機(jī)械工程測試技術(shù)2.2信號(hào)分析基礎(chǔ)

1、華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院第二章、信號(hào)分析基礎(chǔ)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院周期信號(hào)及其頻譜任何科學(xué)理論,科學(xué)方法的建立都是經(jīng)過多人不懈的努力而來的,其中有爭論,還有人為之獻(xiàn)出了生命。們,要 想 在 科學(xué)的領(lǐng)域有所建樹，必須傾心盡力為之奮斗。今天我們將要學(xué)習(xí)的傅立葉分析法，也經(jīng)歷了曲折漫長的發(fā)展過程，剛剛發(fā)布這一理論時(shí)，有人反對，也有人認(rèn)為不可思議。但在今天，這一分析方法在許多領(lǐng)域已發(fā)揮了巨大的作用。2.2周期信號(hào)及其頻譜2.2周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院傅里葉生平華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院176818301768年生于法國1807拉格朗日反對發(fā)表1822的分析理論”1829個(gè)給出收斂條件華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)

2、院傅里葉的兩個(gè)最重要的貢獻(xiàn)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院信號(hào)頻域分析是采用傅立葉變換將時(shí)域信號(hào)x(t) 變換為頻域信號(hào)X(f)，從而幫助人們從另一個(gè)角度來了解信號(hào)的特征。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院X(t)= sin(2nft)傅里葉變換0t0f華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院信號(hào)頻譜X(f)代表了信號(hào)在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時(shí)域信號(hào)波形更直觀，豐富的信華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院信號(hào)頻譜X(f)代表了信號(hào)在不同頻率分量成分的大小，能夠提供比時(shí)域信號(hào)波形更直觀，豐富的信幅值息。時(shí)域分析頻域分析2.2 周期信號(hào)及其頻譜2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院圖例：受噪聲干擾的多

3、頻率成分信號(hào)圖例：受噪聲干擾的多頻率成分信號(hào)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院大型空氣壓縮機(jī)傳動(dòng)裝置故障診斷華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜時(shí)域和頻域的對應(yīng)關(guān)系華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院131Hz明確。明確。165Hz175Hz華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院傅立葉級數(shù)與周期信號(hào)的分解周期信號(hào)是經(jīng)過一定時(shí)間可以重復(fù)出現(xiàn)的信號(hào)，滿足條件：x (t)=x ( t + nT)在有限區(qū)間上，凡滿足狄利赫利條件的周期信號(hào)，都可以展開成傅立葉級數(shù)（正交函數(shù)線性組合的無窮級數(shù)，如三角函

4、數(shù)集的傅里葉級數(shù)）:cosn0t,sinn0t2.2周期信號(hào)及其頻譜2.2周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院狄利赫利條件：華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院.在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)間斷點(diǎn)；tTtftdt 一般周期信號(hào)都滿足這些條件.華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院1，傅里葉級數(shù)的三角展開式：華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院t)0 acotb nt2n直流0n0分量基波分量n =1變形為：諧波分量n1t)0A cost 2n0ax (t) 02n An .n0 n )華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院式中:華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院直流分量a0 1TTan TT2T / 2T /2T / 2T /T /2x(t)dt;x(t)cosn0tdt;正弦分

5、量的幅度 bn T T/x(t)n0tdt;a22n;a22narctg n;an;aT 周 期 ， T=2/0； 0f0= 0 /2華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院12.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院1tsinnt 是一個(gè)完備的正交函數(shù)集11由積分可知T2cosn1tnm1 dt 02 T2TT2cosntcosmt m nT12120,m nTT2TT1tsinm1tT 2m n2m n華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院幅度頻率特性和相位頻率特性周期信號(hào)可分解為直流，基波（）和各次諧波（n1: 基波角頻率的整數(shù)倍） 的線性組合。 n 關(guān)系曲線稱為幅度頻譜圖；關(guān)系

6、曲線稱為相位頻譜圖。可畫出頻譜圖。周期信號(hào)頻譜具有離散性、諧波性、收斂性 。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院各分量的頻移.Ann )n11n112.2周期信號(hào)及其頻譜2.2周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院歐拉公式復(fù)平面上的一個(gè)單位圓上的點(diǎn)，與實(shí)軸夾角為時(shí)，此點(diǎn)可表示為cos jsin歐拉公式j(luò)Im歐拉公式1esinej11cos1ej cos jsinej 1e是自然對數(shù)的底，此式稱為歐拉(Euler)公式。e可以用計(jì)算方法定義為e lim11 n 2.71828nn華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院由泰勒級數(shù)展開華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院歐拉公式與三角函數(shù)的關(guān)系

7、246357cos1246sin 357同樣若ej 展開，可得到ej 1 2!3!44!2 6 3 5 7 124357 cos jsincos eje2sin ejej2j華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院根據(jù)歐拉公式，傅立葉級數(shù)也可寫成復(fù)指數(shù)形式：x(t) Cnenjn0t,(n 0,1,2,.)Fjn0tnCF1T /x(t)e jn0t dtn0T/20的線性組合。如給出F(n1)，則f惟一確定ejn1t華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院1兩種系數(shù)之間的關(guān)系及頻譜圖1Cn F(n0)TT / 2T /xt)ej0tdt利用歐拉

8、公式1T /2TT /x(t)cosn0tdtjTT / 2T /x(t)sinn0tdt 112n1 Cn F(n0) TT / 2T /x(t) cosn0tdt j1T1T / 2T /x(t)sinn0tdt 12njbn 華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院F(n0 F(n0 是復(fù)數(shù)Cn FF(n0)jnan1n1Cnan1n1Fn0F(n0)jnCnCn 2 b2 2 引入了負(fù)頻率變量，沒有物理意義，只是數(shù)學(xué)推導(dǎo)；An是實(shí)函數(shù)，Cn一般是復(fù)函數(shù)，當(dāng)Cn是實(shí)函數(shù)時(shí)，可用An的正負(fù)表示0和相位幅度譜和相位譜合一；華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華

9、中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院11幅頻特性和相頻特性11幅頻特性Cn F (n0 ) 22 b2 2 相頻特性 bn annnarctanannan華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院cn頻譜圖幅值頻譜c1ccn c或0c3離散譜譜線Cn曲線O1n31相位頻譜 n 曲線O131華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院總結(jié)周期信號(hào)f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式兩種頻譜圖的關(guān)系周期信號(hào)的頻譜是離散譜，三個(gè)性質(zhì)引入負(fù)頻率華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院1n周期信號(hào)f(t)的傅里葉級數(shù)有兩種形式1n三角形式f (t) a0an n111c

10、osn tbsinn t =c0cn n1cos(n1t n )指數(shù)形式f (t) F(n1nejn1t華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院(2)兩種頻譜圖的關(guān)系 ，n 單邊頻譜1C1 ，n 雙邊頻譜Cn2 0C0 A0 a0|CnCn |或F (n0 ) F(n0 )相位頻譜為奇函數(shù)nn或(n0 )(n0 )華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院(3)三個(gè)性質(zhì)1收斂性：n ,Fn1諧波性：（離散性），頻率只出現(xiàn)在n1處惟一性：f (t的譜線唯一注意：沖激函數(shù)序列的頻譜不滿足收斂性(4)引入負(fù)頻率對于雙邊頻譜，負(fù)頻率(n1)，只有數(shù)學(xué)意義，

11、而無物理意義。為什么引入負(fù)頻率?f 是實(shí)函數(shù)，分解成虛指數(shù)，必須有共軛對ejn1和jn，才能保證(t的實(shí)函數(shù)的性質(zhì)不變。2.2周期信號(hào)及其頻譜2.2周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院實(shí)驗(yàn)：方波信號(hào)的合成與分解華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院n1/3/5華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院實(shí)驗(yàn)：手機(jī)和弦鈴聲的合成華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院實(shí)驗(yàn)：雙音頻DTMF信令模擬實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院周期信號(hào)的頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院工程上習(xí)慣將計(jì)算結(jié)果用圖形方式表示，以fn ( 0)為橫坐標(biāo)，bn 、an為縱坐標(biāo)畫圖，稱為實(shí)頻虛頻譜圖。圖例圖例華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院以fn為橫坐標(biāo)，An、幅值相位

12、譜；華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院n 為縱坐標(biāo)畫圖，則稱為華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院以fA 華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院為縱坐標(biāo)畫圖，則稱為nn功率譜。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院求周期鋸齒波的三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)展開式。華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院f (t)A T1TT1t11t122 f tA/2T1Aa0 21 t d t 0212122an 121 2 T11t cos n1td t 1 T121A 11bn 112 2 T1tn1tdt(1)nn1n 1,2,3周期鋸齒波的傅里葉級數(shù)展開式為f0A sin tA1sin21t 直流基波諧波2.2 周期信號(hào)及其頻譜2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院已知f(t1s

13、in1t2cos1t華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院cos21t 4 請畫出其幅度譜和相位譜?；癁橛嘞倚问絝 (t) 151sin t2cost cost 15114 15 t 0.15) cost 114三角函數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的譜數(shù)三角函數(shù)形式的頻譜圖c0 10 0ccnc1c02.24c2n0.25 5 2.2361 0.151O11211Oc2 1 20.25 0.15華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院f (t 11 e1t2jej1t化為指數(shù)形式21 2t 2jnt eeeeej1tej1te2 14 e14 f (t)111 11 1111 1ej4j21t1j

14、4 e j21t2 j22j22 F (n1n2) ejn1t1指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)的系數(shù)1F (0) F1 j0.15 j4112j1F21 2 e1j441F112j 1.12eF1 2 e華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院譜線華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院 F (0) 10 0F1 F(11 0.15 F(11 0.15F2 F(21 20.25F2 F(21 0.25指數(shù)形式的頻譜圖1nFn 1n0.51.12 11O10.5210.1510.25121 0.25 0.15華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院三角形式與指數(shù)形式的頻譜圖對比三角函數(shù)形式的頻譜圖ccnc1c012.24

15、c21n0.251O121O21指數(shù)形式的頻譜圖 0.151nFn 1n0.51.12 11O10.521 210.1510.25121 0.25 0.15華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2.2 周期信號(hào)及其頻譜1三角形式的譜系數(shù)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院周期方波信號(hào)的頻譜f (t)EO2t1f1bn 0,只有a0 , ana0 TT12f(t)dt =TT2Edt ET1 1 T 2121an T2f ()cos()d t =T2E cos(nt )dt12121 2Ensin(n T1) 2Esinn ) T1華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院2指數(shù)形式的譜系數(shù)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院jn1t1Cn T11f ()edt111=2=T22Eejn1tjn1tdt T12e jn1t212112 E jn1T1e jn1 2 ejn1 2 2Esinn n T1211 Esinn122Sincn 1n12122華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院3頻譜及其特點(diǎn)華中科技大學(xué)機(jī)械學(xué)院EF(n1)EFn1ET1 Sincn112圖中T 52