二次型正定慣性指數(shù)

1、關(guān)于二次型正定慣性指數(shù)第1頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四一、 用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形第2頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四令第3頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四實(shí)對(duì)稱矩陣A經(jīng)過非退化線性替換 二次型 f 化為:存在可逆矩陣C,使得 第4頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四二、 用正交替換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)對(duì)稱矩陣A存在正交矩陣Q,使得存在正交矩陣Q,使得 QTAQ=A的所有特征值實(shí)對(duì)稱矩陣A經(jīng)過正交替換 標(biāo)準(zhǔn)形二次型化為：第5頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四例1 用正交替換化二

2、次型為標(biāo)準(zhǔn)形,解 二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為特征值：再將 單位化,得將1,2正交化得并寫出所作的線性替換.是正交矩陣第6頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四是正交矩陣經(jīng)過非退化的線性替換二次型化為第7頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四第8頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四例1 考慮二次型有稱此二次型是正定二次型.相應(yīng)的矩陣為正定矩陣.設(shè)實(shí)二次型f ( x1 , x2 , , xn ) = XTAX ( AT = A ) ,如果對(duì)任何則稱二次型 A稱為正定矩陣.是正定二次型.X = ( x1 , x2 , , xn )T o，有 例1 二次

3、型對(duì)任何為正定二次型X = (x1 , x2 , , xn )T o，二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + + xr2 ( r n)第9頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四4.3 二次型和對(duì)稱矩陣的有定性一、正定二次型和正定矩陣二次型 f ( x1 , x2 , , xn ) = x12 + x22 + + xr2 ( r n)對(duì)x = ( 0 , , 0 , f (x1 , x2 , xn ) = 0 .xr+1 , , xn )T o，有故二次型不是正定二次型.例1 二次型為正定二次型對(duì)任何X = (x1 , x2 , , xn

4、)T o，第10頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四|A|大于零二、二次型正定性的判別如何判斷一個(gè)矩陣或二次型是否正定呢? 以下給出幾個(gè)矩陣為正定矩陣的充分必要條件. 準(zhǔn)則1準(zhǔn)則2 f 的正慣性指數(shù)為nf 正定準(zhǔn)則3 A的特征值都大于零 對(duì)稱矩陣A為正定矩陣第11頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四稱為矩陣A的順序主子式.準(zhǔn)則4 對(duì)稱陣A為正定矩陣A的順序主子式都大于零.例1 判別下列矩陣或二次型是否正定 A正定第12頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四例1 判別下列矩陣或二次型是否正定解 二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為：該二次型正定 A正定第1

5、3頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四例2 取何值時(shí),下面的二次型正定解 二次型對(duì)應(yīng)的矩陣為：當(dāng) 時(shí)，二次型正定.Ex2: 取何值時(shí),下面的二次型正定第14頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四B正定.第15頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四第16頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四三、二次型的有定性也不是 負(fù)定的.有 二次型 是正定的有 二次型 是負(fù)定的有 二次型 是半正定的使 有 二次型 是半負(fù)定的使 例 二次型不是 正定的;(半)(半)此時(shí)稱為不定的.第17頁，共19頁，2022年，5月20日，18點(diǎn)2分，星期四1.二次型的負(fù)定性 矩陣A負(fù)定矩陣 正定.即奇數(shù)階順序主子式小于零，偶數(shù)階順序主子式大于