北京版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題8.3直線、平面平行的判定與性質(zhì)（講解練）教學(xué)講練

1、8.3直線、平面平行的判定與性質(zhì)數(shù)學(xué) 北京專用考點(diǎn)直線、平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.判定直線與直線平行的方法(1)平行公理:ab,bcac;(2)線面平行的性質(zhì)定理:a,a,=bab;(3)面面平行的性質(zhì)定理:,=a,=bab;(4)垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行;(5)如果一條直線與兩個(gè)相交平面都平行,那么這條直線必與它們的交線平行.類別文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn),則稱這條直線與這個(gè)平面平行a=a平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行(即線線平行線面平行)ab,a,ba2.直線與平面平行的判定和性質(zhì)一條直線和一個(gè)平面平行,則過(guò)這條

2、直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(即線面平行線線平行)a,a,=bab3.平面與平面平行的判定和性質(zhì)類別文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理1如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交的直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行面面平行”)判定定理2垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行判定定理3平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行性質(zhì)定理1如果兩個(gè)平面平行,那么在一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都平行于另一個(gè)平面且aa性質(zhì)定理2如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行(簡(jiǎn)記為“面面平行線線平行”)且=a且=bab性質(zhì)定理3如果兩個(gè)平行平面中有一個(gè)垂直于一條直線,那么另一個(gè)平面也垂直于這條直線且ll

3、【知識(shí)拓展】1.平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)化如圖所示:2.應(yīng)用判定定理和性質(zhì)定理的注意事項(xiàng)(1)在利用線面平行的判定定理時(shí),一定要強(qiáng)調(diào)直線不在平面內(nèi),否則容易出現(xiàn)錯(cuò)誤;(2)線面平行的判定定理和性質(zhì)定理使用的區(qū)別:如果結(jié)論中有a,則要用判定定理,在內(nèi)找與a平行的直線;若條件中有a,則要用性質(zhì)定理,找(或作)過(guò)a且與相交的平面.3.幾個(gè)常用結(jié)論(1)夾在兩個(gè)平行平面之間的平行線段長(zhǎng)度相等;(2)經(jīng)過(guò)平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知平面平行;(3)兩條直線被三個(gè)平行平面所截,截得的對(duì)應(yīng)線段成比例;(4)同一條直線與兩個(gè)平行平面所成的角相等;(5)如果一條直線與兩個(gè)相交平面都平行,那么這條直線必與它們的交線平行.

4、考向突破考向一證明直線與平面平行例1(2017課標(biāo),18,12分)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=AD,BAD=ABC=90.(1)證明:直線BC平面PAD;(2)若PCD的面積為2,求四棱錐P-ABCD的體積. 解析(1)證明:在平面ABCD中,因?yàn)锽AD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.(2)如圖,取AD的中點(diǎn)M,連接PM,CM.由AB=BC=AD及BCAD,ABC=90,得四邊形ABCM為正方形,則CMAD.因?yàn)閭?cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以

5、PMAD,PM底面ABCD.因?yàn)镃M底面ABCD,所以PMCM.設(shè)BC=x,則CM=x,CD=x,PM=x,PC=PD=2x.取CD的中點(diǎn)N,連接PN,則PNCD,所以PN=x.因?yàn)镻CD的面積為2,所以xx=2,解得x=-2(舍去)或x=2.于是AB=BC=2,AD=4,PM=2.所以四棱錐P-ABCD的體積V=2=4.考向二證明平面與平面平行例2如圖,四邊形ABCD與四邊形ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點(diǎn).求證:(1)BE平面DMF;(2)平面BDE平面MNG. 證明(1)如圖,連接AE,記DF與GN的交點(diǎn)為O,則AE必過(guò)點(diǎn)O,連接MO,則MO為ABE的中位線

6、,所以BEMO,又BE平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.(2)因?yàn)镹,G分別為平行四邊形ADEF的邊AD,EF的中點(diǎn),所以DEGN,又DE平面MNG,GN平面MNG,所以DE平面MNG.又M為AB的中點(diǎn),N為AD的中點(diǎn),所以MN為ABD的中位線,所以BDMN,因?yàn)锽D平面MNG,MN平面MNG,所以BD平面MNG.又BDDE=D,DE平面BDE,BD平面BDE,所以平面BDE平面MNG.方法1證明線面平行的方法1.利用定義,證明直線a與平面沒(méi)有公共點(diǎn),一般結(jié)合反證法來(lái)證明,這時(shí)“平行”的否定應(yīng)是“在平面內(nèi)”或“相交”兩種,只有排除這兩種位置關(guān)系后才能得出“直線a與平面平行”這一結(jié)

7、論.2.利用直線與平面平行的判定定理.使用該定理時(shí),應(yīng)注意定理成立時(shí)所滿足的條件.3.利用面面平行的性質(zhì)定理,把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行.(1)已知直線在一平面之內(nèi),若兩平面平行,則該平面內(nèi)的所有直線與另一平面無(wú)公共點(diǎn),推得線面平行.(2)若一條直線在兩平行平面外,且與其中一平面平行,則這條直線與另一方法技巧平面平行.例1如圖所示,正方形ABCD與正方形ABEF所在的平面相交于AB,在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q,且AP=DQ.求證:PQ平面BCE. 證明證法一:如圖所示,作PMAB交BE于M,作QNAB交BC于N,連接MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB,AE=BD.又AP=DQ,P

8、E=QB,又PMABQN,=,=,又AB=DC,PMQN,四邊形PMNQ為平行四邊形,PQMN.又MN平面BCE,PQ平面BCE,PQ平面BCE.證法二:如圖,在平面ABEF內(nèi),過(guò)點(diǎn)P作PMBE,交AB于點(diǎn)M,連接QM.則PM平面BCE,PMBE,=,又AE=BD,AP=DQ,PE=BQ,=,=,MQAD,又ADBC,MQBC,又MQ平面BCE,BC平面BCE,MQ平面BCE,又PMMQ=M,PM,MQ平面PMQ,平面PMQ平面BCE,又PQ平面PMQ,PQ平面BCE.方法2證明面面平行的方法1.利用面面平行的定義(此法一般伴隨反證法證明).2.利用面面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交

9、直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行.3.證明兩個(gè)平面都垂直于同一條直線.4.證明兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面.例2在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別為A1B1,A1D1的中點(diǎn),E,F分別為B1C1,C1D1的中點(diǎn).(1)求證:四邊形BDFE為梯形;(2)求證:平面AMN平面EFDB. 解題導(dǎo)引證明(1)連接B1D1.在B1D1C1中,E,F分別是B1C1,C1D1的中點(diǎn),EFB1D1且EF=B1D1.又易證在正方體ABCD-A1B1C1D1中,四邊形BDD1B1是矩形,BDB1D1.EFBD且EF=BD.四邊形BDFE為梯形.(2)連接FM.在A1B1D1中,M,N分別為A1B1,A1D1的中點(diǎn),MNB1D1,由(1)知,EFB1D1,MNEF,又EF平面EFDB,MN平面EFDB,MN平面EFDB.在