2021課標版理數(shù)高考總復習專題10.2二項式定理（講解練）理科數(shù)學教學講練

1、10.2二項式定理高考理數(shù)考點二項式定理考點清單考向基礎1.二項式定理公式(a+b)n=an+an-1b1+an-kbk+bn(nN*)叫做二項式定理.公式中右邊的多項式叫做(a+b)n的二項展開式,其中各項的系數(shù)(k=0,1,n)叫做二項式系數(shù),式中的an-kbk叫做二項展開式的通項,用Tk+1表示,即通項為展開式的第k+1項.2.二項展開式形式上的特點(1)項數(shù)為n+1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n,即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列,從第一項起,次數(shù)由n逐項減1直到0,字母b按升冪排列,從第一項起,次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式系數(shù)為,.3.二項式系數(shù)的性質(

2、1)對稱性:與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等,即=.(2)增減性與最大值:對于二項式系數(shù)(r=0,1,2,n),當r時,二項式系數(shù)是遞減的.當n是偶數(shù)時,二項展開式的中間一項的二項式系數(shù)最大,即最大的二項式系數(shù)為.當n是奇數(shù)時,二項展開式的中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大,即最大的二項式系數(shù)為和.(3)二項式系數(shù)的和(a+b)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n,即+=2n.二項展開式中,偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和,即+=+=2n-1.考向突破考向一求與特定項相關的量例1(2019內蒙古包頭二模,10)若的展開式中的各項系數(shù)的和為1,則該展開式中的常數(shù)項為()A.

3、672B.-672C.5 376D.-5 376解析的展開式中的各項系數(shù)的和為(a-1)9=1,a=2.故展開式的通項公式為Tr+1=(-1)r29-rx18-3r,令18-3r=0,求得r=6,可得該展開式中的常數(shù)項為23=672,故選A.答案A考向二二項式系數(shù)的性質及應用例2(2018河北邯鄲二模,9)在的展開式中,各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為64,則x3的系數(shù)為()A.15B.45C.135D.405解析令中x為1,得各項系數(shù)和為4n,又展開式的各項二項式系數(shù)和為2n,各項系數(shù)的和與各項二項式系數(shù)的和之比為64,=64,解得n=6,二項展開式的通項公式為Tr+1=3r,令6-r=3,得

4、r=2,故展開式中x3的系數(shù)為32=135,故選C.答案C方法1求二項展開式中的特定項或特定項的系數(shù)1.二項式定理的核心是通項公式,求解此類問題可以分兩步完成:第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式,建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件,即n,r均為非負整數(shù),且nr,如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等);第二步是根據(jù)所求的指數(shù),再求所求的項.2.求兩個多項式的積的特定項,可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解.方法技巧例1(2017課標,6,5分)(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為()A.15B.20C.30D.35解析解法一:(1+x)6=1(1+x)6+(1+x

5、)6,(1+x)6的展開式中的x2的系數(shù)為=15,(1+x)6的展開式中的x2的系數(shù)為=15,所以所求展開式中x2的系數(shù)為15+15=30.解法二:因為(1+x)6=,所以(1+x)6展開式中x2的系數(shù)等于(1+x2)(1+x)6展開式中x4的系數(shù),而(1+x2)(1+x)6展開式中x4的系數(shù)為+=30,故(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為30.解法三:因為(1+x)6=-,所以(1+x)6展開式中x2的系數(shù)為-2=30,故選C.答案C方法2二項式系數(shù)的和與各項的系數(shù)和1.“賦值法”普遍適用于恒等式,是一種重要的方法,對于形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,bR)的式子,求其展開式的各項系數(shù)之和,常用賦值法,只需令x=1即可;對于形如(ax+by)n(a,bR)的式子,求其展開式各項系數(shù)之和,只需令x=y=1即可.2.若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn,則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1),奇數(shù)項系數(shù)之和為a0+a2+a4+=,偶數(shù)項系數(shù)之和為a1+a3+a5+=.例2(2020屆山東濟南外國語學校9月月考,16)已知x(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a9(x-1)9,則a1+a2+a9=,a2=.解析令x=1,得a0=1,令x=2,得a0+a1+a2+a9=