特殊的四邊形壓軸題

1、-. z.特殊的四邊形 壓軸題題一解答題共30小題1，正方形ABCD中，MAN=45，MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC或它們的延長線于點M、N，AHMN于點H1如圖，當MAN繞點A旋轉到BM=DN時，請你直接寫出AH與AB的數(shù)量關系：；2如圖，當MAN繞點A旋轉到BMDN時，1中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；3如圖，MAN=45，AHMN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長可利用2得到的結論2如圖，在ABCD中，BC=2AB=4，點E、F分別是BC、AD的中點1求證：ABECDF；2當四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積3如圖

2、，在ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連接BF1求證：D是BC的中點2如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論4在RtABC中，ACB=90，現(xiàn)按如下步驟作圖：分別以A，C為圓心，a為半徑aAC作弧，兩弧分別交于M，N兩點；過M，N兩點作直線MN交AB于點D，交AC于點E；將ADE繞點E順時針旋轉180，設點D的像為點F1請在圖中直線標出點F并連接CF；2求證：四邊形BCFD是平行四邊形；3當B為多少度時，四邊形BCFD是菱形5如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，點P是AB邊上一點不與A，B重合，連接C

3、P，過點P作PQCP交AD邊于點Q，連接CQ1當CDQCPQ時，求AQ的長；2取CQ的中點M，連接MD，MP，假設MDMP，求AQ的長6正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角DAG=，其中0180，連結DF，BF，如圖1假設=0，則DF=BF，請加以證明；2試畫一個圖形即反例，說明1中命題的逆命題是假命題；3對于1中命題的逆命題，如果能補充一個條件后能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認為需要補充的一個條件，不必說明理由7如圖正方形ABCD中，E為AD邊上的中點，過A作AFBE，交CD邊于F，M是AD邊上一點，且有BM=DM+CD1求證：點F

4、是CD邊的中點；2求證：MBC=2ABE8如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、AB上兩點，且BE=BF，過點B作AE的垂線交AC于點G，過點G作CF的垂線交BC于點H延長線段AE、GH交于點M1求證：BFC=BEA；2求證：AM=BG+GM9如圖，矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動點，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點1求證：四邊形PMEN是平行四邊形；2請直接寫出當AP為何值時，四邊形PMEN是菱形；3四邊形PMEN有可能是矩形嗎？假設有可能，求出AP的長；假設不可能，請說明理由10如圖，正方形ABCD，把邊DC繞D點順時針旋轉30到DC處，連接AC，BC，CC，

5、寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過程11如圖，在正方形ABCD中，點E、點F分別在邊BC、DC上，BE=DF，EAF=601假設AE=2，求EC的長；2假設點G在DC上，且AGC=120，求證：AG=EG+FG12如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O點E是線段DO上一點，連接CE點F是OCE的平分線上一點，且BFCF與CO相交于點M點G是線段CE上一點，且CO=CG1假設OF=4，求FG的長；2求證：BF=OG+CF131如圖，兩個正方形的邊長均為3，求三角形DBF的面積2如圖，正方形ABCD的邊長為3，正方形CEFG的邊長為1，求三角形DBF的面積3如圖，正方形ABCD的邊長為a，正方

6、形CEFG的邊長為b，求三角形DBF的面積14如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點，AE的延長線交CD于F，交BC的延長線于G，M是FG的中點1求證：1=2；ECMC2試問當1等于多少度時，ECG為等腰三角形？請說明理由15如圖，正方形ABCD中，M為BC上除點B、C外的任意一點，AMN是等腰直角三角形，斜邊AN與CD交于點F，延長AN與BC的延長線交于點E，連接MF、1求證：BM+DF=MF；2求NCE的度數(shù)16如圖，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上的一個動點不與點A重合，延長ME交CD的延長線于點N，連接MD，AN1求證：四邊形AMDN是平行四

7、邊形2當AM的值為何值時，四邊形AMDN是矩形？請說明理由17如圖，ABC中，AB=AC，AD是ABC外角的平分線，BAC=ACD1求證：ABCCDA；2假設B=60，求證：四邊形ABCD是菱形18如圖，在ABC中，AB=AC，B=60，F(xiàn)AC、ECA是ABC的兩個外角，AD平分FAC，CD平分ECA求證：四邊形ABCD是菱形19如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF1證明：BAC=DAC，AFD=CFE2假設ABCD，試證明四邊形ABCD是菱形；3在2的條件下，試確定E點的位置，使得EFD=BCD，并說明理由20如圖，ABC中，AB=AC，

8、AD是BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE1求證：四邊形AEBD是矩形；2當ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由21如圖，ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MNBC設MN交ACB的平分線于點E，交ACB的外角平分線于點F1求證：OE=OF；2假設CE=12，CF=5，求OC的長；3當點O在邊AC上運動到什么位置時，四邊形AECF是矩形？并說明理由22如圖，過正方形ABCD的頂點D作DEAC交BC的延長線于點E1判斷四邊形ACED的形狀，并說明理由；2假設BD=8cm，求線段BE的長23如圖，菱形ABCD中，E是AD中

9、點，EFAC交CB的延長線于點F1DE和BF相等嗎？請說明理由2連接AF、BE，四邊形AFBE是平行四邊形嗎？說明理由24如圖1，菱形ABCD中，點E、F分別為AB、AD的中點，連接CE、CF1求證：CE=CF；2如圖2，假設H為AB上一點，連接CH，使CHB=2ECB，求證：CH=AH+AB25如圖，四邊形ABCD是菱形，E是BD延長線上一點，F(xiàn)是DB延長線上一點，且DE=BF，連接AF、CF1請你猜測圖中與點F有關的一個正確結論；2證明你的猜測26如圖，菱形ABCD中，點E、M在AD上，且CD=CM，點F為AB上的點，且ECF=B1假設菱形ABCD的周長為8，且D=67.5，求MCD的面積

10、；2求證：BF=EFEM27如圖，在菱形ABCD中，B=60，點E、F分別在邊BC、CD上1假設AB=4，試求菱形ABCD的面積；2假設AEF=60，求證：AB=CE+CF281人教版八年級數(shù)學下冊92頁第14題是這樣表達的：如圖1，ABCD中，過對角線BD上一點P作EFBC，HGAB，圖中哪兩個平行四邊形的面積相等？為什么？根據(jù)習題背景，寫出面積相等的一對平行四邊形的名稱為和；2如圖2，點P為ABCD內一點，過點P分別作AD、AB的平行線分別交ABCD的四邊于點E、F、G、HSBHPE=3，SPFDG=5，則SPAC=；3如圖3，假設五個平行四邊形拼成一個含30內角的菱形EFGH不重復、無縫

11、隙四個平行四邊形面積的和為14，四邊形ABCD的面積為11，則菱形EFGH的周長為29將矩形紙片ABCD折疊，使點C與點A重合，然后展開，折痕為EF，連接AE、CF，求證：四邊形AECF是菱形30如圖，ABC中，BAC=90，點D是BC的中點，AEDC，ECAD，連接DE交AC于點O，1求證：四邊形ADCE是菱形；2假設AB=AO，求tanOCE的值2017年11月04日數(shù)學1的初中數(shù)學組卷參考答案與試題解析一解答題共30小題1，正方形ABCD中，MAN=45，MAN繞點A順時針旋轉，它的兩邊分別交CB、DC或它們的延長線于點M、N，AHMN于點H1如圖，當MAN繞點A旋轉到BM=DN時，請你

12、直接寫出AH與AB的數(shù)量關系：AH=AB；2如圖，當MAN繞點A旋轉到BMDN時，1中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關系還成立嗎？如果不成立請寫出理由，如果成立請證明；3如圖，MAN=45，AHMN于點H，且MH=2，NH=3，求AH的長可利用2得到的結論【分析】1由三角形全等可以證明AH=AB，2延長CB至E，使BE=DN，證明AEMANM，能得到AH=AB，3分別沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，然后分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCE，設AH=*，則MC=*2，NC=*3，在RtM中，由勾股定理，解得*【解答】解：1如圖AH=AB2數(shù)量關系成立如圖，延長CB至E，使BE

13、=DNABCD是正方形，AB=AD，D=ABE=90，在RtAEB和RtAND中，RtAEBRtAND，AE=AN，EAB=NAD，EAM=NAM=45，在AEM和ANM中，AEMANMSAEM=SANM，EM=MN，AB、AH是AEM和ANM對應邊上的高，AB=AH3如圖分別沿AM、AN翻折AMH和ANH，得到ABM和AND，BM=2，DN=3，B=D=BAD=90分別延長BM和DN交于點C，得正方形ABCD，由2可知，AH=AB=BC=CD=AD設AH=*，則MC=*2，NC=*3，在RtM中，由勾股定理，得MN2=MC2+NC252=*22+*326分解得*1=6，*2=1不符合題意，舍

14、去AH=6【點評】主要考察正方形的性質和三角形全等的判斷，難度中等2如圖，在ABCD中，BC=2AB=4，點E、F分別是BC、AD的中點1求證：ABECDF；2當四邊形AECF為菱形時，求出該菱形的面積【分析】第1問要證明三角形全等，由平行四邊形的性質，很容易用SAS證全等第2要求菱形的面積，在第1問的根底上很快知道ABE為等邊三角形這樣菱形的高就可求了，用面積公式可求得【解答】1證明：在ABCD中，AB=CD，BC=AD，ABC=CDA又BE=EC=BC，AF=DF=AD，BE=DFABECDF2解：四邊形AECF為菱形，AE=EC又點E是邊BC的中點，BE=EC，即BE=AE又BC=2AB

15、=4，AB=BC=BE，AB=BE=AE，即ABE為等邊三角形，ABCD的BC邊上的高為2sin60=，菱形AECF的面積為2【點評】考察了全等三角形，四邊形的知識以及邏輯推理能力1用SAS證全等；2假設四邊形AECF為菱形，則AE=EC=BE=AB，所以ABE為等邊三角形3如圖，在ABC中，D是BC邊上的一點，E是AD的中點，過A點作BC的平行線交CE的延長線于F，且AF=BD，連接BF1求證：D是BC的中點2如果AB=AC，試判斷四邊形AFBD的形狀，并證明你的結論【分析】1因為AFBC，E為AD的中點，即可根據(jù)AAS證明AEFDEC，故有BD=DC；2可根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩

16、形進展判定【解答】1證明：AFBC，AFE=DCE1分E是AD的中點，AE=DE2分AEF=DEC，AEFDEC3分AF=DC，AF=BDBD=CD，D是BC的中點；4分2四邊形AFBD是矩形，5分證明：AB=AC，D是BC的中點，ADBC，ADB=90，6分AF=BD，AFBC，四邊形AFBD是平行四邊形，7分四邊形AFBD是矩形【點評】此題考察矩形的判定和全等三角形的判定與性質要熟知這些判定定理才會靈活運用，根據(jù)性質才能得到需要的相等關系4在RtABC中，ACB=90，現(xiàn)按如下步驟作圖：分別以A，C為圓心，a為半徑aAC作弧，兩弧分別交于M，N兩點；過M，N兩點作直線MN交AB于點D，交A

17、C于點E；將ADE繞點E順時針旋轉180，設點D的像為點F1請在圖中直線標出點F并連接CF；2求證：四邊形BCFD是平行四邊形；3當B為多少度時，四邊形BCFD是菱形【分析】1根據(jù)題意作出圖形即可；2首先根據(jù)作圖得到MN是AC的垂直平分線，然后得到DE等于BC的一半，從而得到DE=EF，即DF=BC，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進展判定即可；3得到BD=CB后利用鄰邊相等的平行四邊形是菱形進展判定即可【解答】解：1如下圖：2根據(jù)作圖可知：MN垂直平分線段AC，D、E為線段AB和AC的中點，DE是ABC的中位線，DE=BC，將ADE繞點E順時針旋轉180，點D的像為點F，EF=

18、ED，DF=BC，DEBC，四邊形BCFD是平行四邊形；3當B=60時，四邊形BCFD是菱形；B=60，BC=AB，DB=AB，DB=CB，四邊形BCFD是平行四邊形，四邊形BCFD是菱形【點評】此題考察了菱形的判定、平行四邊形的判定及根本作圖的知識，解題的關鍵是能夠了解各種特殊四邊形的判定定理，難度不大5如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，點P是AB邊上一點不與A，B重合，連接CP，過點P作PQCP交AD邊于點Q，連接CQ1當CDQCPQ時，求AQ的長；2取CQ的中點M，連接MD，MP，假設MDMP，求AQ的長【分析】1根據(jù)全等三角形的性質求得DQ=PQ，PC=DC=5，然后利用勾股

19、定理即可求得；2方法1、過M作EFCD于F，則EFAB，先證得MDFPME，求得ME=DF=，然后根據(jù)梯形的中位線的性質定理即可求得方法2、利用三角形的外角和DMP=90，得出DCP=90，得出BP=BC=3，再判斷出AQ=AP=2即可【解答】解：1CDQCPQ，DQ=PQ，PC=DC，AB=DC=5，AD=BC=3，PC=5，在RtPBC中，PB=4，PA=ABPB=54=1，設AQ=*，則DQ=PQ=3*，在RtPAQ中，3*2=*2+12，解得*=，AQ=2方法1，如圖2，過M作EFCD于F，則EFAB，MDMP，PMD=90，PME+DMF=90，F(xiàn)DM+DMF=90，MDF=PME，

20、M是QC的中點，DM=QC，PM=QC，DM=PM，在MDF和PME中，MDFPMEAAS，ME=DF，PE=MF，EFCD，ADCD，EFAD，QM=MC，DF=CF=DC=，ME=，ME是梯形ABCQ的中位線，2ME=AQ+BC，即5=AQ+3，AQ=2方法2、點M是RtCDQ的斜邊CQ中點，DM=CM，DMQ=2DCQ，點M是RtCPQ的斜邊的中點，MP=CM，PMQ=2PCQ，DMP=90，2DCQ+2PCQ=90，PCD=45，BCP=9045=45，BPC=45=BCP，BP=BC=3，CPQ=90，APQ=1809045=45，AQP=9045=45=APQ，AQ=AP=2【點評

21、】此題考察了矩形的性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理的應用，直角三角形斜邊中線的性質，梯形的中位線的性質等，2求得MDFPME是此題的關鍵6正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A，將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉，記旋轉角DAG=，其中0180，連結DF，BF，如圖1假設=0，則DF=BF，請加以證明；2試畫一個圖形即反例，說明1中命題的逆命題是假命題；3對于1中命題的逆命題，如果能補充一個條件后能使該逆命題為真命題，請直接寫出你認為需要補充的一個條件，不必說明理由【分析】1利用正方形的性質證明DGFBEF即可；2當=180時，DF=BF3利用正方形的性質和DGFBEF的性質即可

22、證得是真命題【解答】1證明：如圖1，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，AG=AE，AD=AB，GF=EF，DGF=BEF=90，DG=BE，在DGF和BEF中，DGFBEFSAS，DF=BF；2解：圖形即反例如圖2，3解：補充一個條件為：點F在正方形ABCD內；即：假設點F在正方形ABCD內，DF=BF，則旋轉角=0【點評】此題主要考察正方形的性質及全等三角形的判定和性質，旋轉的性質，命題和定理，掌握全等三角形的對應邊相等是解題的關鍵，注意利用正方形的性質找三角形全等的條件7如圖正方形ABCD中，E為AD邊上的中點，過A作AFBE，交CD邊于F，M是AD邊上一點，且有BM=DM+CD1求

23、證：點F是CD邊的中點；2求證：MBC=2ABE【分析】1由正方形得到AD=DC=AB=BC，C=D=BAD=90，ABCD，根據(jù)AFBE，求出AEB=AFD，推出BAEADF，即可證出點F是CD邊的中點；2延長AD到G使BM=MG，得到DG=BC=DC，證FDGFCB，求出B，F(xiàn)，G共線，再證ABECBF，得到ABE=CBF，根據(jù)三角形的外角性質即可求出結論1證明：正方形ABCD，AD=DC=AB=BC，C=D=BAD=90，ABCD，AFBE，AOE=90，EAF+AEB=90，EAF+BAF=90，AEB=BAF，ABCD，BAF=AFD，AEB=AFD，BAD=D，AB=AD，BAEA

24、DF，AE=DF，E為AD邊上的中點，點F是CD邊的中點；2證明：延長AD到G使MG=MB連接FG，F(xiàn)B，BM=DM+CD，DG=DC=BC，GDF=C=90，DF=CF，F(xiàn)DGFCBSAS，DFG=CFB，B，F(xiàn)，G共線，E為AD邊上的中點，點F是CD邊的中點，AD=CDAE=CF，AB=BC，C=BAD=90，AE=CF，ABECBF，ABE=CBF，AGBC，AGB=CBF=ABE，MBC=AMB=2AGB=2GBC=2ABE，MBC=2ABE【點評】此題主要考察了全等三角形的性質和判定，三角形的外角性質，正方形的性質等知識點，綜合運用性質進展證明是解此題的關鍵，此題是一個拔高的題目，有

25、一定的難度8如圖，在正方形ABCD中，E、F分別為BC、AB上兩點，且BE=BF，過點B作AE的垂線交AC于點G，過點G作CF的垂線交BC于點H延長線段AE、GH交于點M1求證：BFC=BEA；2求證：AM=BG+GM【分析】1根據(jù)正方形的四條邊都相等，AB=BC，又BE=BF，所以ABE和CBF全等，再根據(jù)全等三角形對應角相等即可證出；2連接DG，根據(jù)正方形的性質，AB=AD，DAC=BAC=45，AG是公共邊，所以ABG和ADG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等，BG=DG，對應角相等2=3，因為BGAE，所以BAE+2=90，而BAE+4=90，所以2=4，因此3=4，根據(jù)GMCF和1中全等

26、三角形的對應角相等可以得到1=BFC=2，在ADG中，DGC=3+45，所以DGM三點共線，因此ADM是等腰三角形，AM=DM=DG+GM，所以AM=BG+GM證明：1在正方形ABCD中，AB=BC，ABC=90，在ABE和CBF中，ABECBFSAS，BFC=BEA；2連接DG，在ABG和ADG中，ABGADGSAS，BG=DG，2=3，BGAE，BAE+2=90，BAD=BAE+4=90，2=3=4，GMCF，BCF+1=90，又BCF+BFC=90，1=BFC=2，1=3，在ADG中，DGC=3+45，DGC也是CGH的外角，D、G、M三點共線，3=4已證，AM=DM，DM=DG+GM=

27、BG+GM，AM=BG+GM【點評】此題綜合性較強，主要考察正方形的性質，三角形全等的判定，三角形全等的性質，第二問中，證明三點共線是解題的關鍵9如圖，矩形ABCD，AD=4，CD=10，P是AB上一動點，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點1求證：四邊形PMEN是平行四邊形；2請直接寫出當AP為何值時，四邊形PMEN是菱形；3四邊形PMEN有可能是矩形嗎？假設有可能，求出AP的長；假設不可能，請說明理由【分析】1根據(jù)三角形的中位線的性質和平行四邊形的判定定理可證明2當DP=CP時，四邊形PMEN是菱形，P是AB的中點，所以可求出AP的值3四邊形PMEN是矩形的話，DPC必需為90，判斷一下

28、DPC是不是直角三角形就行解：1M、N、E分別是PD、PC、CD的中點，ME是PC的中位線，NE是PD的中位線，MEPC，ENPD，四邊形PMEN是平行四邊形；2當AP=5時，在RtPAD和RtPBC中，PADPBC，PD=PC，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點，NE=PM=PD，ME=PN=PC，PM=ME=EN=PN，四邊形PMEN是菱形；3四邊形PMEN可能是矩形假設四邊形PMEN是矩形，則DPC=90設PA=*，PB=10*，DP=，CP=DP2+CP2=DC216+*2+16+10*2=102*210*+16=0*=2或*=8故當AP=2或AP=8時，四邊形PMEN是矩形【點評

29、】此題考察平行四邊形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性質，知道矩形的四個角都是直角，對邊相等等性質10如圖，正方形ABCD，把邊DC繞D點順時針旋轉30到DC處，連接AC，BC，CC，寫出圖中所有的等腰三角形，并寫出推理過程【分析】利用旋轉的性質以及正方形的性質進而得出等腰三角形，再利用全等三角形的判定與性質判斷得出【解答】解；圖中的等腰三角形有：DCC，DCA，CAB，CBC，理由：四邊形ABCD是正方形，AB=AD=DC，BAD=ADC=90，DC=DC=DA，DCC，DCA為等腰三角形，CDC=30，ADC=90，ADC=60，ACD為等邊三角形，AC=AD=AB，CAB為等

30、腰三角形，CAB=9060=30，CDC=CAB，在DCC和ABC中，DCCABCSAS，CC=CB，BCC為等腰三角形【點評】此題主要考察了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定與性質等知識，得出ACD為等邊三角形是解題關鍵11如圖，在正方形ABCD中，點E、點F分別在邊BC、DC上，BE=DF，EAF=601假設AE=2，求EC的長；2假設點G在DC上，且AGC=120，求證：AG=EG+FG【分析】1連接EF，根據(jù)正方形的性質求出AB=AD，B=D，然后利用邊角邊證明ABE和ADF全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=AF，從而得到AEF是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的三條邊都相等可得EF

31、，再判斷出CEF是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的直角邊與斜邊的關系求解即可；2方法一：根據(jù)鄰補角的定義求出AGF=60，然后判斷出點A、E、G、F四點共圓，從而得到AGE=AFE=60，再求出CGE=60，延長GE交AB的延長線于H，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得H=CGE=60，再求出GAF=HAE，然后利用角角邊證明AFG和AEH全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AG=AH，F(xiàn)G=EH，從而得證；方法二：在AG上截取GH=FG，可得FGH是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質可得FH=FG，F(xiàn)HG=60，再求出AFH=EFG，然后利用邊角邊證明AFH和EFG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等

32、AH=GE，然后證明即可【解答】1解：如圖，連接EF，在正方形ABCD中，AB=AD，B=D，在ABE和ADF中，ABEADFSAS，AE=AF，EAF=60，AEF是等邊三角形，EF=AE=2，BE=DF，BC=CD，BCBE=CDDF，即CE=CF，CEF是等腰直角三角形，EC=EF=2=；2方法一：證明：AGC=120，AGF=180AGC=180120=60，又AEF是等邊三角形，已證AEF=60，點A、E、G、F四點共圓，AGE=AFE=60，CGE=AGCAGE=12060=60，如圖2延長GE交AB的延長線于H，ABCD，H=CGE=60，H=AGF，又GAF+EAG=EAF=6

33、0，HAE+EAG=GAB=60，GAF=HAE，在AFG和AEH中，AFGAEHAAS，AG=AH，F(xiàn)G=EH，AGE=60，AGH是等邊三角形，AH=GH=EG+EH=EG+FG，即AG=EG+FG方法二：如圖2在AG上截取GH=FG，AGC=120，AGF=60，F(xiàn)GH是等邊三角形，F(xiàn)H=FG，F(xiàn)HG=60，AEF是等邊三角形，AFE=60，AFE=GFH=60，AFEEFH=GFHEFH，即AFH=EFG，在AFH和BFG中，AFHEFGSAS，AH=GE，AG=AH+GH=EG+FG，即AG=EG+FG【點評】此題考察了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，2先求出四點共圓，然后求出

34、AGE=AFE=60，然后作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵12如圖，正方形ABCD的對角線相交于點O點E是線段DO上一點，連接CE點F是OCE的平分線上一點，且BFCF與CO相交于點M點G是線段CE上一點，且CO=CG1假設OF=4，求FG的長；2求證：BF=OG+CF【分析】1根據(jù)條件證明OCFGCF，由全等的性質就可以得出OF=GF而得出結論；2在BF上截取BH=CF，連接OH通過條件可以得出OBHOCF可以得出OH=OF，從而得出OGFH，OHFG，進而可以得出四邊形OHFG是平行四邊形，就可以得出結論【解答】1解：CF平分OCE，OCF=ECFOC=CG，CF=CF，在OCF和GC

35、F中，OCFGCFSASFG=OF=4，即FG的長為42證明：在BF上截取BH=CF，連接OH四邊形ABCD為正方形，ACBD，DBC=45，BOC=90，OCB=180BOCDBC=45OCB=DBCOB=OCBFCF，BFC=90OBH=180BOCOMB=90OMB，OCF=180BFCFMC=90FMC，且OMB=FMC，OBH=OCF在OBH和OCF中，OBHOCFSASOH=OF，BOH=COFBOH+HOM=BOC=90，COF+HOM=90，即HOF=90OHF=OFH=180HOF=45OFC=OFH+BFC=135OCFGCF，GFC=OFC=135，OFG=360GFCO

36、FC=90FGO=FOG=180OFG=45GOF=OFH，HOF=OFGOGFH，OHFG，四邊形OHFG是平行四邊形OG=FHBF=FH+BH，BF=OG+CF【點評】此題考察了正方形的性質的運用，全等三角形的判定及性質的運用，平行四邊形的判定及性質的運用，解答時采用截取法作輔助線是關鍵131如圖，兩個正方形的邊長均為3，求三角形DBF的面積2如圖，正方形ABCD的邊長為3，正方形CEFG的邊長為1，求三角形DBF的面積3如圖，正方形ABCD的邊長為a，正方形CEFG的邊長為b，求三角形DBF的面積【分析】1三角形的面積為底高，可看出三角形DBF的底和高都是3，可求出解2正方形ABCD的面

37、積加上以CD為長CE為寬的長方形的面積減去ABD，BEF，DGF的面積即可求出解3兩個正方形的面積減去ABD，BEF，GDF的面積可求出解【解答】解：1三角形DBF的面積：33=2分2三角形DBF的面積：32+31333+1121=3三角形DBF的面積：a2+b2aaa+bbbab=2分結論是：三角形DBF的面積的大小只與a有關，與b無關【點評】此題考察讀圖的能力，關鍵是從圖中看出三角形DBF的面積由哪些圖形相加減得到14如圖，正方形ABCD中，E是BD上一點，AE的延長線交CD于F，交BC的延長線于G，M是FG的中點1求證：1=2；ECMC2試問當1等于多少度時，ECG為等腰三角形？請說明理

38、由【分析】1根據(jù)正方形的對角線平分一組對角可得ADE=CDE，然后利用邊角邊定理證明ADE與CDE全等，再根據(jù)全等三角形對應角相等即可證明；根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得1=G，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得MC=MG，然后據(jù)等邊對等角的性質得到G=MCG，所以2=MCG，然后根據(jù)FCG=90即可證明MCE=90，從而得證；2根據(jù)1的結論，結合等腰三角形兩底角相等G=GEC，然后利用三角形的內角和定理列式進展計算即可求解1證明：四邊形ABCD是正方形，ADE=CDE，AD=CD，在ADE與CDE，ADECDESAS，1=2，ADBG正方形的對邊平行，1=G，M是FG的中點，MC

39、=MG=MF，G=MCG，又1=2，2=MCG，F(xiàn)CG=MCG+FCM=90，ECM=2+FCM=90，ECMC；2解：1=30時，ECG為等腰三角形理由如下：ECG為等腰三角形，G=CEG，又1=2=G，在ECG中，G+CEG+2+FCG=180，即31+90=180，解得1=30故答案為：1=30時，ECG為等腰三角形【點評】此題考察了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質，是綜合題，但難度不大，細心分析即可找出解題思路15如圖，正方形ABCD中，M為BC上除點B、C外的任意一點，AMN是等腰直角三角形，斜邊AN與CD交于點F，延長AN與BC的延長

40、線交于點E，連接MF、1求證：BM+DF=MF；2求NCE的度數(shù)【分析】1截長補短類型題目，延長CD至G使DG=BM，證明ADGABM，將BM+DF轉化到一條線段GF上，再證明MF=GF；2過點N作NHEB，證MHNABM，再根據(jù)線段間的關系得到NH=HC，從而得到CHN是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質可得NCE=45【解答】1證明：延長CD至G使DG=BM，在ADG和ABM中，ADGABMSAS，AG=AM，又AMN為等腰直角三角形，MAN=45，F(xiàn)AD+MAB=45，DAG=BAM，GAF=FAD+DAG=45，GAF=MAN，在在AFG和AFM中，AFGAFMSAS，MF=G

41、F，又GF=GD+DF，GD=BM，BM+DF=MF；2解：過點N作NHEB于點H，AMB=180AMNNMH=90NMH=MNH，在ABMMHN中，ABMMHNAAS，AB=MH，BM=NH，CH=MHMC=ABMC=BCMC=BM=NH，CHN是等腰直角三角形，NCE=NCG=45【點評】此題考察了正方形的性質，全等三角形的判定與性質，熟記性質并作輔助線構造出全等三角形，然后確定出三角形全等的條件是解題的關鍵，也是此題的難點16如圖，在菱形ABCD中，AB=2，DAB=60，點E是AD邊的中點，點M是AB邊上的一個動點不與點A重合，延長ME交CD的延長線于點N，連接MD，AN1求證：四邊形

42、AMDN是平行四邊形2當AM的值為何值時，四邊形AMDN是矩形？請說明理由【分析】1根據(jù)菱形的性質可得NDAM，再根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得NDE=MAE，DNE=AME，根據(jù)中點的定義求出DE=AE，然后利用角角邊證明NDE和MAE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等得到ND=MA，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明；2連接BD，求出ABD是等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質可得DMAB，然后根據(jù)矩形的定義證明1證明：四邊形ABCD是菱形，NDAM，NDE=MAE，DNE=AME，點E是AD中點，DE=AE，在NDE和MAE中，NDEMAEAAS，ND=MA，四邊形AM

43、DN是平行四邊形；2AM=1理由如下：如圖，連接BD，四邊形ABCD是菱形，AD=AB=2，DAB=60，ABD是等邊三角形，AM=1，AB=2，AM=MB=1，DMAB，即DMA=90，又四邊形AMDN是平行四邊形，四邊形AMDN是矩形【點評】此題考察了菱形的性質，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質，矩形的性質，熟記各性質并求出三角形全等是解題的關鍵，也是此題的突破口17如圖，ABC中，AB=AC，AD是ABC外角的平分線，BAC=ACD1求證：ABCCDA；2假設B=60，求證：四邊形ABCD是菱形【分析】1求出B=ACB，根據(jù)三角形外角性質求出FAC=2ACB=2DAC，推出DAC

44、=ACB，根據(jù)ASA證明ABC和CDA全等；2推出ADBC，ABCD，得出平行四邊形ABCD，根據(jù)B=60，AB=AC，得出等邊ABC，推出AB=BC即可【解答】證明：1AB=AC，B=ACB，F(xiàn)AC=B+ACB=2ACB，AD平分FAC，F(xiàn)AC=2CAD，CAD=ACB，在ABC和CDA中ABCCDAASA；2FAC=2ACB，F(xiàn)AC=2DAC，DAC=ACB，ADBC，BAC=ACD，ABCD，四邊形ABCD是平行四邊形，B=60，AB=AC，ABC是等邊三角形，AB=BC，平行四邊形ABCD是菱形【點評】考察了平行線的性質，全等三角形的性質和判定，菱形的判定，等邊三角形的性質和判定，等腰

45、三角形的性質的應用，主要考察學生運用性質進展推理的能力，題目比擬好，綜合性也比擬強18如圖，在ABC中，AB=AC，B=60，F(xiàn)AC、ECA是ABC的兩個外角，AD平分FAC，CD平分ECA求證：四邊形ABCD是菱形【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法得出四邊形ABCD是平行四邊形，再利用菱形的判定得出【解答】證明：B=60，AB=AC，ABC為等邊三角形，AB=BC，ACB=60，F(xiàn)AC=ACE=120，BAD=BCD=120，B=D=60，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=BC，平行四邊形ABCD是菱形【點評】此題主要考察了平行四邊形的判定以及菱形的判定和角平分線的性質等內容，注意菱形與平行四

46、邊形的區(qū)別，得出AB=BC是解決問題的關鍵19如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF1證明：BAC=DAC，AFD=CFE2假設ABCD，試證明四邊形ABCD是菱形；3在2的條件下，試確定E點的位置，使得EFD=BCD，并說明理由【分析】1首先利用SSS定理證明ABCADC可得BAC=DAC，再證明ABFADF，可得AFD=AFB，進而得到AFD=CFE；2首先證明CAD=ACD，再根據(jù)等角對等邊可得AD=CD，再有條件AB=AD，CB=CD可得AB=CB=CD=AD，可得四邊形ABCD是菱形；3首先證明BCFDCF可得CBF=CDF，再根據(jù)

47、BECD可得BEC=DEF=90，進而得到EFD=BCD1證明：在ABC和ADC中，ABCADCSSS，BAC=DAC，在ABF和ADF中，ABFADFSAS，AFD=AFB，AFB=CFE，AFD=CFE；2證明：ABCD，BAC=ACD，又BAC=DAC，CAD=ACD，AD=CD，AB=AD，CB=CD，AB=CB=CD=AD，四邊形ABCD是菱形；3當EBCD時，即E為過B且和CD垂直時垂線的垂足，EFD=BCD，理由：四邊形ABCD為菱形，BC=CD，BCF=DCF，在BCF和DCF中，BCFDCFSAS，CBF=CDF，BECD，BEC=DEF=90，BCD+CBE=CDF+EFD

48、，EFD=BCD【點評】此題主要考察了全等三角形的判定與性質，以及菱形的判定與性質，全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具20如圖，ABC中，AB=AC，AD是BAC的角平分線，點O為AB的中點，連接DO并延長到點E，使OE=OD，連接AE，BE1求證：四邊形AEBD是矩形；2當ABC滿足什么條件時，矩形AEBD是正方形，并說明理由【分析】1利用平行四邊形的判定首先得出四邊形AEBD是平行四邊形，進而由等腰三角形的性質得出ADB=90，即可得出答案；2利用等腰直角三角形的性質得出AD=BD=CD，進而利用正方形的判定得出即可1證明：點O為AB的中點，連接DO并延長到點

49、E，使OE=OD，四邊形AEBD是平行四邊形，AB=AC，AD是BAC的角平分線，ADBC，ADB=90，平行四邊形AEBD是矩形；2當BAC=90時，理由：BAC=90，AB=AC，AD是BAC的角平分線，AD=BD=CD，由1得四邊形AEBD是矩形，矩形AEBD是正方形【點評】此題主要考察了正方形的判定以及矩形的判定和等腰直角三角形的性質等知識，熟練掌握正方形和矩形的判定是解題關鍵21如圖，ABC中，點O是邊AC上一個動點，過O作直線MNBC設MN交ACB的平分線于點E，交ACB的外角平分線于點F1求證：OE=OF；2假設CE=12，CF=5，求OC的長；3當點O在邊AC上運動到什么位置時

50、，四邊形AECF是矩形？并說明理由【分析】1根據(jù)平行線的性質以及角平分線的性質得出1=2，3=4，進而得出答案；2根據(jù)得出2+4=5+6=90，進而利用勾股定理求出EF的長，即可得出CO的長；3根據(jù)平行四邊形的判定以及矩形的判定得出即可【解答】1證明：MN交ACB的平分線于點E，交ACB的外角平分線于點F，2=5，4=6，MNBC，1=5，3=6，1=2，3=4，EO=CO，F(xiàn)O=CO，OE=OF；2解：2=5，4=6，2+4=5+6=90，CE=12，CF=5，EF=13，OC=EF=6.5；3解：當點O在邊AC上運動到AC中點時，四邊形AECF是矩形證明：當O為AC的中點時，AO=CO，E

51、O=FO，四邊形AECF是平行四邊形，ECF=90，平行四邊形AECF是矩形【點評】此題主要考察了矩形的判定、平行四邊形的判定和直角三角形的判定等知識，根據(jù)得出ECF=90是解題關鍵22如圖，過正方形ABCD的頂點D作DEAC交BC的延長線于點E1判斷四邊形ACED的形狀，并說明理由；2假設BD=8cm，求線段BE的長【分析】1根據(jù)正方形的對邊互相平行可得ADBC，即為ADCE，然后根據(jù)兩組對邊互相平行的四邊形是平行四邊形解答；2根據(jù)正方形的四條邊都相等，平行四邊形的對邊相等可得BC=AD=CE，再根據(jù)正方形的邊長等于對角線的倍求出BC，然后求出BE即可【解答】解：1四邊形ACED是平行四邊形

52、理由如下：四邊形ABCD是正方形，ADBC，即ADCE，DEAC，四邊形ACED是平行四邊形；2由1知，BC=AD=CE=CD，BD=8cm，BC=BD=8=4cm，BE=BC+CE=4+4=8cm【點評】正方形的性質，平行四邊形的判定與性質，比擬簡單，熟練掌握各圖形的性質是解題的關鍵23如圖，菱形ABCD中，E是AD中點，EFAC交CB的延長線于點F1DE和BF相等嗎？請說明理由2連接AF、BE，四邊形AFBE是平行四邊形嗎？說明理由【分析】1設AB、EF相交于G，連接BD，根據(jù)菱形的對角線互相垂直可得BDAC，然后求出EGBD，判斷出EG是ABD的中位線，從而求出AG=BG，再根據(jù)兩直線平

53、行，內錯角相等求出AEG=BFG，利用角角邊證明AEG和BFG全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=BF，從而求出DE=BF；2根據(jù)一組對邊平行且相等是四邊形是平行四邊形解答解：1DE=BF理由如下：如圖，設AB、EF相交于G，連接BD，在菱形ABCD中，BDAC，EFAC，EGBD，E是AD中點，EG是ABD的中位線，AG=BG，又ADBC，AEG=BFG，在AEG和BFG中，AEGBFGAAS，AE=BF，E是AD中點，AE=DE，DE=BF；2四邊形AFBE是平行四邊形理由如下：四邊形ABCD是菱形，ADBC，AEBF，又AE=BF，四邊形AFBE是平行四邊形【點評】此題考察了菱形的性

54、質，平行四邊形的判定，全等三角形的判定與性質，主要利用了菱形的對角線互相垂直的性質，作輔助線構造出全等三角形的是解題的關鍵，也是此題的難點24如圖1，菱形ABCD中，點E、F分別為AB、AD的中點，連接CE、CF1求證：CE=CF；2如圖2，假設H為AB上一點，連接CH，使CHB=2ECB，求證：CH=AH+AB【分析】1由菱形ABCD中，點E、F分別為AB、AD的中點，易證得BCEDCFSAS，則可得CE=CF；2由平行線的性質，可得AG=AB，G=FCD，由全等三角形的對應角相等，可得BCE=DCF，然后由CHB=2ECB，易證得G=HCG，則可得CH=GH，則可證的結果1證明：四邊形AB

55、CD是菱形，B=D，AB=BC=CD=AD，點E、F分別為AB、AD的中點，BE=AB，DF=AD，BE=DF，在BCE和DCF中，BCEDCFSAS，CE=CF；2證明：延長BA與CF，交于點G，四邊形ABCD是菱形，B=D，AB=BC=CD=AD，AFBC，ABCD，G=FCD，點F分別為AD的中點，且AGCD，AG=AB，BCEDCF，ECB=DCF，CHB=2ECB，CHB=2G，CHB=G+HCG，G=HCG，GH=CH，CH=AH+AG=AH+AB【點評】此題考察了菱形的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質以及平行線的性質此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形

56、結合思想的應用25如圖，ABCD是菱形，E是BD延長線上一點，F(xiàn)是DB延長線上一點，且DE=BF，連接AF、CF1請你猜測圖中與點F有關的一個正確結論；2證明你的猜測【分析】1根據(jù)菱形的性質猜測：FA=FC；2設AC、BD交于點O，根據(jù)對角線互相垂直且平分，可得AO=CO，F(xiàn)是DB延長線上一點，即可證明FA=FC解：1猜測：FA=FC；2證明：設AC、BD交于點O，根據(jù)圖形可知AC、BD為菱形的對角線，可得：BD垂直平分AC，F(xiàn)是DB延長線上一點，F(xiàn)O垂直平分AC，F(xiàn)A=FC【點評】此題考了菱形的性質，難度一般，解答此題的關鍵是熟練掌握菱形的對角線互相平分的性質26如圖，菱形ABCD中，點E、

57、M在AD上，且CD=CM，點F為AB上的點，且ECF=B1假設菱形ABCD的周長為8，且D=67.5，求MCD的面積；2求證：BF=EFEM【分析】1首先過點D作DHMC于點H，由菱形ABCD的周長為8，且D=67.5，易求得2=D=67.5，DCH=45，CM=2，然后由勾股定理求得DH的長，繼而求得MCD的面積；2首先延長AB到N，使BN=EM，連接，易證得BNCMECSAS，繼而證得NCFECFSAS，則可證得BF=EFEM解：1過點D作DHMC于點H，菱形ABCD的周長為8，CD=2，CD=CM，且D=67.5，2=D=67.5，DCH=45，CM=2，在RtCDH中，DH=DCsin

58、45=，SMCD=CMDH=2=；2延長AB到N，使BN=EM，連接，CD=CM，CD=CB，且ABC=D，BC=CM，2=ABC，1+ABC=2+51=5在BNC和MEC中，BNCMECSAS，4=3，CE=NC，ADBC，2=BCM=ABC，ECF=ABC，3+BCF=4+BCF=ECF，在NCF和ECF中，NCFECFSAS，F(xiàn)N=EF，EF=FB+NB=FB+EM，F(xiàn)B=EFEM【點評】此題考察了菱形的性質、全等三角形的判定與性質以及勾股定理此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想的應用27如圖，在菱形ABCD中，B=60，點E、F分別在邊BC、CD上1假設AB=4，試求菱形ABCD的面積；2假設AEF=60，求證：AB=CE+CF【分析】1根據(jù)菱形的四條邊都相等可得AB=BC，然后求出ABC是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質求出BC邊上的高，再根據(jù)菱形的面積等于底邊乘以高列式計算即可得解；2將AEC繞點A順時針旋轉60得到AEB，易得AEE為等邊三角形，然后利用角邊角證明EEB和FE