二次函數(shù)極值問題

1、關(guān)于二次函數(shù)的極值問題第1頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四1、求下列二次函數(shù)的最大值或最小值： y=x22x3; y=x24x解：（1）y=（x1）22 當x=1時，y有最大值為2。 （2）y=（x+2）24 當x=2時，y有最小值為4。歸納：一般地，因為拋物線y=ax2+bx+c的頂點是 最低（高）點，所以當x= 時，二次函 數(shù)y=ax2+bx+c有最小（大）值 。第2頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四-202462-4xy若3x3，該函數(shù)的最大值、最小值分別為（ ）、（ ）。 又若0 x3，該函數(shù)的最大值、最小值分別為（ ）、（ ）。求函數(shù)的最

2、值問題，應注意什么?55 555 132、圖中所示的二次函數(shù)圖像的解析式為： 第3頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四一、自主探究 問題1.已知某商品的進價為每件40元，售價是每件60元，每星期可賣出300件。據(jù)市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件。要想獲得6090元的利潤，該商品應定價為多少元？第4頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四 已知某商品的進價為每件40元，售價是每件 60元，每星期可賣出300件。市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件。要想獲得6090元的利潤，該商品應定價為多少元？分析：沒調(diào)價之

3、前商場一周的利潤為 元；設(shè)銷售單價上調(diào)了x元，那么每件商品的利潤可表示為 元，每周的銷售量可表示為 件，一周的利潤可表示為 元，要想獲得6090元利潤可列方程 。 6000 20+x300-10 x (20+x)( 300-10 x) (20+x)( 300-10 x) =6090 第5頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四 已知某商品的進價為每件40元，售價是每件 60元，每星期可賣出300件。市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件。要想獲得6090元的利潤，該商品應定價為多少元？ 若設(shè)銷售單價x元，那么每件商品的利潤可表示為 元，每周的銷售量可表示

4、為 件，一周的利潤可表示 為 元，要想獲得6090元利潤可列方程 . x-40300-10(x-60)(x-40)300-10(x-60) (x-40)300-10(x-60)=6090第6頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四二、自主合作問題2.已知某商品的進價為每件40元?，F(xiàn)在的售價是每件60元，每星期可賣出300件。市場調(diào)查反映：如調(diào)整價格，每漲價一元，每星期要少賣出10件；每降價一元，每星期可多賣出20件。如何定價才能使利潤最大？第7頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四解：設(shè)每件漲價為x元時獲得的總利潤為y元.y =(60-40+x)(300-10

5、 x) =(20+x)(300-10 x) =-10 x2+100 x+6000 =-10(x2-10 x-600) =-10(x-5)2-25-600 =-10(x-5)2+6250當x=5時，y的最大值是6250.定價:60+5=65（元）(0 x30)怎樣確定x的取值范圍第8頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四可以看出，這個函數(shù)的圖像是一條拋物線的一部分，這條拋物線的頂點是函數(shù)圖像的最高點，也就是說當x取頂點坐標的橫坐標時，這個函數(shù)有最大值。由公式可以求出頂點的橫坐標.所以，當定價為65元時，利潤最大，最大利潤為6250元也可以這樣求極值第9頁，共29頁，2022年，

6、5月20日，18點1分，星期四解:設(shè)每件降價x元時的總利潤為y元.y=(60-40-x)(300+20 x) =(20-x)(300+20 x) =-20 x2+100 x+6000 =-20（x2-5x-300） =-20（x-2.5）2+6125 所以定價為60-2.5=57.5時利潤最大,最大值為6125元. 答:綜合以上兩種情況，定價為65元時可獲得最大利潤為6250元.由(1)(2)的討論及現(xiàn)在的銷售情況,你知道應該如何定價能使利潤最大了嗎?怎樣確定x的取值范圍（0 x20）第10頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四 2.某公司試銷一種成本單價為500元的新產(chǎn)品，

7、規(guī)定試銷時的銷售單價不低于成本單價,又不高于800元/件,經(jīng)市場調(diào)查,發(fā)現(xiàn)銷售量y(件)與銷售單價x(元/件)可以近似看作一次函數(shù)的關(guān)系(如圖). (1)根據(jù)圖象,求y與x的函數(shù)關(guān)系式; (2)設(shè)公司獲得的毛利潤為s元,試求s與x的函數(shù)關(guān)系式; (3)試問:銷售單價定為多少時,該公司可獲得最大利潤?最大毛利潤是多少?此時的銷售量是多少?600700400300Oxy(3)當x=750時,s最大為62500元,銷售量為250件.第11頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四歸納小結(jié)：運用二次函數(shù)的性質(zhì)求實際問題的最大值和最小值的一般步驟 :求出函數(shù)解析式和自變量的取值范圍配方變形

8、，或利用公式求它的最大值或最小值。檢查求得的最大值或最小值對應的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi) 。解這類題目的一般步驟第12頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四 1.某產(chǎn)品每件的成本價是120元,試銷階段,每件產(chǎn)品的銷售價格x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間的關(guān)系如下表：x（元）130150165y（件）705035 (1)則y與x的函數(shù)關(guān)系式為 _；y=-x+200(120 x200)若銷售量y是銷售價格x的一次函數(shù).第13頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四 1.某產(chǎn)品每件的成本價是120元,試銷階段,每件產(chǎn)品的銷售價格x(元)與產(chǎn)品的日銷售量

9、y(件)之間的關(guān)系如下表：x（元）130150165y（件）705035(2)若要獲得最大的銷售利潤,每件產(chǎn)品的銷售價格定為多少元？此時每日的銷售利潤是多少？設(shè)銷售利潤為W,則W=(x-120)y=(x-120)(-x+200)=-x2+320 x-2400W=1600則:若銷售量y是銷售價格x的一次函數(shù).第14頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四2.某種糧大戶去年種植優(yōu)質(zhì)水稻360畝,今年計劃增加承租x(100 x150)畝,預計,原種植的360畝水稻今年每畝可收益440元,新增加地今年每畝的收益為(440-2x)元,試問:該種植大戶要增加承租多少畝水稻,才能使總收益最大

10、?最大收益是多少?y=440360+(440-2x)x=-2x2+440 x+158400=-2(x-110)2+182600所以,當x=110時,y有最大值182600設(shè)該種糧大戶的今年總收益為y元.第15頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四3.某旅社有客房120間,每間房間的日租金為50元,每天都客滿,旅社裝修后要提高租金,經(jīng)市場調(diào)查,如果一間客房的日租金每增加5元,則客房每天出租會減少6間,不考慮其它因素,旅社將每間客房的日租金提高到多少元時,客房日租金總收入最高？比裝修前的日租金的總收入增加多少元？設(shè)日租金提高x元，客房日租金總收入為y元50+x=75第16頁，共2

11、9頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四 某商場銷售某種品牌的純牛奶，已知進價為每箱40元，市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)：若每箱以50 元銷售,平均每天可銷售100箱. 價格每箱降低1元，平均每天多銷售25箱 ; 價格每箱升高1元，平均每天少銷售4箱。如何定價才能使得利潤最大？ 練一練若生產(chǎn)廠家要求每箱售價在4555元之間。如何定價才能使得利潤最大？（為了便于計算，要求每箱的價格為整數(shù)）第17頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四解：設(shè)利潤為y，每箱漲價x元，則每天可售出（1004x）箱，根據(jù)題意，得 y=（10+x）（1004x） =4（x ）2+1225 （0 x5） 當x= 時

12、，y最大值=1225。 設(shè)每箱降價z元，則每天可售出（100+25z）箱，根據(jù)題意，得 y=（10z）（100+25z） =25（z2）2+1100（0z5） 當z=2時，y最大值=1100。 因為廠家要求售價在4555之間，所以應每箱漲價5元，即每箱定價為55元時，利潤最大。第18頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四 有一經(jīng)銷商，按市場價收購了一種活蟹1000千克，放養(yǎng)在塘內(nèi)，此時市場價為每千克30元。據(jù)測算，此后每千克活蟹的市場價，每天可上升1元，但是，放養(yǎng)一天需各種費用支出400元，且平均每天還有10千克蟹死去，假定死蟹均于當天全部售出，售價都是每千克20元（放養(yǎng)期間

13、蟹的重量不變）.設(shè)x天后每千克活蟹市場價為P元，寫出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.如果放養(yǎng)x天將活蟹一次性出售，并記1000千克蟹的銷售總額為Q元，寫出Q關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式。 該經(jīng)銷商將這批蟹放養(yǎng)多少天后出售，可獲最大利潤，（利潤=銷售總額-收購成本-費用）？最大利潤是多少？思考第19頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四解：由題意知:P=30+x. 由題意知：死蟹的銷售額為200 x元，活蟹的銷售額為（30+x）（1000-10 x)元。 駛向勝利的彼岸Q=(30+x)(1000-10 x)+200 x =-10 x2+900 x+30000設(shè)總利潤為W=Q-30000-400 x

14、=-10 x2+500 x =-10(x-25)2+6250當x=25時，總利潤最大，最大利潤為6250元。第20頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四第21頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四 例題:學校要建一個生物花圃園，其中一邊靠墻，另三邊用長為30米的籬笆圍成，已知墻長為18米，設(shè)這個花圃垂直的一邊為x米.（1）平行于墻的一邊為y米，直接寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系及自變量x的取值范圍；（2）垂直于墻的一邊的長為多少米時，這個花圃的面積最大，并求這個最大值；（3）當這個花圃園的面積不小于88平米時，（結(jié)合圖像）直接寫出x的取值范圍。(1)分析：y=30

15、-2x第22頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四解： 當垂直于墻的邊長為7.5米是，花圃的面積最大為112.5平方米。第23頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四 -2x2+30 x=88解得：x1=4 ,x2=116X 15當 6X 11時， 花圃園的面積不小于88平方米由圖像得:（3）分析：15第24頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四解： （3）由圖象知：當6X 11時，面積 不小于88平方米. 當垂直于墻的邊長為7.5米是，花圃的面積最大為112.5平方米。第25頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四如圖，在一

16、面靠墻的空地上用長為24米的籬笆，圍成中間隔有二道籬笆的長方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為x米，面積為S平方米。(1)求S與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；(2)當x取何值時所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？(3)若墻的最大可用長度為8米，則求圍成花圃的最大面積。 ABCD解： (1) AB為x米、籬笆長為24米 花圃寬為（244x）米 (3) 墻的可用長度為8米 (2)當x 時，S最大值 36（平方米） Sx（244x） 4x224 x （0 x6） 0244x 8 4x6當x4cm時，S最大值32 平方米第26頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四何時窗戶通過的光線最多某建筑物的窗戶如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩形,制造窗框的材料總長(圖中所有的黑線的長度和)為15m.當x等于多少時,窗戶通過的光線最多(結(jié)果精確到0.01m)?此時,窗戶的面積是多少?做一做xxy第27頁，共29頁，2022年，5月20日，18點1分，星期四例.小明的家門前有一塊空地，空地外有一面長10米的圍墻，為了美化生活環(huán)境，小明的爸爸準備靠墻修建一個矩形花圃，他買回了32米長的不銹鋼管準備作為花圃的圍欄，為了澆花和賞花的方便，準備在花圃的中間再圍