向量運算法則

1、(1)實數(shù)與向量的運算法則：設(shè)、為實數(shù)，則有:1)結(jié)合律：*一)(a。2)分配律：()，,ab)，。(2)向量的數(shù)量積運算法則：1)(la).ba.b).ba(lb)。3)(ab)cacbc。(3)平面向量的基本定理。q,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，則對于這一平面內(nèi)的任何一向量a,有且僅有一對實數(shù),，滿足aee。121122a與b的數(shù)量積的計算公式及幾何意義：a.baIIbIcos，數(shù)量積a.b等于a的長度IaI與b在a的方向上的投影IbIcos的乘積。(5)平面向量的運算法則。1)設(shè)a=(%,y),11b=(%,1)設(shè)a=(%,y),11b=(%,y)，則a+b=(%,yy)。2212

2、122)設(shè)a=(%,y),11b=(%,y)，則a-b=(%,yy)。2212123)設(shè)點A(%,y),11B(%,y)，貝ljABOBOA(%,yy)。222124)設(shè)a=(%,y),P，則a=(%4)5)設(shè)a=(%,y),b=(%,y)，則ab=(%yy)5)11221212(6)兩向量的夾角公式：cos.-%2ycos.-%2y2.-%2y21122(a=(%1,y1)，b=(%,y)。22(7)平面兩點間的距離公式：d=Id=IABlABBlAB(%)2(yy)2A,B2121(A(%1,y1)，B(%,y)。22(8)向量的平彳行與垂直：設(shè)a=(%,y),b=(%,y)，且b0,則有

3、:11221)a|bb=a%y%y0。2112212)2)alb(al0)lb=0l%lyyl0。1212(9)線段的定比分公式：設(shè)P(設(shè)P(%i，yi)，P2(%2,y2)，P(%,y)是線段PP的分點，是實數(shù)，且PPPP,則12%喙TOC o 1-5 h z1BBOPmOPiOPmtOP(1)(9PJ)。I(io)三角形的重芯公式：ABC三個頂點的坐標(biāo)分別為A(x,y)、B(x,y)vC(x,y),則ABC的重心的坐112233標(biāo)為工“尸,二八33(11)平移公式：%/.%/.臥左OPMOPPP(12)關(guān)于向量平移的結(jié)論。一TT1)點P(x,y)按向量a=(h,k)平移后得到點Pxh,yk

4、)。2)函數(shù)y/(%)的圖像。按向量。=(h,k)平移后得到圖像C：y/(xH/i)Uk。3)圖像。按向量a=(九左)平移后得到圖像C:、/(%),貝I。為、/(%/)左。4)曲線。：/(%,y)B0按向量a=(h,k)平移后得到圖像C:f(xk)B0。1向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。要4向量的加法向量的加法,。1向量的加法向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。要4向量的加法向量的加法,。向量加法的運算律:交換律：a結(jié)合律：2向量的減法的反向量為如果、是互為相反的向量，那么即“共同起點，指向被國5向盤的戒法向量的減法減”則如圖：以的結(jié)束為起點，的結(jié)束為終點。3向量的數(shù)

5、乘實數(shù)九和向量的乘積是一個向量，記作入，且入=入。當(dāng)入0寸，入與同方向當(dāng)入0寸，入與反方向；ES3向量的數(shù)奏向量的數(shù)乘當(dāng)入=0時，入=0,方向任意。當(dāng)=0時，對于任意實數(shù)入，都有入=0。注：按定義知，如果入=0，那么入=0或=0。實數(shù)人叫做向量的系數(shù)，乘數(shù)向量入的幾何意義就是將表示向量的有向線段伸長或壓縮。當(dāng)八時，表示向量的有向線段在原方向（入0或反方向（入0上伸長為原來的I入I倍當(dāng)八時，表示向量的有向線段在原方向（入0或XX反方向（入0上縮短為原來的I入I倍。數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算律結(jié)合律：入b=Ab=入b。向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：八|J二八|J數(shù)對于向量的分配律（第二分配律

6、）：入b大入b數(shù)乘向量的消去律：如果實數(shù)人/0且入大b,那么小如果力0且入=1,那么入=p。4向量的數(shù)量積定義：已知兩個非零向量b作=則角b稱作向量和向量b的夾角，記作b并規(guī)定0WbWn定義：兩個向量的數(shù)量積（內(nèi)積、點積）是一個數(shù)量（沒有方向），記作a-b。若a、b不共線，則a,b=|a|Tb|,cosa,b（依定義有：cosa,b=a,b/|a|,|b|）；若a、b共線，則ab=|a|b|。向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示：a-b=xx+y-y。向量的數(shù)量積的運算律a,b=b,a（交換律）（入a）b=A（ab）（關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律）（a+b）c=a,c+b,c（分配律）向量的數(shù)量積的性質(zhì)a2=幅|的平

7、方。ab=a,b=0。|ab|W|a|,|b|。（該公式證明如下：|ab|=|a|b|,|cosa|因為0W|cosa|W1,所以|ab|W|a|Tb|）向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點.向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，即：（ab）c/a（bc）；例如：（a,b）八2/a2b2o.向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由ab=ac（a/0）,推不出b=c。.|ab|與|a|,|b|不等價.由|a|=|b|,推不出a=b或a=b。、向量的向量積定義：兩個向量a和b的向量積圖工向量的幾何表示向量的幾何表示（外積、叉積）是一個向量，記作aXb（這里“X”并不是乘號，只是一種表示方法，與“”不同，也可記做“A”）

8、。若a、b不共線，則aXb的模是：|aXb|=|a|b|,sina,b；aXb的方向是：垂直于a和b,且a、b和2義6按這個次序構(gòu)成右手系。若a、b垂直，則aXb=0。向量的向量積性質(zhì)：IaXb|是以a和b為邊的平行四邊形面積。aXa。a垂直b=aXb向量的向量積運算律aXbbXa（入a）Xb入（aXb）aX（入b）aX（b+）aXb+aX注：向量沒有除法，“向量向量CD”是沒有意義的。6三向量的混合積定義：給定空間三向量a、b、c向量a、b的向量積aXb,再和向量作數(shù)量積（aXb）-c向量的混合積所得的數(shù)叫做三向量a、b、的混合積，記作（ab）或（6）,即（ab）ab）aXb）混合積具有下列性質(zhì)：i三個不共面向量a、b、的混合積的絕對值等于以a、b、為棱的平行六面體的體積V并且當(dāng)a、b、構(gòu)成右手系時混合積是正數(shù)；當(dāng)a、b、構(gòu)成左手系時，混合積是負數(shù)，即（ab）（當(dāng)a、b、構(gòu)成右手系時S；當(dāng)a、b、構(gòu)成左手系時）2上性質(zhì)的推論：三向量a、b、共面的充要條件是（ab）（ab）（a（abba）（baa（b（aXb）a（bX）例題正方形B設(shè)向量）（）二（）例題正方形B設(shè)向量）（）二（）：（G二二B二有=小二二0LB=)二GK二從)()=0.ALBXGK、二向量二重向量積由于二重向量叉乘的計算較為復(fù)雜，于是直接給出了下列化簡公式以及證明過程:1i3%,5-M;戶J