí)可以是對(duì)稱的或是反對(duì)稱的。由于電子是費(fèi)米子，整體波函數(shù)在交換全部坐標(biāo)變量（包括空間部分和自旋部分）時(shí)必須是反對(duì)稱的。1）假設(shè)空間部分波函數(shù)是反對(duì)稱的，求對(duì)應(yīng)自

20、旋部分波函數(shù)。總自旋算符定義為：Ss+s。求：S2和S的本征值；12z（2）假設(shè)空間部分波函數(shù)是對(duì)稱的，求對(duì)應(yīng)自旋部分波函數(shù)，S2和S的本z征值；（3）假設(shè)兩電子系統(tǒng)哈密頓量為：HJs，s，分別針對(duì)（1）（2）兩種情12形，求系統(tǒng)的能量。1）兩個(gè)電子處在自旋單態(tài)（00）=la（1）1敕（2）中,其中U、分別是自旋算符S/2和S=/21）試證明：y（00）是算符&的本征態(tài)（&和&分別是兩個(gè)單電子的自1212旋算符）；（2）如果測(cè)量一個(gè)電子的自旋乙分量，得S/2，那么測(cè)量另一個(gè)電子的Z自旋S/2的概率是多少？Z（3）如果測(cè)量（00）態(tài)的一個(gè)電子的自旋S，測(cè)量結(jié)果表明它處在S/2yy的本征態(tài)，那么再

21、測(cè)量另一個(gè)電子自旋兀分量，得到S/2的概率x是多少？由兩個(gè)非全同粒子組成的體系，二粒子自旋均為/2，不考慮軌道運(yùn)動(dòng)，粒子間相互作用可寫作HAS，s。設(shè)初始時(shí)刻（t0）粒子1自旋朝上12（s1/2），粒子2自旋朝下（s1/2）。求t時(shí)刻1Z1Z（1）粒子1自旋向上的概率；（2）粒子1和2自旋均向上的概率；3)總自旋為0和1的概率質(zhì)量為m的一個(gè)粒子在邊長(zhǎng)為a的立方盒子中運(yùn)動(dòng)，粒子所受勢(shì)能V(x,y,z)由下式給出：V(x,y,z)中X，)；y，)；Z，)gothers列出定態(tài)薛定諤方程，并求系統(tǒng)能量本征值和歸一化波函數(shù)；假設(shè)有兩個(gè)電子在立方盒子中運(yùn)動(dòng)，不考慮電子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少？并寫出

22、歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)(提示：電子自旋為i，是費(fèi)米子)；2假設(shè)有兩個(gè)玻色子在立方盒子中運(yùn)動(dòng)，不考慮玻色子間相互作用,系統(tǒng)基態(tài)能是多少？并寫出歸一化系統(tǒng)基態(tài)波函數(shù)。36.已知t0時(shí)36.已知t0時(shí),氫原子的波函數(shù)為中(,s,t0)z中2100(r)(r)丿其中01010101中(r)R(r)Ynlmn.lm(,)滿足歸一化條件“中(r)R(r)Ynlmn.lmnlm寫出任意t時(shí)刻的波函數(shù)中(,s,t)z求能量E、軌道角動(dòng)量L和L、自旋S的可能取值和相應(yīng)的幾zz率以及平均值計(jì)算t時(shí)刻自旋分量S的平均值Sxx寫出t時(shí)刻電子處在以原子核為球心，半徑為R的球體積內(nèi)，且S-的幾率的表達(dá)式z2粒子處在無(wú)限深球

23、方勢(shì)阱中(1)求其徑向波函數(shù)R(r)和能量本征值n,0rE；(2)今加上一微擾V”r(”為小量)，求能量一級(jí)修正值(只求第n,0r一激發(fā)態(tài)n1的結(jié)果)。r一維無(wú)限深方勢(shì)阱(0 xa)中的粒子受到微擾H，Acos(0 xa)a的作用，其中A為常數(shù)。求基態(tài)能量的二級(jí)近似與波函數(shù)的一級(jí)近似。并與嚴(yán)格解比一維諧振子的哈密頓為H，-竺丄1mco2x2,若再加上一個(gè)外場(chǎng)作用02mdx22并與嚴(yán)格解比H，ax(a1)，使用微擾論計(jì)算體系的能量到二級(jí)修正,較。40.有一兩能級(jí)體系，哈密頓量為H，40.有一兩能級(jí)體系，哈密頓量為H，HH，在H表象中,00廠01、10丿H和方表示為0(E0)1E120101010

24、141.設(shè)Hamilton量的矩陣形式為：h，1)設(shè)c1，應(yīng)用微擾論求H1)設(shè)c1，應(yīng)用微擾論求H本征值到二級(jí)近似;2)求H的精確本征值;3)在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。0101010142.設(shè)在表象H中，H，HH，H與微擾H/的矩陣為c是微小量。c是微小量。(100、(011E010H=c1010002,112丿H，0其中E與2E分別是基態(tài)與激發(fā)態(tài)的零級(jí)近似能量,00(1)求基態(tài)的一級(jí)近似能量與零級(jí)近似態(tài)矢激發(fā)態(tài)的二級(jí)近似能量與一級(jí)近似態(tài)矢。43.已知系統(tǒng)的哈密頓量為H，43.已知系統(tǒng)的哈密頓量為H，0(&0101B，L是角動(dòng)量平方算符。試用一級(jí)微擾論計(jì)算系統(tǒng)的p能級(jí)(1=1)的分裂，并算

25、出微擾后的零級(jí)近似波函數(shù)。對(duì)于一維諧振子，取基態(tài)試探波函數(shù)形式為e，九為參數(shù)。用變分法求X基態(tài)能量，并與嚴(yán)格解進(jìn)行比較。X一維無(wú)限深勢(shì)阱加上如圖所示的微擾，則勢(shì)函數(shù)為，V、曰ox(V為小量)0 xaV(x)(a0、gxa試用微擾論求基態(tài)能量本和波函數(shù)至一級(jí)近似。氫原子處于基態(tài)：沿z方向加一個(gè)均勻弱電場(chǎng)S，視電場(chǎng)為微擾。求電場(chǎng)作用后的基態(tài)波函數(shù)(一級(jí)近似)，能級(jí)(二級(jí)近似)，平均電矩和電極化系數(shù)(不考慮自旋)?？紤]體系HT+V(x)，且V(x)加(A0)x0gx0利用變分法，取試探波函數(shù)為中(x)(2)1/2e翥，求基態(tài)能量上限；1b我們知道，如試探波函數(shù)為中(x)(1)1/2竺e蔦，則基態(tài)能量

26、上限為2bb0101E=（里）1/3（母2）1/3。對(duì)這兩個(gè)基態(tài)的能量上限，你能接受哪一個(gè)？為什24m么？以中二e為變分函數(shù)，式中，為變分參數(shù)，試用變分法求一維諧振子的基態(tài)能量和波函數(shù)。已知卜X2nexpLox2lx二1-3（2n-1）02n+1a2n+1質(zhì)量為的粒子在一維勢(shì)場(chǎng)V乙0中運(yùn)動(dòng)，式中G0。,z0（1）用變分法計(jì)算基態(tài)能量時(shí)，在z0區(qū)域內(nèi)的試探波函數(shù)應(yīng)取下列波函數(shù)中的哪一個(gè)？為什么？（a）z+z2,（b）e-z2,（c）ze-z,（d）sinz（2）算出基態(tài)能量。提示：必要時(shí)可利用積分公式：仁叱-，zdz=且,n+10質(zhì)量為m的的粒子在勢(shì)場(chǎng)v（x）=廣X0（C0）中運(yùn)動(dòng)。Cx2,X0

27、（1）用變分法估算粒子基態(tài)能量，試探波函數(shù)取中（X）二Axe-X,為變分參量。（2）它是解的上限，還是下限？將它同精確解比較。（附：積分公式卜xne-，xdx=旦）0an+1（1）設(shè)氫原子處于沿z方向的均勻靜磁場(chǎng)B=Bk中，不考慮自旋，在弱磁場(chǎng)下，求n二2能級(jí)的分裂情況;（2）如果沿z方向不僅有靜磁場(chǎng)B=Bk，還有均勻靜電場(chǎng)E=k，再用微擾方法求n二2能級(jí)的分裂情況（取到一0級(jí)近似，必要時(shí)可以利用矩陣元200|z1210 x-3a）。設(shè)體系的Hamilton量為H二1，頻率是實(shí)常數(shù)。01丿(1)求體系能量的本征值和本征函數(shù)；(2)如果t=0時(shí)體系處于1狀態(tài)，求t0時(shí)體系所處的狀態(tài)；2i丿如果t

28、二0時(shí)體系處于基態(tài)，當(dāng)一個(gè)小的與t有關(guān)的微擾e-1f0Y0丿在t=0時(shí)加上后，求tT，并開始受微擾H=x2e-2kt的作用。求經(jīng)過(guò)充分長(zhǎng)時(shí)間(t)以后體系躍遷到I2態(tài)的幾率中微子振蕩實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)：電子中微子可以轉(zhuǎn)變?yōu)榭娮又形⒆?。我們用波函?shù)1表示電子中微子，2表示繆子中微子，用非對(duì)角項(xiàng)不為零的2-2矩陣表示哈密頓量，計(jì)算表明中微子將在電子中微子態(tài)卩和繆子中微子態(tài)|2間振蕩。假設(shè)：卩=，中微子波函數(shù)可表示為：g、J.d=i間振蕩。假設(shè)：卩=，中微子波函數(shù)可表示為：g、J.d=idt(1)中微子哈密頓的本征方程是=引中)，求對(duì)應(yīng)年值和歸一化本a2+b2=1，中微子哈密頓量的矩陣表示：H=8g，其中8和

29、g都是實(shí)數(shù)；波函數(shù)隨時(shí)間的演化滿足薛定諤方程：H征矢量；010101011；證明t=t時(shí)，中微子波(2)假設(shè)t=1；證明t=t時(shí)，中微子波函數(shù)是00gt,COS(%)；|中(t)=e-:-isin(邑)(3)求t=t時(shí)電子中微子轉(zhuǎn)變?yōu)榭娮又形⒆拥膸茁驶鶓B(tài)氫原子處于平行板電場(chǎng)中，若電場(chǎng)是均勻的且隨時(shí)間按指數(shù)下降即0,當(dāng)t0=0為大于零的參數(shù))0求經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間后氫原子處在2p態(tài)的幾率。一個(gè)定域(空間位置不動(dòng))的電子處于z方向強(qiáng)磁場(chǎng)B中，自旋朝下(z軸z負(fù)方向)。此時(shí)加上一個(gè)y方向交變?nèi)醮艌?chǎng)Bcos伽)，其頻率可調(diào)。自y旋朝上與朝下的能量差可寫成。在1的條件下，用微擾方法00求出很短時(shí)間T后粒子自旋朝上的幾率。帶有電荷q的一維諧振子在光照下發(fā)生躍遷。給出電偶極躍遷的選擇定則；設(shè)照射光的強(qiáng)度為I)，計(jì)算振子由基態(tài)到第一激發(fā)態(tài)的躍遷速率(如必要，可利用遞推公式x(如必要，可利用遞推公式x中(x)=丄nan2中n-1(Xn(x)進(jìn)行計(jì)算)。2n1000060.質(zhì)量為的高能粒子被中心力勢(shì)V(r)二Ae-r糾a2(A0,a0)散射，求散射微分截面o(0)和總截面Q。t61.用玻恩近似法求粒子在勢(shì)能UC)=-Ue-r/a,a0，時(shí)的微分散射截面。0提示：必要時(shí)可用積分公式卜xe-提示：必要時(shí)可用積分公式卜xe-mx0sinn