圓與方程知識(shí)點(diǎn)文檔

1、關(guān)于圓與方程的知識(shí)點(diǎn)整理一、標(biāo)準(zhǔn)方程x2y2r2ab1.a,b和半徑r求標(biāo)準(zhǔn)方程的方法要點(diǎn)是求出圓心待定系數(shù)：經(jīng)常已知圓上三點(diǎn)坐標(biāo)，比方教材P119例2利用平面幾何性質(zhì)經(jīng)常涉及到直線與圓的地址關(guān)系，特別是：相切和訂交相切：利用到圓心與切點(diǎn)的連線垂直直線訂交：利用到點(diǎn)到直線的距離公式及垂徑定理2.特別地址的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程想法（無(wú)需記，要點(diǎn)能理解）條件方程形式圓心在原點(diǎn)x2y2r2r0 x2y2a2b2a2b20過(guò)原點(diǎn)ab圓心在x軸上x(chóng)2y2r2r0a圓心在y軸上x(chóng)2y2r2r0b圓心在x軸上且過(guò)原點(diǎn)x2y2a2a0a圓心在y軸上且過(guò)原點(diǎn)x2y2b2b0b與x軸相切x2y2b2b0ab與y軸相切x2

2、y2a2a0ab與兩坐標(biāo)軸都相切x2y2a2ab0ab二、一般方程x2y2DxEyF0D2E24F01.Ax2By2CxyDxEyF0表示圓方程則AB0AB0C0C022D2E24AF0DE4F0AAA2.求圓的一般方程一般可采用待定系數(shù)法：如教材P例r4122D2E24F0?？捎脕?lái)求相關(guān)參數(shù)的范圍三、點(diǎn)與圓的地址關(guān)系d1.與半徑r的大小關(guān)系判斷方法：點(diǎn)到圓心的距離dr點(diǎn)在圓內(nèi)；dr點(diǎn)在圓上；dr點(diǎn)在圓外2.涉及最值：（1）圓外一點(diǎn)B，圓上一動(dòng)點(diǎn)P，談?wù)揚(yáng)B的最值PBminBNBCrPBmaxBMBCr（2）圓內(nèi)一點(diǎn)A，圓上一動(dòng)點(diǎn)P，談?wù)揚(yáng)A的最值PAminANrACPAmaxAMrAC思慮：

3、過(guò)此A點(diǎn)作最短的弦？（此弦垂直AC）四、直線與圓的地址關(guān)系1.判斷方法（d為圓心到直線的距離）（1）相離沒(méi)有公共點(diǎn)0dr（2）相切只有一個(gè)公共點(diǎn)0dr（3）訂交有兩個(gè)公共點(diǎn)0dr這一知識(shí)點(diǎn)可以出如此題型：告訴你直線與圓訂交讓你求相關(guān)參數(shù)的范圍.2.直線與圓相切1）知識(shí)要點(diǎn)基本圖形主要元素：切點(diǎn)坐標(biāo)、切線方程、切線長(zhǎng)等問(wèn)題：直線l與圓C相切意味著什么？圓心C到直線l的距離恰好等于半徑r（2）常有題型求過(guò)定點(diǎn)的切線方程切線條數(shù)點(diǎn)在圓外兩條；點(diǎn)在圓上一條；點(diǎn)在圓內(nèi)無(wú)求切線方程的方法及注意點(diǎn)i）點(diǎn)在圓外如定點(diǎn)Px0,y0 x2y222，圓：abr2，x0ay0br2第一步：設(shè)切線l方程yykxx00第

4、二步：經(jīng)過(guò)drk，從而獲取切線方程特別注意：以上解題步驟僅對(duì)k存在有效，當(dāng)k不存在時(shí)，應(yīng)補(bǔ)上千萬(wàn)不要漏了！如：過(guò)點(diǎn)P1,1作圓x2y24x6y120的切線，求切線方程.答案：3x4y10和x1ii）點(diǎn)在圓上1）若點(diǎn)x0，y0在圓x2y2r2上，則切線方程為x0 xy0yr2會(huì)在選擇題及填空題中運(yùn)用，但必然要看清題目.2）若點(diǎn)x0，y0在圓x22aybr2上，則切線方程為x0axay0bybr2碰到一般方程則可先將一般方程標(biāo)準(zhǔn)化，爾后運(yùn)用上述結(jié)果.由上述解析，我們知道：過(guò)必然點(diǎn)求某圓的切線方程，特別重要的第一步就是判斷點(diǎn)與圓的地址關(guān)系，得出切線的條數(shù).222AP22求切線長(zhǎng)：利用基本圖形，APC

5、PrCPr求切點(diǎn)坐標(biāo)：利用兩個(gè)關(guān)系列出兩個(gè)方程ACrkACkAP13.直線與圓訂交（1）求弦長(zhǎng)及弦長(zhǎng)的應(yīng)用問(wèn)題垂徑定理及勾股定理常用弦長(zhǎng)公式：l1k2x1x21k2x1x224x1x2（暫作認(rèn)識(shí)，無(wú)需掌握）（2）判斷直線與圓訂交的一種特別方法（一種巧合）：直線過(guò)定點(diǎn)，而定點(diǎn)恰幸好圓內(nèi).（3）關(guān)于點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題例：若圓x2y522上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x3y20的距離為1，則3r半徑r的取值范圍是_.答案：4,64.直線與圓相離會(huì)對(duì)直線與圓相離作出判斷（特別是涉及一些參數(shù)時(shí)）五、對(duì)稱問(wèn)題1.xym1x2mym0，關(guān)于直線xy10，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi).若圓222答案：3（注意：m1時(shí)，D2E24F0

6、，故舍去）變式：已知點(diǎn)A是圓C:x2y2ax4y50上任意一點(diǎn)，A點(diǎn)關(guān)于直線x2y10的對(duì)稱點(diǎn)在圓C上，則實(shí)數(shù)a_.2.圓x12y32y0對(duì)稱的曲線方程是_.1關(guān)于直線x變式：已知圓C1：x2y22y2421與圓C2：x241關(guān)于直線l對(duì)稱，則直線l的方程為_(kāi).3.圓x32y122,3對(duì)稱的曲線方程是_.1關(guān)于點(diǎn)4.已知直線l：yxb與圓C：x2y21，問(wèn)：可否存在實(shí)數(shù)b使自A3,3發(fā)出的光線被直線l反射后與圓C相切于點(diǎn)B24,7？若存在，求出b的值；若不存在，試說(shuō)明2525原由.六、最值問(wèn)題方法主要有三種：（1）數(shù)形結(jié)合；（2）代換；（3）參數(shù)方程1.x，y滿足方程x2y24x10，求：已知

7、實(shí)數(shù)1）y的最大值和最小值；看作斜率52）yx的最小值；截距（線性規(guī)劃）3）x2y2的最大值和最小值.兩點(diǎn)間的距離的平方2.已知AOB中，OB3，OA4，AB5，點(diǎn)P是AOB內(nèi)切圓上一點(diǎn)，求以PA，PB，PO為直徑的三個(gè)圓面積之和的最大值和最小值.數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！3.Px,y為圓xy11上的任一點(diǎn)，欲使不等式xyc0恒建立，則c的取設(shè)22值范圍是_.答案：c21（數(shù)形結(jié)合和參數(shù)方程兩種方法均可！）七、圓的參數(shù)方程x2y2r2r0 xrcos，為參數(shù)yrsinx2yb2r2r0 xarcosayb，為參數(shù)rsin八、相關(guān)應(yīng)用1.若直線mx2ny40（m，nR），向來(lái)均分圓x2y2

8、4x2y40的周長(zhǎng)，mn的取值范圍是_.2.已知圓C：x2y22x4y40，問(wèn)：可否存在斜率為1的直線l，使l被圓C截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，若存在，寫(xiě)出直線l的方程，若不存在，說(shuō)明理由.提示：x1x2y1y20或弦長(zhǎng)公式d1k2x1x2.答案：xy10或xy403.已知圓C：x32y21，點(diǎn)A0,1，B0,1，設(shè)P點(diǎn)是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，422，求d的最值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).dPAPB4.已知圓C：x2y221xm1y7m40（mR）125，直線l：2m（1）證明：不論m取什么值，直線l與圓C均有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）求其中弦長(zhǎng)最短的直線方程.5.若直線yxk與曲線x1y2恰有一個(gè)公共點(diǎn)，

9、則k的取值范圍.6.x2y2x6ym0與直線x2y30交于P，Q兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知圓問(wèn)：可否存在實(shí)數(shù)m，使OPOQ，若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明原由.九、圓與圓的地址關(guān)系1.判斷方法：幾何法（d為圓心距）（1）dr1r2外離（2）dr1r2外切（3）rr2drr訂交（4）drr2內(nèi)切1121（5）dr1r2內(nèi)含2.兩圓公共弦所在直線方程圓2222C1：111，圓C2：xyD2xE2yF20，xyDxEyF0則D1D2xE1E2yF1F20為兩訂交圓公共弦方程.補(bǔ)充說(shuō)明：若C1與C2相切，則表示其中一條公切線方程；若C1與C2相離，則表示連心線的中垂線方程.圓系問(wèn)題（1）過(guò)兩圓C1：

10、x2y2D1xE1yF10和C2：x2y2D2xE2yF20交點(diǎn)的圓系方程為x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20（1）說(shuō)明：1）上述圓系不包括C2；2）當(dāng)1時(shí)，表示過(guò)兩圓交點(diǎn)的直線方程（公共弦）（2）過(guò)直線AxByC0與圓x2y2DxEyF0交點(diǎn)的圓系方程為x2y2DxEyFAxByC03）相關(guān)圓系的簡(jiǎn)單應(yīng)用4）兩圓公切線的條數(shù)問(wèn)題相內(nèi)切時(shí)，有一條公切線；相外切時(shí)，有三條公切線；訂交時(shí)，有兩條公切線；相離時(shí)，有四條公切線十、軌跡方程1）定義法（圓的定義）：略2）直接法：經(jīng)過(guò)已知條件直接得出某種等量關(guān)系，利用這種等量關(guān)系，建立起動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式軌跡方程.例：過(guò)圓x2y21外一點(diǎn)A2

11、,0作圓的割線，求割線被圓截得的弦的中點(diǎn)的軌跡方程.2AP22解析：OPOA（3）相關(guān)點(diǎn)法（平移變換法）：一點(diǎn)隨另一點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)動(dòng)點(diǎn)主動(dòng)點(diǎn)特點(diǎn)為：主動(dòng)點(diǎn)必然在某一已知的方程所表示的（固定）軌跡上運(yùn)動(dòng).例1.如圖，已知定點(diǎn)A2,0，點(diǎn)Q是圓x2y21上的動(dòng)點(diǎn)，AOQ的均分線交AQ于M，當(dāng)Q點(diǎn)在圓上搬動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.解析：角均分線定理和定比分點(diǎn)公式.例2.已知圓O：x2y29，點(diǎn)A3,0，B、C是圓O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，A、B、C呈逆時(shí)針?lè)较蚺帕?，且BAC，求ABC的重心G的軌跡方程.3法1：QBAC，BC為定長(zhǎng)且等于333xxAxBxC3xBxC33設(shè)Gx,y，則yAyByCyByCy33取BC的中點(diǎn)為xE3,3，yE33,32442222yE9LL（1）QOECEOC，xE224xBxCx32xE3x3xExBxC2xE3xE22，yByCyByC2yE2yE3yyyE3yE2222故由（1）得：法2：（參數(shù)法）222422設(shè)B3cos,3sin，由BOC2BAC2，則3C3cos2,3sin233設(shè)Gx,y，則33cos3cos2xAxBxC321cosL1x33cos33sin3sin2yAyByC32sinsin2y33LL3,4，由112得：x1y2