控制工程第二章-控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)模型

1、第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)模型基本要求1.掌握拉氏變換、拉氏反變換的定義、定理。2.了解數(shù)學(xué)模型的基本概念。能夠運(yùn)用動(dòng)力學(xué)、電學(xué)及專業(yè)知識，列 寫機(jī)械系統(tǒng)、電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的微分方程。3.掌握傳遞函數(shù)的概念、特點(diǎn)，會求傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)。4.掌握各個(gè)典型環(huán)節(jié)的特點(diǎn)，傳遞函數(shù)的基本形式及相關(guān)參數(shù)的物理 意義。掌握閉環(huán)系統(tǒng)中前向通道傳遞函數(shù)、開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)的定義及求法。掌握干擾作用下，系統(tǒng)傳遞函數(shù)的求法和特點(diǎn)。了解傳遞函數(shù)框圖的組成及意義；能夠根據(jù)系統(tǒng)的微分方程，繪制系統(tǒng)傳遞函數(shù)框圖，并實(shí)現(xiàn)簡化，從而求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。7.了解相似原理的概念。本章重點(diǎn)1.拉氏變換定理。2.列寫系統(tǒng)的微

2、分方程。3.傳遞函數(shù)的概念、特點(diǎn)及求法。4.典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。5.系統(tǒng)的方框圖及其化簡。本章難點(diǎn)1.列寫系統(tǒng)微分方程。2.系統(tǒng)的方框圖及其化簡。拉普拉斯(Laplace)變換js0js0F (s)L(t) f (t)estdtf(t)：原函數(shù)（實(shí)域、時(shí)間域） F(s)：象函數(shù)（s 域、復(fù)數(shù)域）s：復(fù)變量，s=+je st : 拉氏算子2.基本函數(shù)的拉氏變換 ( t ( t)xi ( t)序號原函數(shù) f (t)象函數(shù)F(s)1單位脈沖函數(shù) (t)12單位階躍函數(shù) 1(t)1 s3K常數(shù)ks4t 單位斜坡函數(shù)1s25t nn!sn16e at 1 s a7sints 2 28costss 2 2

3、u ( t)eu ( t)e-at1sint0tsint0kkkr ( t )r ( t )cost0cost0拉氏變換的主要性質(zhì)1.線性性質(zhì)設(shè)Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)，k1，k2為常數(shù)，則f1(t)k2f2 (t)f1 (t)k2f2 (t) (s) k2 (s)2.微分性質(zhì)若Lf(t)=F(s)，且f(0)=0，（初始條件為零）則df (t)sF(s)dt3.積分定理若Lf(t)=F(s)，且初始條件為零，則Lf(t)dt1 F (s)s4.平移定理若Lf(t)=F(s 則L ef (t)dt F(sa)5.初值定理若Lf(t)=F(s)，則f (0t0f (t)

4、 lims F(s)s6.終值定理若Lf(t)=F(s)，則有f () tf (t) lim sF(s)s07.延遲定理若Lf(t)=F(s)，對任一正實(shí)數(shù)a，則有Lfta) f a)est easF(s)拉氏變換的主要性質(zhì)1.線性性質(zhì)設(shè)Lf1(t)=F1(s)，Lf2(t)=F2(s)，k1，k2為常數(shù)，則f1(t)k2f2 (t)f1 (t)k2f2 (t) (s) k2 (s)2.微分性質(zhì)若Lf(t)=F(s)，且f(0)=0，（初始條件為零）則df (t)sF(s)dt3.積分定理若Lf(t)=F(s)，且初始條件為零，則Lf(t)dt1 F (s)s4.平移定理若Lf(t)=F(s

5、則L ef (t)dt F(sa)5.初值定理若Lf(t)=F(s)，則f (0t0f (t) lims F(s)s6.終值定理若Lf(t)=F(s)，則有f () tf (t) lim sF(s)s07.延遲定理若Lf(t)=F(s)，對任一正實(shí)數(shù)a，則有Lfta) f a)est easF(s)拉氏反變換定義:f(t)=L-1F(s),將象函數(shù)變換成原函數(shù)s：復(fù)變量F(s)：象函數(shù)（s域、復(fù)數(shù)域）f(t)：原函數(shù)（實(shí)域、時(shí)間域）系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型就是描述系統(tǒng)的輸出、輸入與系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu)與參數(shù)之間的數(shù)學(xué)表達(dá)式。微分方程建立數(shù)學(xué)模型的方法有： 理論分析（解析法試驗(yàn)的方法獲取線性系統(tǒng)與非線性系

6、統(tǒng)(1)系統(tǒng)微分方程的規(guī)范化形式如下：non1ax(n)(t) non1x(n1) (t) a (t) a (t)o1o0obx(m)(t)bx(m1)(t)b o1o0o(t) b x (t)mim1nm1i0ioij或oijj0 x(j)(t) bii 0 x(i)(t)若系數(shù)ai,bi是常數(shù)，則方程是線性定常的，相應(yīng)的系統(tǒng)也稱為線性定常系統(tǒng)，若系數(shù)是時(shí)間的函數(shù)， 則該方程為線性時(shí)變的，相應(yīng)的系統(tǒng)也稱為線性時(shí)變系統(tǒng)。（2）線性系統(tǒng)性質(zhì)線性系統(tǒng)的一個(gè)最重要的特性就是滿足疊加原理。系統(tǒng)t)系統(tǒng)系統(tǒng)xi2(t)系統(tǒng)t) a2xi2(t)t)2(t)t)+a22(t)非線性系統(tǒng)飽和非線性非線性系統(tǒng)

7、的線性化具有本質(zhì)非線性特性的系統(tǒng)：忽略非線性因素或用非線性理論去處理。非本質(zhì)非線性特性的系統(tǒng):切線法，或稱微小偏法處理。機(jī)械/電氣系統(tǒng)微分方程1機(jī)械系統(tǒng)任何機(jī)械系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型都可以應(yīng)用牛頓定律來建立。都可以使用質(zhì)量、彈性和阻尼三個(gè)要素來描述。y(t)銑刀 工件iitfi(t)動(dòng)力滑臺f (t)1）機(jī)械平移系統(tǒng)工作臺 kx ff外力；x位移； m質(zhì)量；c粘性阻力系數(shù)； k彈簧剛度2）機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)BJ k J TT扭轉(zhuǎn)力；轉(zhuǎn)角；J轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；BJ回轉(zhuǎn)粘性阻力系數(shù)； kJ扭轉(zhuǎn)彈簧剛度例1 寫出下圖機(jī)械系統(tǒng)的微分方程y(t)kcy(t)kcmky(t)cy(t)f(t)mf(t)外力；y(t)位移；k彈

8、簧剛度；c粘性阻力系數(shù)；m質(zhì)量m解： maf (t) ky(t)t)my(t)my(t)t)ky(t) f (t)慣性力+阻尼力+彈簧力=外力2電氣系統(tǒng)電阻、電感和電容器是電路中的三個(gè)基本元件。通常利用基爾霍夫定律來建立電氣系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型?；鶢柣舴螂娏鞫桑?i(t) 0ALR(t)o(t)o Rii(t)C (t)u iR RuiRRRuL L dtiL 1LuL dtuc 1 idt Cic dui1dt1例2R1LR1L1L2u(t)i ( t)1Ci2(t)uc(t)解：u(t) (t)dtuc(t)(1)uc (t) 1di2 (t)dti2(2)uc (t)C -i2 (3)列寫系

9、統(tǒng)微分方程的步驟：(1)分析系統(tǒng)工作原理和系統(tǒng)中各變量間的關(guān)系，確定系統(tǒng)的輸出 量與輸入量；(2)從系統(tǒng)的輸入端開始，依據(jù)物理學(xué)定律，依次列寫組成系統(tǒng)各 元件的動(dòng)力學(xué)方程，其中要考慮相鄰兩元件間的負(fù)載效應(yīng)；(3)將各方程式中的中間變量消去，求出描述輸入量和輸出量之間 關(guān)系的微分方程，并將與輸入有關(guān)的各項(xiàng)放在方程右邊，與輸 出有關(guān)的各項(xiàng)放在方程左邊，各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按降冪排列，即得系 統(tǒng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式；(4)在列寫元件的微分方程或求出系統(tǒng)的微分方程時(shí)，對非線性項(xiàng) 應(yīng)加以線性化。傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為：當(dāng)全部初始條件為零時(shí)，輸出量xo(t)的拉氏變換Xo(s)與輸入量xi

10、(t)的拉氏變換Xi(s)之比叫做系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)。表示 為：G(s) X o(s)G(s)X i(G(s)Xi (s)Xo(s)傳遞函數(shù)的求法1.解析法(1)根據(jù)定義求取設(shè)線性定常系統(tǒng)輸入為xi(t)，輸出為xo(t)， 描述系統(tǒng)的微分方程的一般形式為 :n1oa xo(n)(t)a n1o(t) a (t) bx (m)(t)b (t) b(t)0omi1i0i式中，nm ；an，bm均為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)所決定的定常數(shù)（n，0omi1i0im=0、1、2、3）。m如果變量及其各階導(dǎo)數(shù)初值為零（初始條件為零），取等式兩 邊拉氏變換后得:mn(an sn an1sn1 s )Xo( bm s

11、 bm 1s m 1 b1 s b ) i ( s )1根據(jù)傳遞函數(shù)的定義，即得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)為:1G(s) Lxo (t) Lxi (t)Xo(s)Xi (s)（2）傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)G(s)是以復(fù)變數(shù)s作為自變量的函數(shù)經(jīng)因子分解 后，G(s)可以寫成如下一般形式：G(s) l(s z1 )(s z2 )(s zm )l為常數(shù)(s p1)(s p2 )(s pn )s 點(diǎn)。z j (j=1，2，m)時(shí)，均能使G(s) 0 ，故稱為 G(s)的零s (i1，2，n)時(shí)，均能使G(s)的分母為0，G(s)取極值，limG(s)=(i=1，2，n)sG(s)的極點(diǎn)2.實(shí)驗(yàn)法p

12、i ，稱pi (i=1，2，n)為例試寫出具有下述微分方程式的傳遞函數(shù)。d 3 y5 dt 3d22 dt2dt2 6dt7x解：取拉氏變換并求商得G(s) Y (s) 6s 7X (s)5s3 2s2 s 2傳遞函數(shù)的性質(zhì)1.傳遞函數(shù)是通過輸入和輸出之間的關(guān)系來描述系統(tǒng)本身特性的，而 系統(tǒng)本身特性與輸入量無關(guān)；2.傳遞函數(shù)不表明所描述系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)，不同的物理系統(tǒng)，只要它 們動(dòng)態(tài)特性相同，就可用同一傳遞函數(shù)來描述。這樣的系統(tǒng)稱為相 似系統(tǒng)；3.傳遞函數(shù)可以是有量綱的，也可以是無量綱的；傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理分式。傳遞函數(shù)多項(xiàng)式分子中s的階數(shù)m 小于分母中s的階數(shù)n,mn。傳遞函數(shù)分母多項(xiàng)式

13、中s的最高冪數(shù)代表了系統(tǒng)的階數(shù)，如s的最高冪數(shù)為n則該系統(tǒng)為n階系統(tǒng)。2.42.4典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)1.比例環(huán)節(jié)微分方程： xo (t) Kxi (t)G(s) KXi(s)s)K齒輪傳動(dòng)副例1圖示為齒輪傳動(dòng)副，xi、xo分別為輸入、輸出軸的轉(zhuǎn)速z2為齒輪齒數(shù)。求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解： xo z2此方程經(jīng)Laplace變換后得傳遞函數(shù)為：G(s) Xo (s) Xi(s)z2K為齒輪傳動(dòng)比，也就是齒輪傳動(dòng)副的放大系數(shù)或增益。2.慣性環(huán)節(jié) KxiG(s) Xo(s)Xi(s) K Ts1式中，T為時(shí)間常數(shù)，K質(zhì)量阻尼彈簧環(huán)節(jié)例2 圖示為質(zhì)量阻尼彈簧環(huán)節(jié),求略去質(zhì)量 m 影響時(shí)，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解：系

14、統(tǒng)微分方程為：o kxi此方程經(jīng)LaplaceT為慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)。G(s) Xo(s) k1Xi(s)cskTs 13.微分環(huán)節(jié)xo (t) (t)G(s) X0 (s)Xi (s)(s)Xo(s)Ts式中T為微分時(shí)間常數(shù)。Ts4.積分環(huán)節(jié) T(t)dt傳遞函數(shù)：G(s) Xo (s) 1Xi (s)Ts(s)Xo(s)1Ts式中T為積分時(shí)間常數(shù)。1Ts5.振蕩環(huán)節(jié)oT2ot)1(t) xo (t) xi (t)2 22nT 2 s 2 s 2 2 s nnn式中n 為阻尼比。例3 圖示為質(zhì)量阻尼彈簧環(huán)節(jié)，求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。質(zhì)量阻尼彈簧環(huán)節(jié)解：d2x mdt2cdt)ms2X(S) csX

15、(s) kX(s) kX (s)ooooooG(s) X o (s)1X i (s)ms 2 cs k2nnnnG(s)nn km2mk km2mks2 2s 2例4 如圖所示為電感L、電阻R與電容C的串、并聯(lián)線路，ui為輸入，uo 為輸出，求系統(tǒng)傳遞函數(shù)。解：電路的動(dòng)力學(xué)方程為：1ui 1uouo RiRCdt將后兩式代入前一式，得：iLiRui LRo uoG(s) Uo (s)Ui (s)LCs221L s 1Rnn或：G(s)nnn式中：n s2 2s 21LC1L21LC1L2RC6. 延時(shí)環(huán)節(jié)延時(shí)環(huán)節(jié)是輸出滯后輸入時(shí)間，但不失真地反映輸入的環(huán)節(jié)其微分方程為：xo (t) xi (t

16、)式中，為延遲時(shí)間。傳遞函數(shù)：Lx(t)Lx(tX (s)essG(s)oLxi (t)iLxi (t)i Xi (s)8種典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)如下：（1）比例環(huán)節(jié):（2）（3）G(s) KG(s) TsG(s) T s 1（4）二階微分環(huán)節(jié):（5）積分環(huán)節(jié):G(s)T2s2G(s) 1ss1,(0 1)（6）慣性環(huán)節(jié):G(s) 1(Ts 1) 2nnG(s)nnn（7）振蕩環(huán)節(jié):s2 2 s 2（8）延遲環(huán)節(jié):G(s) es系統(tǒng)的方框圖及其聯(lián)接G1(S) GG1(S) G2(S)Xi(s)Xi(s)X(s)X o(s)G2(S)G1(S)XX o(s)G(s) Xo (s) Xo (s)X(s

17、)12 G (s)G12(s)Xi (s)X(s)Xi (s)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是各串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積:G(s)i(s)ni 1n2.并聯(lián)2.并聯(lián)G2(sG2(s)G1(s)X1(s)+ XoX1(s)+ Xo(s)X2(s) +G(s)=G1(G(s)=G1(s)+G2(s)G(s) Xo (s) X1 (s)X2 (s) X1 (s) X 2 (s) 2(s)2Xi (s)X(s)Xi (s)Xi (s)1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是各并聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之和:1nG(s)i(s)ni13.反饋聯(lián)接3.反饋聯(lián)接EE(s)G(s)Xi(s)Xo(s)1GsHssGsB(sB(s)H(s)G(s) Xo (

18、s)E(s)H (s) B(s) Xo (s)開環(huán)傳遞函數(shù)Gk (s)G(s)H(s)B(s)E(s)Xo (s)G (s) BBXo (s) Xo (s)E(s)G(s)Xi (s)E(s) B(s)1B(s)E(s)1 G(s)H(s)(5)單位反饋G(sG(s)G(s) Xo (s) G(s)Xo(s)Xi(6)負(fù)反饋與正反饋(s)1G(s)+-負(fù)反饋：反饋信號減弱輸入信號，使誤差信號減?。籊(s)G(s)1G(s)正反饋：反饋信號加強(qiáng)輸入信號，使誤差信號增大。G(s)G(s)1G(s)G2( G2( s)G1( s)Xi ( s) +-N ( s)+Xo ( s)HH( s)在輸入量X

19、i(s)的作用下可把干擾量N(s)看作為零，系統(tǒng)的輸出為XR(s)，則X (s) (s)(s) G1(s)G2(s)X (s)RR1G (s)(s)H(s)i12在干擾量N(s)作用下可把輸入量Xi(s)看作為零，系統(tǒng)的輸出為XN(s)，則X(s) (s)N (s)G2 (s)N (s)NN3)系統(tǒng)總的輸出量：1G1(s)H(s)X (s) X(s) X(s) G2 (s)(s) (s) N (s)oR1 G (s) G (s)H(s)1i若G1 (s)G2 (s)H (s) 112X N (s) N (s)負(fù)反饋能有效的抑制被反饋回路所包圍的干擾。1.分支點(diǎn)G(sG(s)XG(s)G(s)1

20、X2G(s)G(s)前移X3 (X2 )G(s)G(s)后移X3 ()X3X2)X1G(s)X2GX1G(s)X2G(s)12.相加點(diǎn)X1 +(X1 +(-)X2+X3(-)G ( s)G ( s)G( s)后移XG( s)X2+X3(-)X+X3(-)X2G( s)X1 + (-) 1G(s)G(s)前移X23.梅遜公式若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件： (1)整個(gè)方框圖只有一條前向通道； (2)各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框GB (s) XoXi(s)(s)前向通道的傳遞函數(shù)之積1 + 每一反饋回路的開環(huán)傳遞函數(shù)之積括號內(nèi)每一項(xiàng)的符號是這樣決定的：在相加點(diǎn)處，對反饋信號為

21、 相加時(shí)取負(fù)號，對反饋信號為相減時(shí)取正號。4.方框圖的簡化步驟若方框圖中僅有多個(gè)無交叉回路，則按照先里后外的原則，逐個(gè)簡化，直至簡化成一個(gè)方框的形式。若方框圖中有交叉的連接，用如下的 方法:1)若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件，可以運(yùn)用梅遜公 式化簡:條件1，整個(gè)系統(tǒng)方框圖中只有一條前向通道；條件2，各局部反饋回路間存在公共的傳遞函數(shù)方框。2)若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖不同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件，則可通過相加 點(diǎn)、分支點(diǎn)的前后移動(dòng)等法則，將系統(tǒng)傳遞函數(shù)方框圖化為同時(shí)滿 足以上兩個(gè)條件的形式，然后應(yīng)用梅遜公式即可。若系統(tǒng)的傳遞函數(shù)方框圖不同時(shí)滿足以上兩個(gè)條件，可通過相加點(diǎn)、分支點(diǎn)的前后移動(dòng)等法則，將交叉消除，簡化成無交叉的多回路形式。然后由里到外進(jìn)行變換直至變換成一個(gè)單一回路或一個(gè)方框的形式，最后寫出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。例化簡下圖的方框圖Xi (s) +GH2-GBGXo(s)分析特點(diǎn)：(1)反饋與相加；(2)兩反饋交錯(cuò)，交聯(lián)。+-+B (s)1+23AH1簡化方法：分支點(diǎn)前移，使AB，可移動(dòng)一個(gè)支路，也可移兩個(gè)支路；G3G21+ G2G3G21+ G2G3H2G1H2 i (s)+ (s) +