課標(biāo)版高考文科數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)專題2.1 函數(shù)的概念及表示（講解練）教學(xué)講練

1、專題二函數(shù)2.1函數(shù)的概念及表示高考文數(shù)考點(diǎn)一函數(shù)的概念及表示方法考點(diǎn)清單考向基礎(chǔ)1.函數(shù)與映射概念的比較 函數(shù)映射兩集合A、B設(shè)A、B是兩個(gè)非空數(shù)集設(shè)A、B是兩個(gè)非空集合對(duì)應(yīng)關(guān)系f:AB如果按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)名稱稱f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)稱對(duì)應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射記法y=f(x),xA對(duì)應(yīng)f:AB由映射的定義可以看出,映射是函數(shù)概念的推廣,函數(shù)是一種特殊的映射,要注意構(gòu)成函數(shù)的兩個(gè)集合A

2、、B必須是非空數(shù)集.2.函數(shù)的三要素:定義域、值域、對(duì)應(yīng)關(guān)系.3.函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)y=f(x),xA中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域,與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域.4.求函數(shù)值域常用的方法(1)分離常數(shù)法形如y=(a0)的函數(shù)的值域,經(jīng)常使用“分離常數(shù)法”求解.(2)配方法配方法是求“二次函數(shù)類”值域的基本方法,求形如F(x)=af(x)2+bf(x)+c(a0)的函數(shù)的值域問(wèn)題,均可使用配方法,求解中要注意f(x)整體的取值范圍.(3)換元法代數(shù)換元.形如y=ax+b(a,b,c,d為常數(shù),ac0)的函數(shù),可設(shè)=t(t0),

3、轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域.若有單調(diào)性,則用單調(diào)性更簡(jiǎn)捷,如y=x+.三角換元.如y=x+,可令x=cos ,0,則y=cos +sin =sin,0,.用換元法求值域,一定要注意新元的范圍對(duì)值域的影響.(4)判別式法把函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于x的二次方程F(x,y)=0,通過(guò)方程有實(shí)根,即判別式0,求得原函數(shù)的值域,形如y=(a1,a2不同時(shí)為零)的函數(shù)的值域常用此法求解. 用判別式法求值域的注意事項(xiàng):函數(shù)的定義域?yàn)镽;分子、分母沒(méi)有公因式.(5)有界性法形如sin =f(y),x2=g(y),ax=h(y)等的函數(shù),由|sin |1,x20,ax0可解出y的范圍,從而求出其值域.(6)數(shù)形結(jié)合法若函數(shù)解析

4、式的幾何意義較明顯,如距離、斜率等,可用數(shù)形結(jié)合的方法求解值域.(7)基本不等式法利用基本不等式:a+b2(a0,b0)求函數(shù)的值域.用此法求函數(shù)值域時(shí),要注意條件“一正,二定,三相等”,如:利用a+b2求某些函數(shù)的值域時(shí),應(yīng)滿足三個(gè)條件:a0,b0;a+b(或ab)為定值;取等號(hào)的條件是a=b.三個(gè)條件缺一不可.(8)單調(diào)性法若y=f(x)在a,b上單調(diào)遞增,則ymin=f(a),ymax=f(b);若y=f(x)在a,b上單調(diào)遞減,則ymin=f(b),ymax=f(a).5.相等函數(shù)若兩個(gè)函數(shù)的定義域相同,并且對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù).6.函數(shù)的表示方法表示函數(shù)的常用方法

5、:解析式法、圖象法、列表法.考向求函數(shù)定義域考向突破例1函數(shù)y=+log2(tan x-1)的定義域?yàn)?解析要使函數(shù)y=+log2(tan x-1)有意義,需1-x20,tan x-10,且xk+(kZ),-1x1且+kxk+,kZ,1的x的取值范圍是.解析當(dāng)x0時(shí),x-1-1,f(x)+f(x-1)=x+1+(x-1)+1=2x+11,即x0,此時(shí)無(wú)解.當(dāng)020=1,此時(shí)f(x)+f(x-1)1恒成立.當(dāng)x1時(shí),x-10,f(x)+f(x-1)=2x+2x-1=32x-1,2x-120=1,此時(shí)f(x)+f(x-1)1恒成立.綜上所述,滿足f(x)+f(x-1)1的x的取值范圍是(0,+).

6、答案(0,+)方法1函數(shù)定義域的求法1.求具體函數(shù)y=f(x)的定義域方法技巧2.求抽象函數(shù)的定義域(1)若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閍,b,則函數(shù)f(g(x)的定義域由ag(x)b求出.(2)若已知函數(shù)f(g(x)的定義域?yàn)閍,b,則f(x)的定義域?yàn)間(x)在xa,b時(shí)的值域.例1(1)(2019山東安丘質(zhì)量檢測(cè),3)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,2,則函數(shù)g(x)=f+的定義域?yàn)?)A.0,3B.0,2 C.1,2D.1,3(2)(2019湖北黃岡元月調(diào)研,2)已知函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)?-2,0),則f(2x-1)的定義域?yàn)?)A.(-1,0)B.(-2,0)C.(0,1)D. 解

7、析(1)由題意可知x滿足解得0 x3,故函數(shù)g(x)的定義域?yàn)?,3,故選A.(2)函數(shù)f(x+1)的定義域?yàn)?-2,0),即-2x0,-1x+11,則f(x)的定義域?yàn)?-1,1),由-12x-11,得0 x1,f(2x-1)的定義域?yàn)?0,1).故選C.答案(1)A(2)C方法2求函數(shù)解析式的常用方法1.配湊法.已知f(h(x)=g(x),求f(x)的問(wèn)題,往往把右邊的g(x)整理或配湊成只含h(x)的式子,用x將h(x)代換.2.待定系數(shù)法.前提是已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù)),比如二次函數(shù)可設(shè)為f(x)=ax2+bx+c(a0),其中a、b、c是待定系數(shù),根據(jù)題設(shè)條件列出方程組

8、,解出待定系數(shù)即可.3.換元法.已知f(h(x)=g(x),求f(x)時(shí),往往可設(shè)h(x)=t,從中解出x,代入g(x)進(jìn)行換元,便可求解.4.解方程組法.已知f(x)滿足某個(gè)等式,這個(gè)等式除f(x)是未知量外,還有其他未知量,如f等,必須根據(jù)已知等式再構(gòu)造其他等式組成方程組,通過(guò)解方程組求出f(x).5.賦值法. f(x)是關(guān)于x,y兩個(gè)變量的方程式,可對(duì)變量賦值求出f(x).例2(1)已知f(x)是一次函數(shù),且f(f(x)=4x+3,則f(x)的解析式為;(2)已知f(+1)=x+2,則f(x)的解析式為;(3)已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=2f+x,則f(x)的解析式為;(4)已知f(0

9、)=1,對(duì)任意的實(shí)數(shù)x,y,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),則f(x)的解析式為.(1)已知函數(shù)類型,用待定系數(shù)法求解.(2)用換元法求解,注意新元的范圍或用配湊法求解.(3)聯(lián)立方程可解.(4)用賦值法可解.解題導(dǎo)引解析(1)由題意可設(shè)f(x)=ax+b(a0),則f(f(x)=f(ax+b)=a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x+3,解得或故所求解析式為f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1.(2)解法一:設(shè)t=+1(t1),則x=(t-1)2,f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1,f(x)=x2-1(x1).解法二:x+2=()

10、2+2+1-1=(+1)2-1,f(+1)=(+1)2-1,f(x)=x2-1(x1).(3)由f(x)=2f+x,得f=2f(x)+,聯(lián)立得+2得f(x)=x+4f(x)+,則f(x)=-x.(4)令x=0,得f(-y)=f(0)-y(-y+1)=1+y2-y,f(y)=y2+y+1,f(x)=x2+x+1.答案(1)f(x)=-2x-3或f(x)=2x+1(2)f(x)=x2-1(x1)(3)f(x)=-x(4)f(x)=x2+x+1方法3分段函數(shù)問(wèn)題的解題策略1.求函數(shù)值.弄清自變量所在區(qū)間,然后代入對(duì)應(yīng)的解析式,求“層層套”的函數(shù)值,要從最內(nèi)層逐層向外計(jì)算.2.求函數(shù)最值.分別求出每個(gè)區(qū)間上的最值,然后比較大小得到最值.3.解不等式.根據(jù)分段函數(shù)中自變量取值范圍的界定,代入相應(yīng)的解析式求解.4.求參數(shù).“分段處理”,采用代入法列出各區(qū)間上的方程.例3(2019皖南八校第三次聯(lián)考,11)已知函數(shù)f(x)=則滿足f(2x+1)f(3x-2)的實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.(-,0B.(3,+)C.1,3)