微分方程模型-人口模型、傳染病模型課件

1、微分方程模型選講上海電力學(xué)院數(shù)理系微分方程模型介紹微分方程作為數(shù)學(xué)科學(xué)的中心學(xué)科，已經(jīng)有三百多年的發(fā)展歷史，其解法和理論已日臻完善，可以為分析和求得方程的解（或數(shù)值解）提供足夠的方法，使得微分方程模型具有極大的普遍性、有效性和非常豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)涵。微分方程模型介紹微分方程建模對于許多實際問題的解決是一種極有效的數(shù)學(xué)手段，對于現(xiàn)實世界的變化，人們關(guān)注的往往是其變化速度、加速度以及所處位置隨時間的發(fā)展規(guī)律，其規(guī)律一般可以用微分方程或方程組表示微分方程建模適用的領(lǐng)域比較廣，利用它可建立純數(shù)學(xué)（特別是幾何）模型，物理學(xué)（如動力學(xué)、電學(xué)、核物理學(xué)等）模型，航空航天（火箭、宇宙飛船技術(shù)）模型，考古（鑒定文物

2、年代）模型，微分方程模型介紹 交通（如電路信號，特別是紅綠燈亮的時間）模型，生態(tài)（人口、種群數(shù)量）模型，環(huán)境（污染）模型，資源利用（人力資源、水資源、礦藏資源、運輸調(diào)度、工業(yè)生產(chǎn)管理）模型，生物（遺傳問題、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)問題、動植物循環(huán)系統(tǒng)）模型，醫(yī)學(xué)（流行病、傳染病問題）模型，經(jīng)濟（商業(yè)銷售、財富分布、資本主義經(jīng)濟周期性危機）模型，戰(zhàn)爭（正規(guī)戰(zhàn)、游擊戰(zhàn)）模型等。其中的連續(xù)模型適用于常微分方程和偏微分方程及其方程組建模，離散模型適用于差分方程及其方程組建模。微分方程模型微分方程建模的對象 涉及“改變”、“變化”、“增加”、“減少”、“衰變”、“邊際”、“速度”、 “運動”、“追趕”、“逃跑”、等等詞

3、語的確定性連續(xù)問題。微分方程建模的基本手段 主要包括下面幾種方法，但是大家必須掌握元素法 背景 年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口(億) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增長概況中國人口增長概況 年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000人口(億) 3.0 4.7 6.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長 如何預(yù)報人口的增長指數(shù)增長模型馬爾薩斯提出 (1798)常用的計算公式x(t) 時刻t的人口基本假設(shè) : 人口(相對)增長率 r 是常數(shù)今年人口 x0

4、, 年增長率 rk年后人口隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長指數(shù)增長模型的應(yīng)用及局限性 與19世紀以前歐洲一些地區(qū)人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)吻合 適用于19世紀后遷往加拿大的歐洲移民后代 可用于短期人口增長預(yù)測 不符合19世紀后多數(shù)地區(qū)人口增長規(guī)律 不能預(yù)測較長期的人口增長過程19世紀后人口數(shù)據(jù)人口增長率r不是常數(shù)(逐漸下降)阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r固有增長率(x很小時)xm人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)dx/dtx0 xmxm/2xmtx0 x(t)S形曲線,

5、 x增加先快后慢x0 xm/2阻滯增長模型(Logistic模型)模型檢驗用模型計算2000年美國人口，與實際數(shù)據(jù)比較實際為281.4 (百萬)模型應(yīng)用預(yù)報美國2010年的人口加入2000年人口數(shù)據(jù)后重新估計模型參數(shù)阻滯增長模型(Logistic模型)r=0.2490, xm=434.0 x(2010)=306.0 -Logisitic模型調(diào)整 ，可使阻滯因子變大或縮小。更復(fù)雜的人口模型 Gompertz模型西北大學(xué)數(shù)學(xué)系- Logistic 模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中的應(yīng)用 動植物的生長規(guī)律 新產(chǎn)品的銷售 廣告的宣傳作用傳染病模型動態(tài)模型 描述對象特征隨時間(空間)的演變過程 分析對象特征的變化規(guī)律

6、預(yù)報對象特征的未來性態(tài) 研究控制對象特征的手段 根據(jù)函數(shù)及其變化率之間的關(guān)系確定函數(shù)微分方程建模 根據(jù)建模目的和問題分析作出簡化假設(shè) 按照內(nèi)在規(guī)律或用類比法建立微分方程傳染病模型問題 描述傳染病的傳播過程 分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律 預(yù)報傳染病高潮到來的時刻 預(yù)防傳染病蔓延的手段 按照傳播過程的一般規(guī)律，用機理分析方法建立模型 已感染人數(shù) (病人) i(t) 每個病人每天有效接觸(足以使人致病)人數(shù)為模型1假設(shè)若有效接觸的是病人，則不能使病人數(shù)增加必須區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?模型2區(qū)分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假設(shè)1）總?cè)藬?shù)N不變，病人和健康 人的 比例分別為 2

7、）每個病人每天有效接觸人數(shù)為, 且使接觸的健康人致病建模 日接觸率SI 模型模型3傳染病無免疫性病人治愈成為健康人，健康人可再次被感染增加假設(shè)SIS 模型3）病人每天治愈的比例為 日治愈率建模 日接觸率1/ 感染期 一個感染期內(nèi)每個病人的有效接觸人數(shù)，稱為接觸數(shù)。模型3i0i0接觸數(shù) =1 閾值感染期內(nèi)有效接觸感染的健康者人數(shù)不超過病人數(shù)1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01 10ti 11-1/i0t 1di/dt 1/ i(t)先升后降至0P2: s01/ i(t)單調(diào)降至01/ 閾值模型4SIR模型預(yù)防傳染病蔓延的手段 (日接觸率) 衛(wèi)生水平(日治愈率) 醫(yī)療水平傳染病不蔓延的條件s01/ 的估計 降低 s0提高 r0 提高閾值 1/ 降低 (=/) , 群體免疫模型4SIR模型被傳染人數(shù)的估計記被傳染人數(shù)比例xs0i0P1i0 0, s0 1 小, s0 1提高閾值1/降低被傳染人數(shù)比例 xs0 -