新高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)講義專題12 導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題（解析版）

1、專題12 導(dǎo)數(shù)中的“距離”問題 【題型歸納目錄】題型一：曲線與直線的距離題型二：曲線與點(diǎn)的距離題型三：曲線與圓的距離題型四：曲線與拋物線的距離題型五：曲線與曲線的距離題型六：橫向距離題型七：縱向距離【典例例題】題型一：曲線與直線的距離例1已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的值是【解答】解：，函數(shù)可看作動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)在的圖像上，在的圖像上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由，得，則，故曲線上的點(diǎn)，到直線距離的最小值是，則，根據(jù)題意若存在，使得，則，此時(shí)恰為垂足，由，故，解得：，故答案為：例2已知函數(shù)，若存在，使得，則實(shí)數(shù)的值為【解答】解：函數(shù)，函數(shù)可以看作是動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間距

2、離的平方，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，在直線的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由得，解得，所以曲線上點(diǎn)到直線的距離最小，最小距離，則，根據(jù)題意，要使，則，此時(shí)恰好為垂足，由，解得故答案為：例3若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為【解答】解：實(shí)數(shù)，滿足，分別設(shè)，設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則，解得，點(diǎn)到直線的距離則的最小值為故答案為：例4設(shè)函數(shù)，其中，存在使得成立，則實(shí)數(shù)的值是【解答】解：函數(shù)可以看作是動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，在直線的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由得，解得，曲線上點(diǎn)到直線的距離最小，最小距離，則，根據(jù)題意，要使，則，此時(shí)恰好為垂足，由可得，實(shí)

3、數(shù)的值是5故答案為：5例5已知函數(shù)的最小值是，則的值是 【解答】解：函數(shù)，可得表示兩點(diǎn)，的距離的平方，即有函數(shù)，圖象上的兩點(diǎn)距離的最小值的平方為，設(shè)直線與函數(shù)的圖象相切，設(shè)切點(diǎn)為，可得，解得，即有切點(diǎn)為，則，解得，則的值為0.3例6設(shè)函數(shù)，其中，若存在正數(shù)，使得成立，則實(shí)數(shù)的值是ABCD1【解答】解：函數(shù)可以看作是動(dòng)點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)之間距離的平方，動(dòng)點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，在直線的圖象上，問題轉(zhuǎn)化為求直線上的動(dòng)點(diǎn)到曲線的最小距離，由得，解得，曲線上點(diǎn)到直線的距離，則，根據(jù)題意，要使，則，此時(shí)恰好為垂足，由，解得故選：例7設(shè)函數(shù) ，其中，存在使得成立，則實(shí)數(shù)的最小值為ABCD1【解答】解：函數(shù)可以看作動(dòng)點(diǎn)，

4、與點(diǎn)的距離的平方，點(diǎn)在曲線 上，點(diǎn)在直線上，問題轉(zhuǎn)化為直線上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離的最小值，由 求導(dǎo)可得，令，解得，此時(shí) ，則，所以點(diǎn)到直線的距離即為直線與曲線之間最小的距離，故由于存在使得，則，即，故選：例8已知函數(shù)，若對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，在上都是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A，B，C，D，【解答】解：，又對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，在上都是增函數(shù)，在上恒成立，即在上恒成立，的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)到直線，即上點(diǎn)的距離的平方，其最小值為令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，（1），則的最小值為實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：例9已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為AB8C4D16【解答】解：由題意可知，的幾何意義為曲線上的點(diǎn)到直線上的點(diǎn)連線的距離的平方，不

5、妨設(shè)曲線，直線，設(shè)與直線平行且與曲線相切的直線方程為，顯然直線與直線的距離的平方即為所求，由，得，設(shè)切點(diǎn)為，則，解得，直線與直線的距離為，的最小值為8故選：題型二：曲線與點(diǎn)的距離例10若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)距離最小值為，則實(shí)數(shù)為ABCD【解答】解：設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，其中，過點(diǎn)的切線斜率為，當(dāng)直線與過點(diǎn)的切線垂直時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)間的距離最小，此時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)間的距離最小值，即，解得：，又，故選：例11若點(diǎn)與曲線上點(diǎn)的距離的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為ABCD【解答】解：的導(dǎo)數(shù)為，設(shè)，可得過的切線的斜率為，當(dāng)垂直于切線時(shí)，取得最小值，可得，且，可得，解得舍去），即有，解得，故選：題型三：曲線與圓的距離例12已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上

6、任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓任意一點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度的最小值為ABCD【解答】解：由圓的對(duì)稱性可得只需考慮圓心，到函數(shù)圖象上一點(diǎn)的距離的最小值設(shè)圖象上一點(diǎn)，由的導(dǎo)數(shù)為，即有切線的斜率為，可得，即有，由，可得，當(dāng)時(shí)，遞增又（e），可得處點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，且為，則線段的長(zhǎng)度的最小值為，即故選：例13已知點(diǎn)為函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度的最小值為ABCD【解答】解：設(shè)，又圓的圓心為，令，單調(diào)遞增，而（e）在遞減，在遞增，（e），則線段的長(zhǎng)度的最小值為，故選：例14已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為ABCD【解答】解：由圓的對(duì)稱性可得只需考慮圓心，到函數(shù)圖象上

7、一點(diǎn)的距離的最小值設(shè)圖象上一點(diǎn)，由的導(dǎo)數(shù)為，即有切線的斜率為，可得，即有，由，可得，當(dāng)時(shí)，遞增又（e），可得處點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，且為，則線段的長(zhǎng)度的最小值為故選：例15已知點(diǎn)為函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)，點(diǎn)為圓上任意一點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為AB1CD【解答】解：由圓的對(duì)稱性可得只需考慮圓心到函數(shù)圖象上一點(diǎn)的距離的最小值設(shè)圖象上一點(diǎn)，由的導(dǎo)數(shù)為，即有切線的斜率為，可得，即有，由，可得，遞增又，可得處點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，且為，則線段的長(zhǎng)度的最小值為，故選：題型四：曲線與拋物線的距離例16設(shè)，當(dāng)，變化時(shí)的最小值為【解答】解：設(shè)，則表示函數(shù)上一點(diǎn)與函數(shù)上一點(diǎn)之間的距離，又函數(shù)表示焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為的拋物線，由拋

8、物線的定義可得，的幾何意義即為，作出示意圖如下，由圖觀察可知，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)，且垂直于過點(diǎn)的函數(shù)的切線，點(diǎn)為線段與函數(shù)的交點(diǎn)時(shí)，最小，設(shè)，則，解得，即，的最小值為故答案為：例17設(shè)，則的最小值為AB1CD2【解答】解：，其幾何意義為：兩點(diǎn)，的距離的平方，由的導(dǎo)數(shù)為，點(diǎn)在曲線上，令，則，而是拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，則可以看作拋物線上的點(diǎn)，到焦點(diǎn)距離和到上的點(diǎn)的距離的和，即，由兩點(diǎn)之間線段最短，得的最小值是點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離的最小值，由點(diǎn)到直線上垂線段最短，這樣就最小，即取，則，垂直，則，解得，到的距離就是點(diǎn)到上的點(diǎn)的距離的最小值，的最小值為故選：題型五：曲線與曲線的距離

9、例18設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為A 2B C 2D 【解答】解：，該函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，函?shù)與互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對(duì)稱，兩曲線上點(diǎn)之間的最小距離就是與上點(diǎn)的最小距離的2倍設(shè)上點(diǎn)，處的切線與直線平行，則，點(diǎn)，到的距離為，則的最小值為故選：例19設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為ABCD【解答】解：與互為反函數(shù)，它們圖象關(guān)于直線對(duì)稱；又，由直線的斜率，得，所以切線方程為，則原點(diǎn)到切線的距離為，的最小值為故選：例20設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則的最小值為ABCD【解答】解：解：與互為反函數(shù)，先求出曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點(diǎn)，解得得到切點(diǎn)，到直線

10、的距離，的最小值為，故選：例21設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，則最小值為ABCD【解答】解：與互為反函數(shù)，先求出曲線上的點(diǎn)到直線的最小距離設(shè)與直線平行且與曲線相切的切點(diǎn)，解得得到切點(diǎn)，到直線的距離最小值為故選：例22設(shè)滿足方程的點(diǎn)，的運(yùn)動(dòng)軌跡分別為曲線，若在區(qū)間，內(nèi)，曲線，有兩個(gè)交點(diǎn)（其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），則實(shí)數(shù)的最大值為A4BCD【解答】解：，依題意，曲線，曲線，其中曲線可化為：，其圖象如圖，要使在區(qū)間，內(nèi)曲線，有兩個(gè)交點(diǎn)，則必有曲線在取時(shí)的值需小于或等于，故要使得最大，只需，解得：，故選：題型六：橫向距離例23已知直線與函數(shù)和分別交于，兩點(diǎn)，若的最小值為2，則【解答】解：設(shè)，可設(shè)，則，令，則

11、，由的最小值為2，可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，時(shí)，函數(shù)取得極小值，且為最小值2，即有，解得，由，則，可得故答案為：2例24已知直線與函數(shù)和的圖象分別交于、兩點(diǎn)，若的最小值為3，則【解答】解：設(shè)，則，則，則，設(shè)，則，的最小值為3，的根為，且函數(shù)在，上遞增，則上遞減，則函數(shù)的最小值為即即，則得，此時(shí)，則，即，故答案為：1例25設(shè)直線與函數(shù)，的圖象分別交于，兩點(diǎn)，則的最小值為ABCD【解答】解：直線直線與函數(shù)，的圖象分別交于，兩點(diǎn)，其中，且，設(shè)函數(shù)（a），（a），令（a），解得，當(dāng)（a），即時(shí)，函數(shù)在，單調(diào)遞增，當(dāng)（a），即時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，故時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，故線段的長(zhǎng)度的

12、最小值為故選：例26已知函數(shù)，的圖象分別與直線交于，兩點(diǎn)，則的最小值為A1BCD【解答】解：由題意，其中，且，所以，令，則時(shí)，解得，所以時(shí)，；時(shí)，則在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，故選：題型七：縱向距離例27直線分別與直線，曲線交于、兩點(diǎn)，則最小值為【解答】解：令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值（1），的最小值為4故答案為：4例28直線分別與曲線，交于、兩點(diǎn)，則的最小值為A3B2CD【解答】解：令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值（1），的最小值為3故選：例29直線分別與曲線，相交于，兩點(diǎn)，則的最小值為A1B2CD【

13、解答】解：令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，取得最小值（1），的最小值為2故選：【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1若x、a、b為任意實(shí)數(shù)，若，則最小值為()AB9CD【答案】C【解析】【分析】由題可知，問題可轉(zhuǎn)化為圓上動(dòng)點(diǎn)到函數(shù)ylnx圖像上動(dòng)點(diǎn)距離的最小值，即求函數(shù)ylnx上動(dòng)點(diǎn)到圓心距離的最小值，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)ylnx在處的切線與和連線垂直時(shí)為最小值，據(jù)此求出m的值，即可得到答案【詳解】由可得在以為圓心，1為半徑的圓上，表示點(diǎn)與點(diǎn)的距離的平方，即表示圓上動(dòng)點(diǎn)到函數(shù)ylnx圖像上動(dòng)點(diǎn)距離的平方設(shè)為ylnx上一點(diǎn)，且在處的ylnx的切線與和連線垂直，可得，即有，由在時(shí)遞增，且，

14、可得m1，即切點(diǎn)為，圓心與切點(diǎn)的距離為，由此可得的最小值為故選：C2已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為（）AB1CD2【答案】D【解析】【分析】理解原代數(shù)式的含義，轉(zhuǎn)化為函數(shù)形式，再分析其幾何意義，構(gòu)造函數(shù)即可求解.【詳解】 ，令 ，則，其幾何意義為點(diǎn)A 與點(diǎn) 之間距離的平方，設(shè) ，則點(diǎn)A和B分別在 和 的圖像上，如下圖，顯然 和互為反函數(shù)，其圖像關(guān)于y=x對(duì)稱，則A與B的最短距離必然在直線y=x的垂線上，點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于y=x對(duì)稱，不妨設(shè) ，則 ， ，設(shè) ， ，當(dāng) ， ，在x=1處取得最小值 ，即 ，當(dāng) 取最小值時(shí)，即是 取得最小值， 的最小值為 ；故選：D.3設(shè)直線與函數(shù)的圖像分別交于點(diǎn)，則的最小值

15、為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】列出的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)方法，分析其單調(diào)性求最小值即可【詳解】由題意，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以，即的最小值為，故選：A.4已知函數(shù)，若成立，則的最小值是ABCD【答案】A【解析】【詳解】分析：設(shè)，則，把用表示，然后令，由導(dǎo)數(shù)求得的最小值詳解：設(shè)，則，令，則，是上的增函數(shù)，又，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，是極小值也是最小值，的最小值是故選A點(diǎn)睛：本題易錯(cuò)選B，利用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，解題時(shí)學(xué)生可能不會(huì)將其中求的最小值問題，通過構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值問題，另外通過二次求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間也很容易出錯(cuò)5設(shè).，則的最小值為AB1C

16、D2【答案】C【解析】【詳解】由題可得：設(shè)，所以為上任意一點(diǎn)到上任一點(diǎn)及拋物線焦點(diǎn)的距離之和，所以距離表達(dá)式為,令，顯然在遞減，遞增所以，故最小值為點(diǎn)睛：本題的解題關(guān)鍵是要將題意轉(zhuǎn)化為拋物線上的點(diǎn)到lnx上的點(diǎn)距離與焦點(diǎn)的距離之和，然后借助導(dǎo)數(shù)求最值即可解決問題，此題較難6已知直線分別與直線和曲線相交于點(diǎn)，則線段長(zhǎng)度的最小值為（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意設(shè)兩交點(diǎn)分別為，可得，長(zhǎng)度，考查函數(shù)求最值即可得解.【詳解】已知直線與直線，曲線分別交點(diǎn)，設(shè)，則有，變形可得，又由，設(shè)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在為增函數(shù)，則有最小值，且，則，即線段長(zhǎng)度的最小值是.故選：A.7已知函

17、數(shù)，對(duì)任意，存在，使得，則的最小值為（）A1BCD2【答案】D【解析】【分析】設(shè)換元，問題轉(zhuǎn)化為對(duì)任意，存在，使得，則的最小值，利用的關(guān)系把轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，然后求最小值【詳解】設(shè)，設(shè)，對(duì)任意，存在，使得，即，所以，令，易知是增函數(shù)，時(shí)，遞減，時(shí)，遞增，所以時(shí)，所以的最小值是1，的最小值是2故選：D【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)求最值，解題關(guān)鍵是化二元函數(shù)為一元函數(shù)，題中解法是換元后直接利用把用表示，然后轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，另外也可以設(shè)（），把都用表示，化為的一元函數(shù)，然后由導(dǎo)數(shù)得最小值8已知曲線上一點(diǎn)，曲線上一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有恒成立，則的最小值為（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中條件，得

18、到，推出，；證明，得到，推出，分離參數(shù)得，構(gòu)造函數(shù)求出的最大值，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，對(duì)于任意，都有恒成立，所以有：，令，則，所以當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減；因此，即顯然恒成立；因?yàn)?，所以，即；為使恒成立，只需恒成立；即恒成立；令，則，由解得；由解得；所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；所以；，因此的最小值為.故選：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：求解本題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立求參數(shù)范圍的問題，根據(jù)，只需，分離參數(shù)后，即可根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求解.9已知函數(shù)，若成立，則的最小值為（）ABCD【答案】D【解析】【分析】令，得到關(guān)于t的函數(shù)式，進(jìn)而可得關(guān)于t的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究單

19、調(diào)性并確定最值，即可求的最小值.【詳解】令，則，即，若，則，有，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；，即的最小值為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：令確定關(guān)于t的函數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值.10已知函數(shù)，若成立，則的最小值是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)求出最小值即可得解.【詳解】由題設(shè)，即，所以，令，所以在單調(diào)遞增，且，所以由得，由得，所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以即的最小值.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值，關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化，對(duì)于導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)不易求解的情況，考慮“試根”結(jié)合單調(diào)性解不等式.11設(shè)動(dòng)直線x=t與曲線以及曲線分別交于P，Q

20、兩點(diǎn)，表示的最小值，則下列描述正確的是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件將表示為函數(shù)的形式，然后利用導(dǎo)數(shù)研究對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性并分析的取值范圍.【詳解】根據(jù)條件可知，所以，不妨令，則，又因?yàn)?，所以存在，使得，所以在上遞減，在上遞增，所以在處取得最小值，且，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，所以，所以有，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題，對(duì)學(xué)生的轉(zhuǎn)化與化歸能力要求較高，其中對(duì)于極值點(diǎn)范圍的分析是一個(gè)重點(diǎn)，難度較難.12設(shè)，則的最小值是（）ABCD1【答案】A【解析】【分析】函數(shù)表示點(diǎn)和的距離加上的橫坐標(biāo)，根據(jù)拋物線定義轉(zhuǎn)化求最小值，設(shè)函數(shù)，計(jì)算得到，得到答案.【

21、詳解】，函數(shù)表示點(diǎn)和的距離加上的橫坐標(biāo)，畫出和的圖像，如圖所示：故，當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立.設(shè)，則，且恒成立，故單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；，故.綜上所述：的最小值是.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的最值問題，轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的幾何意義是解題的關(guān)鍵.13已知函數(shù)，若成立，則的最小值為（）ABCD【答案】C【解析】【詳解】設(shè)，則，令，又是增函數(shù)，在上遞減，在上遞增，即的最小值為，故選C.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而求最值，屬于難題. 求最值問題往往先將所求問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù):配方法、換元法、不等式法、三角函數(shù)法、圖像法、函數(shù)單調(diào)性法求解，利用函數(shù)的單調(diào)性求最

22、值，首先確定函數(shù)的定義域，然后準(zhǔn)確地找出其單調(diào)區(qū)間 ，最后再根據(jù)其單調(diào)性求函數(shù)的最值即可.14直線分別與曲線交于點(diǎn)，則的最小值為ABCD【答案】A【解析】【詳解】試題分析:設(shè),則,令,則,函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,時(shí),函數(shù)的最小值為，所以A選項(xiàng)是正確的.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性二、填空題15若，則的最小值是_【答案】【解析】由目標(biāo)式的形式：可看作兩點(diǎn)的距離，而可看作兩點(diǎn)的距離，問題轉(zhuǎn)化為的最小值；是上的點(diǎn)，對(duì)于在坐標(biāo)系存在使得，可聯(lián)想拋物線：以為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，即問題最終為求拋物線上一點(diǎn)到定點(diǎn)與上的一點(diǎn)的距離之和最小，結(jié)合拋物線、函數(shù)圖象及利用導(dǎo)數(shù)求最小值.【詳解】由，記，則，即原

23、問題轉(zhuǎn)化為拋物線上到定點(diǎn)與上的的距離之和最小，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立.令，則且，由于單調(diào)增，則是唯一零點(diǎn)，即有在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即最小值為.則故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用幾何法求代數(shù)式的最值，綜合拋物線的性質(zhì)、兩點(diǎn)距離公式、數(shù)形結(jié)合、導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值的應(yīng)用，屬于難題.16已知實(shí)數(shù)滿足，則對(duì)任意的正實(shí)數(shù)，的最小值為_.【答案】8【解析】【分析】求出圓心到曲線上的點(diǎn)的距離最值后可求的最小值.【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)滿足，故在圓：上.而，設(shè)，則表示到曲線上的點(diǎn)的距離的平方.又，因?yàn)樵跒樵龊瘮?shù)，且，故當(dāng)時(shí)，即；當(dāng)時(shí)，即；故在上為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故的最小值為.故到曲線上的點(diǎn)的距離最小值為

24、，而圓的半徑為，故圓上的點(diǎn)到曲線上的點(diǎn)的距離最小值為，故的最小值 為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與圓有關(guān)的最值問題，往往需要轉(zhuǎn)化到圓心到幾何對(duì)象的最值問題來處理，另外注意代數(shù)式對(duì)應(yīng)的幾何意義.17設(shè)，則的最小值為_【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)、，則表示再加上點(diǎn)的橫坐標(biāo)，利用拋物線的定義可得出（其中為拋物線的焦點(diǎn)），利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可得解.【詳解】.設(shè)點(diǎn)、，則表示再加上點(diǎn)的橫坐標(biāo)，其中點(diǎn)為拋物線上的一點(diǎn)，該拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為.作出函數(shù)與拋物線的圖象如下圖所示： 過點(diǎn)作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)，設(shè)交軸于點(diǎn)，則，當(dāng)且僅當(dāng)、三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，下面利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，構(gòu)造函數(shù)，其中，且

25、函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.，因此，的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題從代數(shù)式的幾何意義出發(fā)，利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為折線段和的最小值問題來求解，同時(shí)又考查了拋物線定義的應(yīng)用，在求解的最值時(shí)，充分利用了導(dǎo)數(shù)來求解.18已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在曲線上，則線段的長(zhǎng)度的最小值為_【答案】【解析】【分析】由題可得，圓的半徑設(shè)，令，首先求得的最小值，然后求解線段的長(zhǎng)度的最小值即可.【詳解】由題可得，圓的半徑設(shè)，令，則，所以令 ，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以因?yàn)?，所以線段的長(zhǎng)度的最小值為【點(diǎn)睛】本題主要考查等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，導(dǎo)函數(shù)求解函數(shù)的最值問題等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19設(shè)，當(dāng)a，b變化時(shí)，的最小值為_.【答案】.【解析】【分