16章二次根式知識點例題

1、第十六章二次根式知識點一、二次根式1.定義：一般地，我們把形如a(a0)的式子叫做二次根式，稱為二次根號，二次根號下的a叫做被開方數(shù)注意：(1)二次根號的定義是從形式上界定的，即必定含有二次根號“”(2)二次根式的被開方數(shù)能夠是一個數(shù)字，也能夠是一個代數(shù)式，但必定滿足被開方數(shù)大于等于0(3)根指數(shù)是2，這里的2能夠省略不寫(4)形如ba(a0)的式子也是二次根式，它表示b與a的乘積例題：1.以下各式中，必然是二次根式的是(1)327(2)9(3)3a2(4)x21(5)a22a1(6)2x1x1(7)a28a1622.以下各式中，必然是二次根式的是（）A.7B.x21（x為任意實數(shù)）C.m（m

2、為任意實數(shù)）D.33練習(xí)：1.以下各式中，必然是二次根式的是(1)33(2)4(3)x21(4)xy(x0,y0)(5)3a28(6)x26x122.以下各式中，必然是二次根式的是（）A.9B.x21（x為任意實數(shù)）C.m2（m為任意實數(shù)）D.35知識點二、二次根式有意義的條件1.從整體上描述：在二次根式a中，當(dāng)a0時，a有意義，當(dāng)a0時，a沒心義2.從詳盡的情況總結(jié)，以下：(1)單個二次根式如A有意義的條件：A0；A0(2)多個二次根式相加A+BN有意義的條件：B0；N0(3)二次根式作為分式的分母如B有意義的條件：A0；A(4)AA0二次根式作為分式的分子如有意義的條件：BB0第1頁例題：

3、1.當(dāng)x是怎樣的實數(shù)時，以下各式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義(1)3x1(2)1xx11(5)x21(6)x22x3(3)2(4)2x1xx12.函數(shù)yx1自變量的取值范圍是（）A.x1B.x1C.x0D.x03.若1有意義，則x的取值范圍是_x2練習(xí)：1.若式子x3在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）A.x3B.x3C.x3D.x32.以下四個式子中，x的取值范圍為x2的是（）A.2xB.x2C.1x2x2D.2x3.x2有意義的x的取值范圍是_x1知識點三、二次根式的性質(zhì)（重點，難點）性質(zhì)1：式子a(a0)擁有雙重非負(fù)性，它即表示二次根式，又表示非負(fù)數(shù)a的算式平方根，詳盡描述為：(1)a是非負(fù)數(shù)

4、，a的最小值是0；(2)a的被開方數(shù)a是非負(fù)數(shù)注意：幾個非負(fù)數(shù)的和為0時，這幾個非負(fù)數(shù)必定同時為0例題：1.(2015.外國語期末卷)若x2y10，則xy=_2.若x2(y1)20，則xy=_3.若x3z2(y1)20，則(xyz)2015=_y4.若y2xx25，求x的值_5.若xy32xy60，求x，y的值第2頁練習(xí)：1.(2015.銅盤中學(xué)期末卷)若x，y為實數(shù)，且y2x20,則(x)2015的值為_y2.若x3y22y10，則(xy)2=_3.已知a,b為實數(shù)，且a52102ab4，求a，b的值4.若a23a1b22b10，求a21b的值a2性質(zhì)2：(a)2a(a0)，即一個非負(fù)數(shù)的算

5、術(shù)平方根的平方等于它自己注意：不能夠忽略a02這一限制條件，以致近似44的錯誤性質(zhì)3：a2aa(a0)，即當(dāng)一個數(shù)為非負(fù)數(shù)時，它的平方的算術(shù)平方根等于它自己，記為a2a(a0)；a(a0)當(dāng)一個數(shù)為非負(fù)數(shù)時，它的平方的算術(shù)平方根等于它的相反數(shù)，記為2a(a0)a注意：不要認(rèn)為a必然是非負(fù)數(shù)，從而出現(xiàn)如(2)22的錯誤a2與(a)2的差異與聯(lián)系：表達式(a)2aa2a意義不相同(a)2表示非負(fù)數(shù)a的算式平方根的平方a2表示實數(shù)a2的算術(shù)平方根取值范圍不相同a0a為任意實數(shù)差異(a)2a(a0)a2a(a0)運算結(jié)果不相同a0)a(a運算序次不相同(a)2表示非負(fù)數(shù)a先開平方再作平方a2表示對實數(shù)

6、a先平方再開平方運算聯(lián)系a2與(a)2均為非負(fù)數(shù)，且當(dāng)a0時，a2(a)2例題：第3頁1.計算：3)2(2)(102)22)2114)2(1)(3)(3(4)(5322.計算：(1)(3)2(2)(3)2(3)(6)2(4)(3.14)2553.當(dāng)m3時，(m3)2_4.設(shè)三角形的三邊長為a，b，c，試化簡：(abc)2(abc)2(bac)2(cba)2練習(xí)：1.計算：(1)(3.4)2(2)(3.4)2(3)(3)2(4)(4)22.若2a3，則(2a)2(a3)2等于（）A.52aB.12aC.2a5D.2a13.已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的地址以下列圖，化簡：a2+b2(ab)24.已知a

7、為實數(shù)，求代數(shù)式a224aa2的值知識點四、二次根式的乘除第4頁1.二次根式的乘法法規(guī)：agbab(a0,b0)提示：(1)在設(shè)計二次根式運算時沒有特備說明，所有字母都表示正數(shù)；a,b能夠是數(shù)，也能夠是代數(shù)式，但必定是非負(fù)的實行：agbgcgdabcda0,b0,c0,d02.agbab的逆運用：abagb（a0,b0）例題：1.計算：(1)26(2)627(23)(3)(121)(196)(4)(13)(33)(5)3xyg8y3(6)7x3yg8y2.化簡：(1)9125224(2)33.(1)比較35與43的大小_，(2)比較55與63的大小_練習(xí)：1.計算：(1)(121)(196)(

8、2)(13)(33)(3)4x2y3g9y2(4)5x3yg9xy2.化簡：(1)16121(2)29633.比較65與46的大小_，(2)比較83與38的大小_3.分母有理化：把分母中的根號化去，叫做分母有理化。第5頁有理化因式：兩個含有二次根式的非零代數(shù)式相乘，若是它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個二次根式互為有理化因式。有理化因式確定方法以下：單項二次根式有理化因式兩項二次根式有理化因式aaababababababababmanbmanb分母有理化的方法與步驟：1）現(xiàn)將分子、分母化成最簡二次根式；2）將分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；3）最后結(jié)果必定化成最簡二次根

9、式或有理式。例題：11.化簡為（）abA.abB.abababC.bD.baa2.以下各式中正確的選項是（）12112C.1000105D.220A.B.50540602133.已知a=56，b=1，則a與b的大小關(guān)系式是ab.55.將以下各式分母有理化.(1)1(2)11(3)312a3b25285c2（4）32mn（mn）（5）（6）m31523n練習(xí)：第6頁1.已知a=31，則a與b的關(guān)系是（）2，b=32A.a=bB.ab=1C.a=-bD.ab=-12.滿足不等式44的整數(shù)共有（）個3x523A.4B.5C.6D.73.25的倒數(shù)是.4.設(shè)a7,b23,c1，則a、b、c從小到大的序

10、次是.325.將以下各式分母有理化.（1）2y2（2）2a0.224xyab（3）（4）0.5xy4.二次根式的除法法規(guī)aa：(a0,b0)bb提示：乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運算結(jié)果化為最簡二次根式例題：1.計算：(1)486(2)417(3)3a3b4ab2510練習(xí)：1.計算：(1)588(2)24(3)8a3b24a3b25154.最簡二次根式：(1)被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式；(2)被開方數(shù)中不含分母，小數(shù)；(3)分母中不含根式第7頁例題：1.以下二次根式中，是最簡二次根式的是（）A.0.2B.a2b2C.1D

11、.4ax2.(2014.華倫單元卷)把a1）根號外的因式搬動到根號內(nèi)的結(jié)果是（aA.aB.aC.aD.a3.24n是整數(shù)，則正整數(shù)n的最小值是（）A.4B.5C.6D.7練習(xí)：1.以下根式中不是最簡二次根式的是（）A.2B.6C.8D.102.以下各式中，屬于最簡二次根式的是（）A.x21B.xyC.12D.11x2a1）3.化簡二次根式aa2的結(jié)果是（A.a1B.a1C.a1D.a14.已知a0B.x0C.x0D.x02.(x2)22x，則x的取值范圍是（）A.x2B.x0C.xx2D.x25.整體化簡：先判斷根號有意義的取值范圍，再看整體正負(fù)值不變1.(2010?祁門縣校級模擬)使式子aa

12、）5成立的條件是（aa5A.a5B.a5C.0a5D.0a52.把(a1)中根號外的（a1）.1移入根號內(nèi)得（a1A.a1B.1aC.a1D.1ax2y2axbyc0：配方成平方和為0的形式1.已知x2y22x4y50，求xy的值第14頁2.已知a2a1b24b40，求a22abb2的值7.乘法公式的靈便運用1.若xab,yab，則xy的值為（）A.2aB.2bC.abD.ab2.若是yx32，那么yx的值等于（）xy2xyA.3B.57922C.D.223.(2010?祁門縣校級模擬)計算(23)2008(23)2009(2)0=12，求a2114.已知aa2的值.，求a的值aa5.已知x2

13、3x10，求x212的值x26.已知a1，b1，求a3bab3的值1212第15頁8.整數(shù)和小數(shù)1.星期天，張明的媽媽和張明做了一個小游戲，張明的媽媽說：“你現(xiàn)在學(xué)習(xí)了二次根式，若x表示10的整數(shù)部分，y表示它的小數(shù)部分，我這個紙包里的錢是(10 x)y元，你猜一猜這紙包里的錢是多少？若猜對了，這紙包里的錢全給你”請問他媽媽包里的錢是2.x、y分別為811的整數(shù)部分和小數(shù)部分，則2xyy23.(2011?涼山州)已知a、b為有理數(shù)，m、n分別表示57的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且amnbn21，則2a+b=9.其他1.(2014.英才單元卷)當(dāng)a=時，代數(shù)式2a11取值最小，最小值為2.(2015?

14、永州模擬)設(shè)m51，那么m1的整數(shù)部分是m3.(2014.十九中期末卷)模擬式子322的化簡方法：322122212，則式子526化簡的結(jié)果是4.若abab5，ab4，則ba5.若x2xx2x2320，求：21的值x2x36.觀察以下分母有理化的計算：121,132,1，從計算結(jié)果中23243143找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算：(11ggg1g2006+1）=132200622005第16頁7.(2013?黔西南州)閱讀資料：小明在學(xué)習(xí)二次根式后，發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子能夠?qū)懗闪硪粋€式子的平方，如322(12)2。善于思慮的小明進行了以下研究：設(shè)ab2(mn2)2（其中a、b、m、n均為整數(shù)），則有ab2m22n22mn2。am22n2，b2mn。這樣小明就找到了一種把近似ab2的式子化為平方式的方法請你模擬小明的方法研究并解決以下問題：（1）當(dāng)a、b、m、n均為正整數(shù)時，若ab3(mn3)2，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=；b=（2）利用所研究的結(jié)論，找一組正整數(shù)a、b、m、n填空：+