(完整)初二軸對稱圖形難題總結(jié),推薦文檔

1、P8CP8C初二軸對稱圖形難題總結(jié)如圖（a）,點A、B在直線I的同側(cè)，要在直線I上找一點C,使AC與BC的距離之和最小，我們可以作出點B關(guān)于I的對稱點B,連接AB與直線I交于點C,則點C即為所求.sAfB卞（B）Cc）（1）實踐運用：如圖（b）,已知，O0的直徑CD為4,點A在OO上，/ACD=30,B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為.（2）知識拓展：如圖（c）,在RtAABC中，AB=10,/BAC=45,/BAC的平分線交BC于點D,E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.2.（1）觀察發(fā)現(xiàn)如圖（1）:若點A、B在直線m同側(cè)，在

2、直線m上找一點P,使AP+BP的值最小，做法如下：作點B關(guān)于直線m的對稱點B,連接AB,與直線m的交點就是所求的點P,線段AB的長度即為AP+BP的最小值.DCO3C3）拓展延伸DCO3C3）拓展延伸圍（1）圉2）如圖（2）:在等邊三角形ABC中，AB=2,點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P,使BP+PE的值最小，做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為2）實踐運用如圖（3）:已知OO的直徑CD為2,配的度數(shù)為60。點B是AC的中點，在直徑CD上作出點P,使BP+AP的值最小，貝UBP+AP的值最小，則BP+

3、AP的最小值為如圖（4）:點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，分別在邊ABBC上作出點M，點N,使PM+PN+MN的值最小，保留作圖痕跡，不寫作法.如圖（1）,要在燃氣管道I上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短?你可以在I上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法他把管道I看成一條直線（圖（聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法他把管道I看成一條直線（圖（2），問題就轉(zhuǎn)化為，要在直線I上找一點P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的:作點B關(guān)于直線I的對稱點B.連接AB交直線I于點P,則點

4、P為所求.請你參考小華的做法解決下列問題如圖在ABC中，點D、E分別是ABAC邊的中點，BC=6,BC邊上的高為4,請你在BC邊上確定一點巳使厶PDE得周長最小.（1）在圖中作出點P（保留作圖痕跡，不寫作法）.（2）請直接寫出（2）請直接寫出PDE周長的最小值：4.（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點A,B在直線I同側(cè)，在直線I上找一點P,使AP+BP的值最小.做法如下：作點B關(guān)于直線I的對稱點B,連接AB，與直線I的交點就是所求的點P再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P,使BP+PE的值最小.做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，

5、連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為.（2）實踐運用：如（c）圖，已知O0的直徑CD為4,/AOD的度數(shù)為60點B是肛V的中點，在直徑CD上找一點P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P,使/APB=ZAPD保留作圖痕跡，不必寫出作法.MM5.幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線I同旁的兩個定點.問題：在直線I上確定一點P,使PA+PB的值最小.PA+PB=AB的值最小(不必證明).方法：作點A關(guān)于直線I的對稱點A,連接AB交I于點P,貝PA+PB=AB的值最小(不必證明).如圖B如圖B與

6、1,正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點，P是AC上一動點.連接BD,由正方形對稱性可知,D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于P,貝UPB+PE的最小值是;(2)如圖2,OO的半徑為2,點A、B、C在O0上，0A丄0B,/AOC=60,P是0B上一動點，求PA+PC的最小值;如圖3,/AOB=45,P是/AOB內(nèi)一點，PO=10,Q、R分別是OA、0B上的動點，求PQR周長的最小值.6.如圖，已知平面直角坐標系，A、B兩點的坐標分別為A(2,-3),B(4,-1).若P(p,0)是x軸上的一個動點，則當p=時，PAB的周長最短；若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個動點，則當a=時

7、，四邊形ABDC的周長最短；設M,N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這樣的點M(m,0)、N(0,n),使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出m=,n=(不必寫解答過程)；若不存在，請說明理由.7.需要在高速公路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到A,B兩個城市的距離之和最小，請作出機場的位置.3.2211(?1123456-131-/A公曙8.如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個新開發(fā)區(qū)A,B,已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角/AON=30；新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米.新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為；現(xiàn)要在MN上某點P處向新開發(fā)區(qū)A,B修兩條公路PA,PB,

8、使點P到新開發(fā)區(qū)A,B的距離之和最短.此時PA+PB=(千米).靄PA+PB=(千米).靄9如圖：若把圖中小人平移，使點A平移到點B,請你在圖中畫出平移后的小人；若圖中小人是一名游泳者B,但要使游泳的路程最短，試的位置，他要先游到岸邊I上點P處喝水后，再游到10.如圖，在直角坐標系中，等腰梯形ABB1A1的對稱軸為y軸.請畫出：點A、B關(guān)于原點0的對稱點A2、B2(應保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明)；連接A1A2、B1B2(其中A2、B2為中所畫的點)，試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B2;設線段AB兩端點的坐標分別為A(-2,4)、B(-4,2),連接中A2B2，試問在x軸上是否

9、存在點C,使厶A1B1C與厶A2B2C的周長之和最??？若存在，求出點C的坐標(不必說明周長之和最小的理由)；若不存在，請說明理由.1A廠B比X11某大型農(nóng)場擬在公路L旁修建一個農(nóng)產(chǎn)品儲藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進行儲藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟效益.請你在圖中標明加工廠所在的位置C,使A、B兩地到加工廠C的運輸路程之和最短.(要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明)12閱讀理解如圖1,ABC中，沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿/BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與

10、點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，/BAC是、ABC的好角.小麗展示了確定/BAC是厶ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角/BAC的平分線AB1折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3,沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合.探究發(fā)現(xiàn)ABC中，/B=2/C,經(jīng)過兩次折疊，/BAC是不是ABC的好角？(填是”或不是”).小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了/BAC是厶ABC的好角，請?zhí)骄?B與/C(不妨設/BZC)之間的等量關(guān)系根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊ZBAC是厶ABC的好角，則ZB與ZC(不妨

11、設ZBZC)之間的等量關(guān)系為應用提升小麗找到一個三角形，三個角分別為15。小麗找到一個三角形，三個角分別為15。60。105。發(fā)現(xiàn)60和105。的兩請你完成，如果一個三角形的最小角是4。試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的好角.sinZB二TsinZB二T5,點p從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時，點Q從點C出發(fā)沿線段S13.如圖，ABC中AB=AC,BC=6,AC的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相同，PQ與直線BC相交于點D.如圖，當點P為AB的中點時，求CD的長；如圖，過點P作直線BC的垂線垂足為E,當點P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持

12、不變的線段？請說明理由；14.(2012?東城區(qū)二模)已知：等邊ABC中，點0是邊AC,BC的垂直平分線的交點，M,N分別在直線AC,BC上,且ZM0N=6.如圖1,當CM=CN時，M、N分別在邊AC、BC上時，請寫出AM、CNMN三者之間的數(shù)量關(guān)系；如圖2,當C昨CN時，M、N分別在邊AC、BC上時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；若不成立，請說明理由；如圖3如圖3,當點M在邊AC上，點N在BCAM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系.的延長線上時，請直接寫出線段.V.V.V.V15如圖，線段CD垂直平分線段15如圖，線段CD垂直平分線段AB,CA的延長線交BD的延長線于E,CB

13、的延長線交AD的延長線于F,求證：DE=DF16.如圖，在ABC和厶DCB中，AB=DC,AC=DB,AC與DB交于點M.求證:ABbDCB;(2)點M在BC的垂直平分線上.17.如圖，ABC的邊BC的垂直平分線DE交厶BAC的外角平分線AD于D,E為垂足，DF丄AB于F,且ABAC,18.已知ABC的角平分線AP與邊BC的垂直平分線PM相交于點P,作PK丄AB,PL丄AC,垂足分別是K、L,19.某私營企業(yè)要修建一個加油站，如圖，其設計要求是，加油站到兩村19.某私營企業(yè)要修建一個加油站，如圖，其設計要求是，加油站到兩村A、B的距離必須相等，且到兩條公路n的距離也必須相等，那么加油站應修在什

14、么位置，在圖上標出它的位置.（要有作圖痕跡）n的距離也必須相等，那么加油站應修在什么位置，在圖上標出它的位置.（要有作圖痕跡）20.如圖，在ABC中，AB=AC,/A=120BC=9cm,AB的垂直平分線MN交BC于M,交AB于N,求BM的長.21.如圖，在ABC中，/BAC的平分線與BC的垂直平分線PQ相交于點P,過點P分別作PN丄AB于N,PM丄AC于點M,求證：BN=CM.22.如圖己知在22.如圖己知在ABC中，/C=90/B=15DE垂直平分AB,E為垂足交BC于D,BD=16cm,求AC長.參考答案與試題解析一.解答題（共22小題）1.（2013?日照）問題背景：B關(guān)于如圖（a）,

15、點A、B在直線I的同側(cè)，要在直線I上找一點C,使AC與BCB關(guān)于I的對稱點B,連接AB與直線I交于點C,則點C即為所求.(1)實踐運用:如圖(b),已知，OO的直徑CD為4,點A在OO上，/ACD=30,B為弧AD的中點，P為直徑CD上一動點，則BP+AP的最小值為2二.(2)知識拓展：如圖(c),在RtAABC中，AB=10,/BAC=45,/BAC的平分線交BC于點D,E、F分別是線段AD和AB上的動點，求BE+EF的最小值，并寫出解答過程.考點：軸對稱-最短路線問題.3113559分析：(1)找點A或點B關(guān)于CD的對稱點，再連接其中一點的對稱點和另一點，和MN的交點P就是所求作的位置根據(jù)

16、題意先求出/CAE再根據(jù)勾股定理求出AE,即可得出PA+PB的最小值；(2)首先在斜邊AC上截取AB=AB連結(jié)BB,再過點B作BLAB,垂足為F,交AD于E,連結(jié)BE,則線段解答：解：作點B關(guān)于CD的對稱點E,連接AE交CD于點P此時PA+PB最小，且等于AE.作直徑AC,連接C.根據(jù)垂徑定理得弧BD=OA=-,AE的長就是BP+AP的最小值.故答案為-?。?3)拓展延伸如圖(4)點評：本題考查了圓的綜合題：弧、弦和圓心角之間的關(guān)系以及圓周角定理在有關(guān)圓的幾何證明中經(jīng)常用到，同時熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)以及軸對稱-最短路徑問題.(2012?涼山州)在學習軸對稱的時候，老師讓同學們思考課本中的探

17、究題.如圖(1),要在燃氣管道I上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短?你可以在I上找?guī)讉€點試一試，能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？B聰明的小華通過獨立思考，很快得出了解決這個問題的正確辦法他把管道為，要I看成一條直線(圖(2),問題就轉(zhuǎn)化在直線I上找一點P,使AP與BP的和最小.他的做法是這樣的：作點B關(guān)于直線I的對稱點B.連接AB交直線I于點P,則點P為所求.請你參考小華的做法解決下列問題如圖在ABC中，點D、E分別是ABAC邊的中點，BC=6,BC邊上的高為4,請你在BC邊上確定一點巳使厶PDE得周長最小.在圖中作出點P(保留作圖痕跡，不寫作法).請直接寫出P

18、DE周長的最小值：8./X/、萬、考點：軸對稱-最短路線問題.3113559專題：壓軸題.分析：根據(jù)提供材料DE不變，只要求出DP+PE的最小值即可，作D點關(guān)于BC的對稱點D,連接DE與BC交于點P,P點即為所求；(2)利用中位線性質(zhì)以及勾股定理得出D啲值，即可得出答案.解答：解：作D點關(guān)于BC的對稱點D,連接DE與BC交于點P,P點即為所求；(2)點D、E分別是ABAC邊的中點，DEABC中位線,/BC=6,BC邊上的高為4,DE=3,DD=4DE=f=；*=5,PDE周長的最小值為：DE+DE=3+5=8點評:故答案為：&此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及三角形中位線的知識，根據(jù)已知得

19、出要求值，求出PDE點評:故答案為：&此題主要考查了利用軸對稱求最短路徑以及三角形中位線的知識，根據(jù)已知得出要求值，求出PDE周長的最小DP+PE的最小值即可是解題關(guān)鍵.4.（2010?淮安）（1）觀察發(fā)現(xiàn)：如（a）圖，若點A,B在直線I同側(cè)，在直線I上找一點P,使AP+BP的值最小.做法如下：作點B關(guān)于直線I的對稱點B,連接AB，與直線I的交點就是所求的點P再如（b）圖，在等邊三角形ABC中，AB=2，點E是AB的中點，AD是高，在AD上找一點P,使BP+PE的值最小.做法如下：作點B關(guān)于AD的對稱點，恰好與點C重合，連接CE交AD于一點，則這點就是所求的點P,故BP+PE的最小值為（2）實

20、踐運用：如（c）圖，已知OO的直徑CD為4,/AOD的度數(shù)為60如（c）圖，已知OO的直徑CD為4,/AOD的度數(shù)為60點B是AD的中點，在直徑CD上找一點P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.（3）拓展延伸：如（d）圖，在四邊形ABCD的對角線AC上找一點P,使/APB=ZAPD.保留作圖痕跡，不必寫出作法.P2）考占：P八、分析：BDC一BI尹IfFj軸對稱-最短路線問題.3113559（1）首先由等邊三角形的性質(zhì)知,CE1AB，在直角厶BCE中，/BEC=90BC=2BE=1，由勾股定理可解答:求出CE的長度，從而得出結(jié)果;（2）要在直徑CD上找一點P,使PA+PB的值最小，

21、設A是A關(guān)于CD的對稱點，連接A,與CD的交點即為點P.此時PA+PB=AB是最小值，可證OAB是等腰直角三角形，從而得出結(jié)果.（3）畫點B關(guān)于AC的對稱點B,延長DB交AC于點P.則點P即為所求.解：（1）BP+PE的最小值二八L=；作點A關(guān)于CD的對稱點&連接AB交CD于點P,連接OA,AA,OB.點A與A關(guān)于CD對稱，/AOD的度數(shù)為60/A,OD=AOD=60:PA=PA,點B是丨的中點，/BOD=30,。/A，OB=A，OD+BOD=90“/OO的直徑CD為4OA=OA，=2A，B=2：.PA+PB=PA，+PB=A廠.B=2如圖d:首先過點B作BB丄AC于O且OB=OB,連接DB并

22、延長交AC于P.（由AC是BB的垂直平分線，可得/APB=ZAPD）.點評:此題主要考查軸對稱一最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求點評:此題主要考查軸對稱一最短路線問題，解決此類問題，一般都是運用軸對稱的性質(zhì)，將求折線問題轉(zhuǎn)化為求線段問題，其說明最短的依據(jù)是三角形兩邊之和大于第三邊.5.（2009?漳州）幾何模型：條件：如下圖，A、B是直線I同旁的兩個定點.圖1圈2f1Q*問題：在直線1上確定一點P,使PA+PB的值最小.方法：作點A關(guān)于直線1的對稱點A,連接A交1于點P,貝UPA+PB=AB的值最?。ú槐刈C明）.模型應用：(1)如圖1正方形ABCD的邊

23、長為2E為AB的中點，P是AC上一動點.連接BD,由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱.連接ED交AC于P,貝UPB+PE的最小值是；（2）如圖2OO的半徑為2點A、B、C在OO上，OA丄OB/AOC=60P是OB上一動點，求PA+PC的最小值；如圖3/AOB=45P是/AOB內(nèi)一點，PO=10,Q、R分別是OA、OB上的動點，求PQR周長的最小值.考點軸對稱-最短路線問題.3113559專題壓軸題；動點型.分析由題意易得PB+PE=PD+PE=DE在厶ADE中，根據(jù)勾股定理求得即可；（2）作A關(guān)于OB的對稱點A。連接AC交OB于P,求A啲長，即是PA+PC的最小值;作出點P關(guān)于直線OA

24、的對稱點M,關(guān)于直線0B的對稱點N,連接MN,它分別與OA,OB的交點Q、R,這時三角形PEF的周長-MN,只要求MN的長就行了.解答：解：(1)四邊形ABCD是正方形，AC垂直平分BD,PB-PD,由題意易得：PB+PE-PD+PE-D,在厶ADE中，根據(jù)勾股定理得，DE-T(2)作A關(guān)于0B的對稱點A,連接AC交0B于P,PA+PC的最小值即為A啲長，/AOC-60/AOC-120作0D丄AC于D,則/AOD-60OA-OA-2AD-；I：；分別作點P關(guān)于OA、OB的對稱點M、N,連接0M、ON、MN,MN交OAOB于點Q、R,連接PR、PQ,此時PQR周長的最小值等于MN.由軸對稱性質(zhì)可

25、得，OM=ON=OP=1O,/MOA=ZPOA,/NOB=ZPOB,/MON=2/AOB=2X4590；在RtAMON中，MN=用il：=10:-：-即厶PQR周長的最小值等于10圖12廚衛(wèi)點評：此題綜合性較強，主要考查有關(guān)軸對稱一最短路線的問題，綜合應用了正方形、圓、等腰直角三角形的有關(guān)知識.(2006?湖州)如圖，已知平面直角坐標系，A、B兩點的坐標分別為A(2,-3),B(4,-1).若P(p,0)是x軸上的一個動點，則當p=2時，PAB的周長最短；若C(a,0),D(a+3,0)是x軸上的兩個動點，則當a=時，四邊形ABDC的周長最短；設M,N分別為x軸和y軸上的動點，請問：是否存在這

26、樣的點M(m,0)、N(0,n),使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請求出m=工,n=-：；(不必寫解答過程)；若不存在，請說明理由.55考點：軸對稱-最短路線問題；坐標與圖形性質(zhì).3113559專題：壓軸題.分析：(1)根據(jù)題意，設出并找到B(4,-1)關(guān)于x軸的對稱點是B,其坐標為(4,1),進而可得直線AB的解析式，進而可得答案；的線段最短，n=-(2)過A點作AE丄x軸于點E,且延長AE，取AE=AE做點F(1,-1)，連接AF.利用兩點間可知四邊形ABDC的周長最短等于AF+CD+AB從而確定C的線段最短，n=-(3)根據(jù)對稱軸的性質(zhì)，可得存在使四邊形ABMN周長最短的點M、N,當

27、且僅當m=2,時成立.解答:解：(1)設點B(4,-1)關(guān)于x軸的對稱點是B,其坐標為(4,1),解答:設直線AB的解析式為y=kx+b.把A(2,-3),B(4,1)代入得：業(yè)十21fh=2y=2x-7,y=2x-7,0令y=i得x=-即p=:A(2,(2)過A點作AE丄x軸于點E,且延長AE,取AE=AE做點F(1,-1),連接A(2,3).-1)CK直線AF的解析式為丄，即y=4x-5,TC點的坐標為(a,0),且在直線AF上,5a=(3)存在使四邊形ABMN周長最短的點M、N,作A關(guān)于y軸的對稱點A,作B關(guān)于x軸的對稱點B,連接AB與x軸、y軸的交點即為點M、NA(-2,-3),B(4

28、,1),2衛(wèi)直線A的解析式為：y=x-，S5M(2,0),N(0,-烏m=,n=考查圖形的軸對稱在實際中的運用，同時考查了根據(jù)兩點坐標求直線解析式，運用解析式求直線與坐標軸的交點等知識.考占P八、專題考查圖形的軸對稱在實際中的運用，同時考查了根據(jù)兩點坐標求直線解析式，運用解析式求直線與坐標軸的交點等知識.考占P八、專題分析解答點評:（2007?慶陽）需要在高速公路旁邊修建一個飛機場，使飛機場到A,B兩個城市的距離之和最小，請作出機場的位置5.公跖軸對稱-最短路線問題.3113559作圖題.利用軸對稱圖形的性質(zhì)可作點A關(guān)于公路的對稱點4連接A,與公路的交點就是點P的位置.點評:本題主要是利用軸對

29、稱圖形來求最短的距離.用到的知識：兩點之間線段最短.點評:（2006?貴港）如圖所示，在一筆直的公路MN的同一旁有兩個新開發(fā)區(qū)A,B,已知AB=10千米，直線AB與公路MN的夾角/AON=30,新開發(fā)區(qū)B到公路MN的距離BC=3千米.（1）新開發(fā)區(qū)A到公路MN的距離為8;（2）現(xiàn)要在MN上某點P處向新開發(fā)區(qū)A,B修兩條公路PA,PB,使點P到新開發(fā)區(qū)A,B的距離之和最短.此時PA+PB=14（千米）.考占：P八、專題：分析：軸對稱-最短路線問題.3113559計算題；壓軸題.(1)先求出0B的長，從而得出0A的長，再根據(jù)三角函數(shù)求得到公路的距離.根據(jù)切線的性質(zhì)得EF=CD=BC=3AF=AE+

30、EF=AE+BC=1,再根據(jù)余弦概念求解.解答：解：(1)/BC=3,/AOC=30,0B=6.過點A作AE丄MN于點E,A0=AB+0B=16AE=8.即新開發(fā)區(qū)A到公路的距離為8千米；過D作DF丄AE的延長線（點D是點B關(guān)于MN的對稱點），垂足為F.貝UEF=CD=BC=3AF=AE+EF=AE+BC=1,1過B作BG丄AE于G,BG=DF,/BG=AB?cos30-=5Q二麻護*D嚴二JiWMT豆二“19二14連接PB,貝UPB=PD,PA+PB=PA+PD=AD=1（千米）-1.：點評N巨co點評此題主要考查學生利用軸對稱的性質(zhì)來綜合解三角形的能力.9.(2006?巴中)如圖：若把圖中

31、小人平移，使點A平移到點B,請你在圖中畫出平移后的小人；若圖中小人是一名游泳者的位置，他要先游到岸邊I上點P處喝水后，再游到B,但要使游泳的路程最短，試在圖中畫出點P的位置.考占：P八、軸對稱-最短路線問題；作圖-軸對稱變換；作圖-平移變換.3113559專題：作圖題.分析：根據(jù)平移的規(guī)律找到點B,再利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短的性質(zhì)，找到點A的對稱點,解答：連接A1B與I相交于點P,即為所求.點評：本題考查的是平移變換與最短線路問題.1!If1!If-i*-r-齊*-i最短線路問題一般是利用軸對稱的性質(zhì)解題，通過作軸對稱圖形，利用軸對稱的性質(zhì)和兩點之間線段最短可求出所求的點.作平移圖形

32、時，找關(guān)鍵點的對應點也是關(guān)鍵的一步平移作圖的一般步驟為：確定平移的方向和距離，先確定一組對應點；確定圖形中的關(guān)鍵點；利用第一組對應點和平移的性質(zhì)確定圖中所有關(guān)鍵點的對應點；按原圖形順序依次連接對應點，所得到的圖形即為平移后的圖形.10.（2003?泉州）如圖，在直角坐標系中，等腰梯形ABB1A1的對稱軸為y軸.（1）請畫出：點A、B關(guān)于原點O的對稱點A2、B2（應保留畫圖痕跡，不必寫畫法，也不必證明）；（2）連接A1A2、B1B2（其中A2、B2為（1）中所畫的點），試證明：x軸垂直平分線段A1A2、B1B2；（3）設線段AB兩端點的坐標分別為A（-2,4）、B（-4,2）,連接（1）中A2B

33、2，試問在x軸上是否存在點C,A1B1C與厶A2B2C的周長之和最小？若存在，求出點C的坐標（不必說明周長之和最小的理由）；若不存在，請說明理由.考點：作圖-軸對稱變換；線段垂直平分線的性質(zhì)；軸對稱-最短路線問題.3113559專題：作圖題；證明題；壓軸題；探究型.分析：(1)根據(jù)中心對稱的方法，找點A2,B2,連接即可.(2)設A(xl,y1)、B(x2,y2)依題意與(1)可得A1(-x1,y1),B1(-x2,y2),A2(-x1,-y1),B2(-x2,-y2),得到A1、B1關(guān)于x軸的對稱點是A2、B2，所以x軸垂直平分線段A1A2、B1B2.(3)根據(jù)A1與A2,B1與B2均關(guān)于x

34、軸對稱，連接A2B1交x軸于C,點C為所求的點.根據(jù)題意得B1(4,2),A2(2,-4)設直線A2B1的解析式為y=kx+b則利用待定系數(shù)法解得I，所以可求直線A2B1的解析式101022為y=3x-10.令y=0,得x=3，所以C的坐標為(3,0).即點C,0)能使A1B1C與厶A2B2C的周長之和最小.解答：解:(1)如圖，A2、B2為所求的點.(2)設A(x1,y1)、B(x2,y2)依題意與(1)可得A1(-x1,y1),B1(-x2,y2),A2(-x1,-y1),B2(-x2,-y2)A1、B1關(guān)于x軸的對稱點是A2、B2,x軸垂直平分線段A1A2、B1B2.(3)存在符合題意的

35、C點.由(2)知A1與A2,B1與B2均關(guān)于x軸對稱，連接A2B1交x軸于C,點C為所求的點.TA(-2,4),B(-4,2)依題意及(1)得：B1(4,2),A2(2,-4).r4kAb=2設直線A2B1的解析式為y=kx+b則有樂+b二T解得(b二-1直線A2B1的解析式為y=3x-10,10令y=0,得x=,C的坐標為（：；，0）點評:主要考查了軸對稱的作圖和性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì).要知道對稱軸垂直平分對應點的連線.點評:主要考查了軸對稱的作圖和性質(zhì)，以及垂直平分線的性質(zhì).要知道對稱軸垂直平分對應點的連線.會考占P考占P八、專題分析解答點評:根據(jù)此性質(zhì)求得對應點利用待定系數(shù)法解一次函

36、數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵.11.（2001?宜昌）某大型農(nóng)場擬在公路L旁修建一個農(nóng)產(chǎn)品儲藏、加工廠，將該農(nóng)場兩個規(guī)模相同的水果生產(chǎn)基地A、B的水果集中進行儲藏和技術(shù)加工，以提高經(jīng)濟效益請你在圖中標明加工廠所在的位置C,使A、B兩地到加工廠C的運輸路程之和最短.（要求：用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）B-軸對稱-最短路線問題.3113559作圖題.作A關(guān)于直線L的對稱點E,連接BE交直線L于C,則C為所求.如圖：E本題主要考查對軸對稱-最短路線的問題的理解和掌握，根據(jù)題意正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵,12.（2012?淮安）閱讀理解如圖1,ABC中，沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部

37、分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿/BnAnC的平分線AnBn+1折疊，點Bn與點C重合，無論折疊多少次，只要最后一次恰好重合，/BAC是厶ABC的好角.小麗展示了確定/BAC是厶ABC的好角的兩種情形.情形一：如圖2,沿等腰三角形ABC頂角/BAC的平分線AB1折疊，點B與點C重合；情形二：如圖3,沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合.探究發(fā)現(xiàn)（1）ABC中，/B=2/C,經(jīng)過兩次折疊，/BAC是不是BAC是不是ABC的好角？是（填是”或不是”）BAC是不是BAC是不是ABC的

38、好角？是（填是”或不是”）（2）小麗經(jīng)過三次折疊發(fā)現(xiàn)了/BAC是厶ABC的好角，請?zhí)骄?B與/C（不妨設/BZC）之間的等量關(guān)系根據(jù)以上內(nèi)容猜想：若經(jīng)過n次折疊/BAC是厶ABC的好角，貝B與/C（不妨設/BZC）之間的等量關(guān)系為/B=n/C應用提升（3）小麗找到一個三角形，三個角分別為1560105發(fā)現(xiàn)60和105的兩個角都是此三角形的好角.請你完成，如果一個三角形的最小角是4試求出三角形另外兩個角的度數(shù)，使該三角形的三個角均是此三角形的考點：翻折變換（折疊問題）3113559專題：壓軸題；規(guī)律型.分析：（1）在小麗展示的情形二中，如圖3，根據(jù)根據(jù)三角形的外角定理、折疊的性質(zhì)推知/B=2/C

39、;（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)、根據(jù)三角形的外角定理知/A1A2B2=/C+/A2B2C=2ZC;根據(jù)四邊形的外角定理知/BAC+2ZB-2C=180，根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知/BAC+/B+/C=180。由可以求得/B=3/C;利用數(shù)學歸納法，根據(jù)小麗展示的三種情形得出結(jié)論：/B=n/C;（3）利用（2）的結(jié)論知/B=n/C,/BAC是厶ABC的好角，/C=n/A,/ABC是厶ABC的好角，/A=n/B,/BCA是厶ABC的好角；然后三角形內(nèi)角和定理可以求得另外兩個角的度數(shù)可以是4、172;&168;16、160;44、132;8888解答：解：（1）ABC中，/B=2/C,經(jīng)過兩次折疊，/B

40、AC是厶ABC的好角；理由如下：小麗展示的情形二中，如圖3,沿/BAC的平分線AB1折疊，/B=/AA1B1;又將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，此時點B1與點C重合，/A1B1C=/C;/AA1B1=/C+/A1B1C（外角定理），/B=2/C,/BAC是厶ABC的好角.故答案是：是；（2）/B=3/C;如圖所示，在ABC中，沿/BAC的平分線AB1折疊，剪掉重復部分；將余下部分沿/B1A1C的平分線A1B2折疊，剪掉重復部分，將余下部分沿/B2A2C的平分線A2B3折疊，點B2與點C重合，貝I/BAC是厶ABC的好角.證明如下：根據(jù)折疊的性質(zhì)知，/B=/AA1B1,/C=/A2

41、B2C,/A1B1C=/A1A2B2,根據(jù)三角形的外角定理知，/A1A2B2=/C+/A2B2C=2ZC;根據(jù)四邊形的外角定理知，/BAC+/B+/AA1B1-/A1B1C=/BAC+2/B-2/C=180,根據(jù)三角形ABC的內(nèi)角和定理知，/BAC+/B+/C=180,/B=3/C;由小麗展示的情形一知，當/B=/C時，/BAC是厶ABC的好角；由小麗展示的情形二知，當/B=2/C時，/BAC是厶ABC的好角；由小麗展示的情形三知，當/B=3/C時，/BAC是厶ABC的好角；故若經(jīng)過n次折疊/BAC是厶ABC的好角，貝B與/C（不妨設/B/C）之間的等量關(guān)系為/B=n/C;由(2)知設/A=4

42、,/C是好角，/B=4n;/ZA是好角，/C=mZB=4mn其中m、n為正整數(shù)得4+4n+4mn=180如果一個三角形的最小角是4。三角形另外兩個角的度數(shù)是4、172;8、168;16、160;44、132;8888點評：本題考查了翻折變換(折疊問題)以及折疊解答此題時，充分利用了三角形內(nèi)角和定理、三角形外角定理的性質(zhì).難度較大.13.(2013?青羊區(qū)一模)如圖，ABC中AB=AC,BC=6,，點P從點B出發(fā)沿射線BA移動，同時，點QPQ從點C出發(fā)沿線段AC的延長線移動，已知點P、Q移動的速度相與直線BC相交于點D.同，(1)如圖，當點P為AB的中點時，求CD的長；(2)如圖，過點P作直線B

43、C的垂線垂足為E,當點P、Q在移動的過程中，線段BE、DE、CD中是否存在長度保持不變的線段？請說明理由;考占P八、專題分析等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).幾何綜合題55壓軸題；分類討論.(1)過點P的線段？請說明理由;考占P八、專題分析等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì).幾何綜合題55壓軸題；分類討論.(1)過點P做PF平行與AQ，由平行我們得出一對同位角和一對內(nèi)錯角的相等，再由等邊對等角得角B和角ACB的相等，根據(jù)等量代換的角B和角PFB的相等，根據(jù)等角對等邊得又因點P和點B=AC,根據(jù)同時出發(fā)，且速度相同即BP=CQ等量代換得PF=CQ在加上對等角的相等，BP=PF11證

44、得DF=CD=CF,而又因P是AB解答:三角形PFD和三角形QCD的全等，根據(jù)全等三角形的對應邊邊相等得出的中點，PFAQ得出F是BC的中點，進而根據(jù)已知的BC的長，求出CF,即可得出分兩種情況討論，第一種情況點P在線段AB上，根據(jù)等腰三角形的三線合一得EF+FPBE+DC士工3一吉氏一一問的全等可知DF=CD所以ED=P在BA的延長線上，作PM平行于AC交BC的延長線于等于角ACB,而角ACB等于角ABC,根據(jù)等量代換得到角等于PB,根據(jù)三線合一，得到BE等于EM,同理可得厶PMD全等于厶QCD,得到CD等于DM，根據(jù)DE等于EM減DM,把EM換為BC加CM的一半，化簡后得到值為定值.解：(

45、1)如圖，過P點作PF/AC交BC于F,點P和點Q同時出發(fā)，且速度相同，BP=CQCD的長.BE=EF再又第，得出線段DE的長為定值；M,根據(jù)兩直線平行，同位角相等推出角PMBABC等于角PMB，根據(jù)等角對等邊得到PM第二種情況,/PF/AQ,ZPFB=ZACB,ZDPF=ZCQD,又AB=AC,ZB=ZACB,/B=ZPFB,BP二PFPF=CQ又/PDF=ZQDC,證得PMAqcd,DF=CD=CF,又因P是AB的中點，PF/iF是BC的中點，即FC=：BC=3,丄3CD=CF=s(2)分兩種情況討論，得ED為定值，是不變的線段如圖，如果點P在線段AB上,過點P作PF/AC交BC于F,PB

46、F為等腰三角形，PB=PF,BE=EFPF=CQFD=DC,餌十FD二BE十DC二吉亡龍ED=-,ED為定值，同理，如圖，若P在BA的延長線上又AB=AC,/B=ZACB,/B=ZPMC,PM=PB,根據(jù)三線合一得BE=EM,同理可得厶PMDaAQCD,所以CD=DM,BE=EM-DM二號號DN=3+D1I-DN=3CDAD綜上所述，線段ED的長度保持不變.點評:此題考查了等腰三角形的性質(zhì),題.點評:此題考查了等腰三角形的性質(zhì),題.全等三角形的判斷與性質(zhì)，考查了分類討論的數(shù)學思想，是一道綜合（1）如圖1,當CM=CN時，M、n分別在邊AC、（2）如圖2,當C昨CN時，M、N分別在邊AC、若不成

47、立，請說明理由；BC（1）如圖1,當CM=CN時，M、n分別在邊AC、（2）如圖2,當C昨CN時，M、N分別在邊AC、若不成立，請說明理由；BC上時，請寫出AM、CNMN三者之間的數(shù)量關(guān)系;BC上時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請你加以證明；（3）如圖3,當點M在邊AC上，點N在BC的延長線上時，請直接寫出線段AM、CN、MN三者之間的數(shù)量關(guān)系.考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).3113559分析：（1分析：（1）在AM上截取AN=CN連接ON,OC,OA，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和線段垂直平分線得出/OCN=ZOAN=30OC=OA證厶OCMOAN推出ON=ON，/CON=

48、ZAON，求出/NOM=/MON,根據(jù)SASffWMON也厶MON，推出MN=MN，即可求出答案;（2）結(jié)論還成立，證明過程與（1）類似;(3)結(jié)論是MN=CN+AM,延長CA到N,使AN=CN連接OC,OA,ON,證厶OCWAOAN推出ON=ON,/CON=ZAON,/CON=ZAON,求出/NOM=/MON，根據(jù)SASffiAMON解答：MON，推出MN=MN，即可求出答案;解：(1)MN=AM-CN,理由是：在AM上截取AN=CN連接ON,OC,OA,/O是邊AC和BC垂直平分線的交點，ABC是等邊三角形,OC=OAO也是等邊三角形三個角的平分線交點，1/OCA=ZOAB=ZOCN=x6

49、=30/AOC=18030-30120/NCO=/OAN,在OCN和厶OAN中r0C=0AZNCOZOAN八AN=CK二OCXOAN(SAS,-ON=QNZCON=ZAON；/COA=12O,/NOM=60/CON+ZCOM=60ZAONZCOM=60即ZNOM=ZNOM在厶NOM和厶NO中ON二ONZ0H=ZN7ONOM=ONI%NOMNOMMN=MN,/MN=AMAN=AMICN,MN=AMCN.(2(2)MN=AM-CN,證明：理由是：在AM上截取AN=CN連接ON,OC,OA,/O是邊AC和BC垂直平分線的交點，ABC是等邊三角形OC=OA由三線合一定理得：ZOCB=OCAZOAC=3

50、0,ZAOC=180-30。-30=120,ZOCN=ZOAN=3在厶OCN和厶OAN中0C=0AZNC0=ZOANAN=CKOCNAAOAN(SAS,ON=ON,/CON=ZAON/NON=COA=120,又/MON=60,/MON=/MON=60在NOM和八NO中ON二ONJZW0J1=ZN7onOM=OM,NOMNO,MN=MN,/MN=AMAN=AMICN,MN=AM-CN.解：MN=CN+AM,理由是：延長CA到N,使AN=CN連接OC,OA,ON,/O是邊AC和BC垂直平分線的交點，ABC是等邊三角形，OC=OA由三線合一定理得：/OCA=ZOAB=30,/AOC=180-30。-

51、30=120；/OCN=ZOAN；在厶OCN和厶OAN中OA=OCZOCIAZOANCN二ANOCNAAOAN（SAS,ON=ONZCON=ZAON/COA=120,/NOM=60/CON+ZAOM=60ZAONZAOM=60即ZNOM=ZNOM在厶NOM和厶NO中N=CT卩ZN0JI=ZONIOM=ON,NOMNOMMN=MN,/MN=AM+AN=AM+CNMN=AM+CN.點評：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定，主要考查學生的推理能力和猜想能力，題目具有一定的代表性，證明過程類似.15.（2012?潮陽區(qū)模擬）如圖，線段CD垂直平分線段AB,CA的延長線交BD的延長線于E

52、,CB的延長線交AD的延長線于F,求證：DE=DF考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).3113559專題：證明題.分析：根據(jù)線段垂直平分線得出AC=BCBD=AD,推出/CBE=/。人巳證厶BCE八ACF,推出BE=AF,即可得出答案.解答：證明:線段CD垂直平分AB,AC=BC,AD=BD,/CAB=ZCBA,/BAD=ZABD,/CAB+ZBAD=ZCBA+/ABD,即/CBE=ZCAF,在厶BCE和厶ACF中fZBCE=ZACFJBC=AZCBE二ZCA,BCEAACF(ASA),BE=AF,/BD=AD,BE-BD=AF-AD,即DE=DF.點評：本題考查了等腰三角形的

53、性質(zhì)和判定，線段垂直平分線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的綜合運用.16.如圖，在ABC和厶DCB中，AB=DC,AC=DB,AC與DB交于點M.求證：ABCDCB;(2)點M在BC的垂直平分線上.考點：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).3113559專題：證明題.分析：(1)由已知和BC=BC根據(jù)SSS即可推出兩三角形全等；由全等得出/DBC=ZACB,推出MB=MC，根據(jù)線段垂直平分線定理得出即可.解答：(1)證明：在厶ABC和厶DCB中AB二DCtBC二BCABC八DCB（SSS.證明：由（1）知：ABCADCB,/ACB=ZDBC,MB=MC,點M在BC的垂直平分線上

54、.點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定和線段垂直平分線定理的應用，關(guān)鍵是推出ABCaADCB,題目比較好，難度適中.17.如圖，ABC的邊BC的垂直平分線DE交厶BAC的外角平分線AD于D,E為垂足，DF丄AB于F,且ABAC,求證：BF-AC+AE考點：專題：分析：全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì).3113559證明題.過D作DN丄AC,垂足為N,連接DB、DC,推出DN=DF,DB=DC根據(jù)HL證RtADBLRtADCN,推出BF=CN根據(jù)HL證RtADF胳RtADNA,推出AN=AF即可.解答：MD3LD3L證明：過D作DN丄AC,垂足為N,連接DB、DC,則DN=DF(角平分線性質(zhì))，DB=DC(線段垂直平分線性質(zhì))，又DF丄AB,DN丄AC,/DFB=ZDNC=90在RtADBF和Rt