數(shù)學(xué)知識的理解與教學(xué)章建躍課件

1、數(shù)學(xué)知識的理解和教學(xué)人民教育出版社 章建躍zhangjy一、教師專業(yè)發(fā)展的三大基石理解數(shù)學(xué)，理解學(xué)生，理解教學(xué)?！叭齻€理解”的內(nèi)涵：掌握豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科知識；中小學(xué)數(shù)學(xué)課程結(jié)構(gòu)體系、教學(xué)重點(diǎn)的知識；學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)難點(diǎn)的知識；關(guān)于重點(diǎn)知識的教學(xué)解釋的知識；關(guān)于評估學(xué)生的知識理解水平的知識；等。特別是，“內(nèi)容所反映的數(shù)學(xué)思想方法”的理解水平?jīng)Q定了教學(xué)所能達(dá)到的水平和效果。例1 數(shù)系擴(kuò)充的基本思想是什么數(shù)學(xué)推廣過程的一個重要特性是：使得在原來范圍內(nèi)成立的規(guī)律在更大的范圍內(nèi)仍然成立。數(shù)系的擴(kuò)充：引入一種新的數(shù)，就要定義其運(yùn)算；定義一種運(yùn)算，就要研究其運(yùn)算律。擴(kuò)充的基本原則是：使算術(shù)運(yùn)算的運(yùn)算律保持不變。例

2、2 等式、不等式的基本性質(zhì)的本質(zhì)是什么？等式兩邊同加（減、乘、除）同一個數(shù)（式），等式不變；不等式兩邊同加（減、乘、除）同一個數(shù)（式），不等式不變；它們的共同點(diǎn)是什么？二、功利化環(huán)境下數(shù)學(xué)教育的問題應(yīng)試占據(jù)主導(dǎo)地位的數(shù)學(xué)教育，注重考試分?jǐn)?shù)、升學(xué)率等眼前利益，忽視理性精神、數(shù)學(xué)能力等長期利益，已經(jīng)變成了“唯分?jǐn)?shù)”的功利化教育，違背了德育為先、能力為重、全面發(fā)展的要求。具體表現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)“不自然”，強(qiáng)加于人，壓抑了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣；缺乏問題意識，不利于創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)；不善于甚至不重視基本概念、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，缺少必須的抽象、概括活動，不利于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高；重結(jié)果輕過程，概念教學(xué)搞

3、“一個定義，三項注意”，缺少一以貫之的邏輯思考和數(shù)學(xué)推理活動，損害數(shù)學(xué)思維過程的完整性，不利于數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)；解題教學(xué)注重“題型+技巧”，學(xué)生機(jī)械重復(fù)、模仿記憶，缺少獨(dú)立思考的機(jī)會，數(shù)學(xué)思維發(fā)展遲緩，并導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)課業(yè)負(fù)擔(dān)過重； 學(xué)生學(xué)習(xí)方法單一、被動，缺少歸納、抽象等活動，對培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)以及創(chuàng)新精神等不利。 例3 體現(xiàn)幾何研究“基本套路”的四邊形起始課從具體事例中抽象出“基本圖形”后按照如下“套路”展開：定義表示分類性質(zhì)（判定）特例什么叫性質(zhì)？從哪幾個方面研究性質(zhì)？具體切入點(diǎn)在哪里？一類數(shù)學(xué)對象的共性就是性質(zhì)，變化中的不變性、規(guī)律性就是性質(zhì)；幾何要素以及相關(guān)要素之間的

4、位置關(guān)系、度量關(guān)系。再提出問題：你能類比給出“四邊形”研究的問題、線索和方法嗎？一般四邊形：組成元素、度量（內(nèi)角和、外角和）；特殊四邊形：從邊的特殊性和角的特殊性入手；邊的特殊性平行四邊形：性質(zhì)和判定；“性質(zhì)”研究的是在“平行四邊形”的條件下，它的組成元素有什么普遍規(guī)律，如邊的大小關(guān)系、內(nèi)角的關(guān)系、對角線的關(guān)系等；“判定”研究的是具備什么條件的四邊形才是平行四邊形；其他度量問題；這段教材有什么問題?這一段教材的問題片面理解“學(xué)生的現(xiàn)實”，只講“生活的現(xiàn)實”，忽視“數(shù)學(xué)的現(xiàn)實”；違背數(shù)學(xué)的基本精神簡單問題復(fù)雜化；喪失培養(yǎng)學(xué)生“發(fā)現(xiàn)和提出問題能力”的機(jī)會；破壞數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯，使學(xué)生失去邏輯推理訓(xùn)練

5、的機(jī)會，削弱數(shù)學(xué)的育人功能；人為編造情境，不僅造成理解困難，而且使學(xué)生產(chǎn)生對數(shù)學(xué)的不良感受；誤導(dǎo)師生以為這就是數(shù)學(xué)的探究過程；例4 體現(xiàn)代數(shù)研究基本套路的乘法公式教學(xué)代數(shù)研究的基本套路：背景（實際需要、數(shù)學(xué)概念發(fā)展的需要）定義分類（如數(shù)的分類、代數(shù)式的分類、方程的分類、數(shù)列的分類、函數(shù)的分類等）運(yùn)算法則、運(yùn)算律性質(zhì)特例乘法公式的理解及教學(xué)設(shè)計多項式運(yùn)算就是含有字母符號的算式之間的運(yùn)算（字母代表數(shù)，數(shù)滿足運(yùn)算律，所以字母也滿足運(yùn)算律）；兩個多項式的乘積就是用分配律把它歸于單項式的乘積之和來計算，單項式的乘積是用乘法的交換律、結(jié)合律和指數(shù)法則來計算運(yùn)算法則；乘法公式是一類特殊的多項式乘法問題，是一

6、個模式。教學(xué)過程設(shè)計1復(fù)習(xí)與引入問題1 前面我們學(xué)習(xí)了單項式、多項式的乘法，你能說說運(yùn)算法則嗎？這些運(yùn)算的依據(jù)是什么？設(shè)計意圖：回顧運(yùn)算法則，強(qiáng)化“用運(yùn)算律計算”的意識。2公式的探究問題2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接寫出結(jié)果。它是(a+b)(c+d)在a=c=x時的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中，你認(rèn)為還有哪些特殊情形？你能得到什么？設(shè)計意圖：通過“先行組織者”，滲透從一般到特殊，考察特例，深入認(rèn)識數(shù)學(xué)對象的方法；在讓學(xué)生自主活動之前，先指出已有特例(x+b)(x+d)，使學(xué)生有一個類比對象，明確思考方向。問題3 請你用自己的語言表述平方差公式、完全平方公式。

7、設(shè)計意圖：幫助學(xué)生理解公式。3例題本環(huán)節(jié)主要目的是通過變式（字母a，b取數(shù)、式等各種變形），讓學(xué)生體會公式在“形式化運(yùn)算”中的作用。另外，通過適當(dāng)反例，糾正學(xué)生可能的疏忽。最終要讓學(xué)生明確：第一，具備形式(a+b)(ab)或(ab)2，就可以用公式；第二，要注意哪個代表a，哪個代表b。4公式的多元聯(lián)系表示問題4 如果a，b表示線段的長，則a2，b2分別表示正方形的面積。你能根據(jù)公式的形式，自己構(gòu)造一個圖形表示上述乘法公式嗎？設(shè)計意圖：通過構(gòu)造幾何模型表示公式，以開拓學(xué)生的思路。通過數(shù)形結(jié)合、圖形直觀，以加深理解、增強(qiáng)記憶。（3）能否循著上述思路，再提出一些值得研究的問題？設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生自主

8、研究。必要時可作提示，如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中，推廣“次數(shù)”，可以研究(a+b)3，(a+b)4；或推廣字母個數(shù)(a+b+c)2。雖不是“課標(biāo)”的要求，但對學(xué)生思維發(fā)展是有好處的。提高課堂教學(xué)的立意，是落實“教育中的科學(xué)發(fā)展觀”，全面關(guān)注學(xué)生的發(fā)展。當(dāng)前，社會功利化、各級政府的教育行政主管部門等以升學(xué)率為主要考核標(biāo)準(zhǔn)的不良導(dǎo)向，導(dǎo)致教育的短期行為愈演愈烈，“全面關(guān)注”變成了“只關(guān)注分?jǐn)?shù)”，而且為了分?jǐn)?shù)可以不擇手段竭澤而漁。四、提高概念的教學(xué)水平1當(dāng)前概念教學(xué)的問題概念教學(xué)走過場，常常采用“一個定義，三項注意”的方式，在概念的背景引入上著墨不夠，沒有給學(xué)生提供充分的概括本質(zhì)特征的

9、機(jī)會，認(rèn)為讓學(xué)生多做幾道題目更實惠有些老師不知如何教概念危害以解題教學(xué)代替概念教學(xué)的做法嚴(yán)重偏離了數(shù)學(xué)的正軌學(xué)生在數(shù)學(xué)上耗費(fèi)大量時間、精力，結(jié)果可能是對數(shù)學(xué)的內(nèi)容、方法和意義知之甚少，“數(shù)學(xué)育人”終將落空2教概念的意義李邦河院士：數(shù)學(xué)根本上是玩概念的，不是玩技巧技巧不足道也！3概念教學(xué)的核心概念教學(xué)的核心是概括：將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)家的思維打開，以典型豐富的實例為載體，引導(dǎo)學(xué)生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性，歸納得出數(shù)學(xué)概念。4理論依據(jù)概括是人們掌握概念的直接前提；概括是思維的速度、靈活遷移程度、廣度和深度、創(chuàng)造程度等思維品質(zhì)的基礎(chǔ)；概括是科學(xué)研究的關(guān)鍵機(jī)制；學(xué)習(xí)和應(yīng)用知

10、識的過程也是概括的過程；數(shù)學(xué)概括能力是數(shù)學(xué)學(xué)科能力的基礎(chǔ)，概括能力的訓(xùn)練是數(shù)學(xué)能力訓(xùn)練的基礎(chǔ)；概括與歸納、類比等直接相關(guān)，是培養(yǎng)創(chuàng)造力的基礎(chǔ)。5.概念教學(xué)的基本環(huán)節(jié)概念的引入借助具體事例，從數(shù)學(xué)概念體系的發(fā)展過程或解決實際問題的需要引入概念；概念屬性的歸納提供典型豐富的具體例證，進(jìn)行屬性的分析、比較、綜合，歸納不同例證的共同特征；概念的明確與表示下定義，給出準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述（文字的、符號的）；概念的辨析以實例為載體分析關(guān)鍵詞的含義（恰當(dāng)使用反例）；概念的鞏固應(yīng)用用概念作判斷的具體事例，形成用概念作判斷的具體步驟；概念的“精致”納入概念系統(tǒng)，建立與相關(guān)概念的聯(lián)系。例5 三角函數(shù)起始課任意角立意

11、：以數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程為載體，使學(xué)生經(jīng)歷完整的數(shù)學(xué)研究過程，逐步學(xué)會認(rèn)識和解決問題的方法。 明確問題，獲得對象， 確定內(nèi)容，選取方法， 實施過程，獲得結(jié)論。(1)如何“開篇”本課是“三角函數(shù)”的“開篇”，應(yīng)發(fā)揮“先行組織者”的作用。要充分重視構(gòu)建本章的基本研究思路的教學(xué)，為整章學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。解決好兩個問題：第一，為什么要學(xué)習(xí)本章內(nèi)容；第二，從哪里入手。為什么要學(xué)習(xí)本章？已有的函數(shù)模型不能解決“周而復(fù)始”的變化規(guī)律的刻畫問題。“周而復(fù)始”現(xiàn)象中，最本質(zhì)的就是勻速圓周運(yùn)動。數(shù)學(xué)中，研究一類現(xiàn)象，往往從簡單而本質(zhì)的情形入手。因此，可以進(jìn)一步地把刻畫單位圓上的勻速圓周運(yùn)動作為研究“周而復(fù)始”現(xiàn)象的

12、起點(diǎn)。從哪里入手？確定單位圓周上點(diǎn)的勻速運(yùn)動的要素是什么？可用帶有方向的角或帶有方向的弧長來刻畫（這里可以類比“相反意義的量”和“負(fù)數(shù)的引入”）。如果用同樣的“單位長度”來度量角和弧長的話，兩者就可以統(tǒng)一。所以，把角作為原始變量，再用單位圓的弧長來度量角，就可為刻畫勻速圓周運(yùn)動提供必要的基礎(chǔ)。這樣，把角推廣到“任意角”、引進(jìn)“弧度制”是需要先做的事情。(2)如何獲得“任意角”概念角是“轉(zhuǎn)”出來的。類比：用正、負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量，以及確定一個“平面圖形的旋轉(zhuǎn)”的“三要素”，給定角的始邊，只要確定了旋轉(zhuǎn)的方向和旋轉(zhuǎn)量，這個角就唯一確定了。為了表示旋轉(zhuǎn)量超過一周的角，需要將角的范圍擴(kuò)大；為了表

13、示不同方向的角，需要引進(jìn)正角、零角、負(fù)角等概念；相關(guān)概念有角的頂點(diǎn)、始邊、終邊等。具體教學(xué)時，可以采取如下過程：生活事例到數(shù)學(xué)抽象類比（有理）數(shù)范圍的擴(kuò)充，概括共同特征定義關(guān)鍵詞辨析。這里需要強(qiáng)調(diào)“定義一個新概念的方法”，確定一個“任意角”的條件旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向。任意角不僅是可以取任意大小的角，而且還有方向，這很重要。(3)如何表示“任意角”除用度數(shù)表示外，還可用“形”表示。類比數(shù)軸上的點(diǎn)表示實數(shù)，以“沒有正負(fù)的0角”為“基準(zhǔn)”，角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的方向相同，在這個統(tǒng)一前提下，任意角就只與它的終邊相關(guān)。由此可以讓學(xué)生理解象限角定義的思想，而且其中滲透了標(biāo)準(zhǔn)化、簡單化、對應(yīng)等思想，在同一“參照系”下，可使角的討論歸結(jié)為終邊的問題，問題得到簡化，并有效地表現(xiàn)出終邊位置的“周而復(fù)始”(4)“象限角”的性質(zhì)定義了一個數(shù)學(xué)對象，就要討論它有哪些性質(zhì)。性質(zhì)有多種研究方向。象限角：給定一個角，存在唯一的終邊與之對應(yīng)；但一條終邊可以對應(yīng)無數(shù)個角。既然這些角的始邊相同，終邊重合，數(shù)學(xué)素養(yǎng)好的學(xué)生自然會想，它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，一個自然的問題是：終邊相同的角之間有什么關(guān)系呢？小結(jié)本堂課立足于充分發(fā)揮數(shù)學(xué)的內(nèi)在力量，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力，培育學(xué)生的理性精神，使學(xué)生逐步學(xué)會認(rèn)識問題、解決問題的方法，針對“三角函數(shù)的開篇”的內(nèi)容特點(diǎn)，先構(gòu)建研究“周而