圓的有關(guān)性質(zhì)

1、圓的有關(guān)性質(zhì)一、選擇題(2016蘭州，7,4分)如圖，在。O中，點(diǎn)C是.的中點(diǎn)，NA=50,則NBOCi)。(A)40(B)45(C)50(D)60【解析】在OAB中，OA=OB,所以NA=NB=50。根據(jù)垂徑定理的推論，OC平分弦AB所對(duì)的弧，所以O(shè)C垂直平分弦AB,即NBOC=內(nèi)咚B=402，所以答案選A?！究键c(diǎn)】垂徑定理及其推論(2016蘭州，10,4分)如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,四邊形ABCO是平行四邊形，則ZADC=()(A)45(B)50(C)60(D)75【答案】：C【解析】連接OB,則ZOAB=ZOBA,ZOCB=ZOBC四邊形ABCO是平行四邊形，則ZOAB=ZOBCA

2、ZABC=ZOAB+ZOBC=ZAOCAZABC=ZAOC=120AZOAB=ZOCB=60連接OD,則ZOAD=ZODC,ZOCD=ZODC由四邊形的內(nèi)角和等于360可知，ZADC=360-ZOAB-ZABC-ZOCB-ZOAD-ZOCDAZADC=601【考點(diǎn)】：圓內(nèi)接四邊形（2016四川自貢）如圖，。0中，弦AB與CD交于點(diǎn)M,ZA=45,ZAMD=75，則ZB的度數(shù)是（）A.15B.25C.30D.75【考點(diǎn)】圓周角定理；三角形的外角性質(zhì).【分析】由三角形外角定理求得ZC的度數(shù)，再由圓周角定理可求ZB的度數(shù).【解答】解：.ZA=45,ZAMD=75,AZC=ZAMD-ZA=75-45=

3、30,AZB=ZC=30,故選C.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的外角定理，圓周角定理，熟記圓周角定理是解題的關(guān)鍵（2016四川成都3分）如圖，AB為。0的直徑，點(diǎn)C在。0上，若ZOCA=50,AB=4,則的長(zhǎng)為（）A.B.C.D.【考點(diǎn)】弧長(zhǎng)的計(jì)算；圓周角定理.【分析】直接利用等腰三角形的性質(zhì)得出ZA的度數(shù)，再利用圓周角定理得出ZBOC的度數(shù)，再利用弧長(zhǎng)公式求出答案.【解答】解：:ZOCA=50,OA=OC,AZA=50,.NBOC=100,VAB=4,.BO=2,；的長(zhǎng)為：=n.故選：B.（2016四川達(dá)州-3分）如圖，半徑為3的。A經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O和點(diǎn)C（0,2）,B是y軸左側(cè)。A優(yōu)弧上一點(diǎn)，則

4、tan/OBC為（）A.B.2，C.-yD.【考點(diǎn)】圓周角定理；銳角三角函數(shù)的定義.【分析】作直徑CD,根據(jù)勾股定理求出OD,根據(jù)正切的定義求出tan/CDO,根據(jù)圓周角定理得到NOBC=NCDO,等量代換即可.【解答】解：作直徑CD,在RtaOCD中，CD=6,OC=2,貝UOD=-；CD2-OCR;，tanNCDO=1G,由圓周角定理得，NOBC=NCDO,則tanNOBCb,故選：C.（2016四川廣安-3分）如圖，AB是圓O的直徑，弦CDAB,NBCD=30,CD=4.三A.2B.C.D.【考點(diǎn)】圓周角定理；垂徑定理；扇形面積的計(jì)算.【分析】根據(jù)垂徑定理求得CE=ED=2.三然后由圓周

5、角定理知NDOE=60,然后通過(guò)解直角三角形求得線段OD、OE的長(zhǎng)度，最后將相關(guān)線段的長(zhǎng)度代入S陰影=S扇形ODB-S_+S一一SADOE+SABEC-【解答】解：如圖，假設(shè)線段CD、AB交于點(diǎn)E,VAB是。O的直徑，弦CDXAB,，.CE=ED=2三又,NBCD=30,.NDOE=2NBCD=60,NODE=30,.OE=DEcot60=2,x=2,OD=2OE=4,/,S陰影=S扇形odb-&doe+”bec=E,英口-OExDE+BECE=-3-21三+2二三=-故選B.(2016四川樂(lè)山3分)如圖，C、D是以線段AB為直徑的。O上兩點(diǎn)，若CACD,且IACD40。，則CAB(A)10。

6、(B)20。(D)40。(D)40。答案：解析：N解析：N=Z=N又為直徑，所以，/=（2016四川涼山州4分）已知，一元二次方程x2-8x+15=0的兩根分別是。01和。02的半徑，當(dāng)。O1和。02相切時(shí)，O1O2的長(zhǎng)度是（）A.2B.8C.2或8D.2O2O28【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系；根與系數(shù)的關(guān)系【分析】先解方程求出。01、。02的半徑，再分兩圓外切和兩圓內(nèi)切兩種情況討論求解.【解答】解：。、。？的半徑分別是方程x2-8x+15=0的兩根，解得。01、。02的半徑分別是3和5.當(dāng)兩圓外切時(shí)，圓心距O1O2=3+5=8；當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，圓心距O102=5-2=2.故選C.9（浙江省舟山）把

7、一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開(kāi)，圖中的虛線表示折痕，則的度數(shù)是（）A.120B.135C.150D.165【考點(diǎn)】圓心角、弧、弦的關(guān)系；翻折變換（折疊問(wèn)題）.【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出NBOD=30,再利用弧度與圓心角的關(guān)系得出答案.【解答】解：如圖所示：連接B0,過(guò)點(diǎn)0作0EAB于點(diǎn)E,由題意可得：E0=B0,ABDC,可得NEBO=30,故NBOD=30,則NBOC=150,故的度數(shù)是150.故選：C.10.（2016廣東茂名）如圖，A、B、C是。O上的三點(diǎn)，NB=75,則NAOC的度數(shù)是（）A150B140C130D120【考點(diǎn)】圓周角定理【分析】直

8、接根據(jù)圓周角定理即可得出結(jié)論【解答】解：二凡B、C是。O上的三點(diǎn)，NB=75,AZAOC=2ZB=150.故選A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.（2016年浙江省麗水市）如圖，已知。O是等腰R3ABC的外接圓，點(diǎn)D是上一點(diǎn)，BD交AC于點(diǎn)E,若BC=4,AD=，則UAE的長(zhǎng)是（）A.3B.2C.1D.1.2【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心.【分析】利用圓周角性質(zhì)和等腰三角形性質(zhì)，確定AB為圓的直徑，利用相似三角形的判定及性質(zhì)，確定ADE和BCE邊長(zhǎng)之間的關(guān)系，利用相似比求出線段AE的長(zhǎng)度即可.【解答】

9、解：等腰R3ABC,BC=4,AAB為。O的直徑，AC=4,AB=4,AZD=90,在RtAABD中，AD=,AB=4.BD=VZD=ZC,ZDAC=ZCBE,AAADEABCE,AD：BC=：4=1：5,相似比為1：5,設(shè)AE=x,.BE=5x,.DE=-5x,.CE=28-25x,AC=4,.x+28-25x=4,解得：x=1.故選：C.（2016山東煙臺(tái)）如圖，。0的半徑為1,AD,BC是。O的兩條互相垂直的直徑，點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)（P點(diǎn)與0點(diǎn)不重合），沿0fCfD的路線運(yùn)動(dòng)，設(shè)AP=x,sin/APB=y，那么y與x之間的關(guān)系圖象大致是（）A.BA.B.C.D.【考點(diǎn)】動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象.

10、【分析】根據(jù)題意確定出y與x的關(guān)系式，即可確定出圖象.【解答】解：根據(jù)題意得：sin/APB=VOA=1,AP=x,sin/APB=y,/.xy=1,即y=（1x2）,圖象為：，故選B.13.（山東省聊城市，分）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。O,F是上一點(diǎn)，且二,連接CF并延長(zhǎng)交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接AC.若NABC=105,NBAC=25,則NE的度數(shù)為（）A.45B.50C.55D.60【考點(diǎn)】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理.【分析】先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出/ADC的度數(shù)，再由圓周角定理得出NDCE的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)即可得出結(jié)論.【解答】解：四邊形ABC

11、D內(nèi)接于。O,NABC=105,.ZADC=180-ZABC=180-105=75.二，/BAC=25,.ZDCE=ZBAC=25,AZE=ZADC-ZDCE=75-25=50.故選B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟知圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解答此題的關(guān)鍵.（2016.山東省泰安市，3分）如圖，點(diǎn)A、B、C是圓O上的三點(diǎn)，且四邊形ABCO是平行四邊形，OFLOC交圓O于點(diǎn)F,則NBAF等于（）A.12.5B.15C.20D.22.5【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和圓的半徑相等得到AOB為等邊三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一得到NBOF=NAOF=30,根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可.【解答】

12、解：連接OB,四邊形ABCO是平行四邊形，AOC=AB，XOA=OB=OC,.OA=OB=AB,.,.AOB為等邊三角形，VOFXOC,OCAB,.OFLAB,AZBOF=ZAOF=30,由圓周角定理得NBAF=NBOF=15,故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理、平行四邊形的性質(zhì)定理、等邊三角形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，掌握同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半、等腰三角形的三線合一是解題的關(guān)鍵.（2016.山東省泰安市，3分）如圖，ABC內(nèi)接于。O,AB是。O的直徑，NB=30,CE平分NACB交。O于E,交AB于點(diǎn)D,連接人,則SADE:CDB的值等于（）1：1：1：1：

13、1：22：3【分析】由AB是。O的直徑，得到NACB=90,根據(jù)已知條件得到，根據(jù)三角形的角平分線定理得到二，求出AD=AB,BD=AB,過(guò)C作CEAB于E,連接OE,由CE平分NACB交。O于E,得到OELAB,求出OE=AB,CE=AB,根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論.【解答】解：么8是。O的直徑，AZACB=90,VZB=30,TOC o 1-5 h z， HYPERLINK l bookmark93 VCE平分NACB交。O于E,AD=AB,BD=AB,過(guò)C作CEAB于E,連接OE, HYPERLINK l bookmark97 VCE平分NACB交。O于E,OEAB,OE=AB,C

14、E=AB,FADE：Sacdb=(ADOE)：(BDCE)=()：()=2：3.故選D.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，三角形的角平分線定理，三角形的面積的計(jì)算，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵二、填空題1.（2016黑龍江大慶）如圖，在矩形BC中，B=5BC=10，一圓弧過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)C,且與相切，則圖中陰影部分面積為5-.【考點(diǎn)】扇形面積的計(jì)算；矩形的性質(zhì)；切線的性質(zhì).【分析】設(shè)圓的半徑為，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)扇形的面積公式、陰影部分面積為:矩形BC的面積-（扇形BOC的面積-4BOC的面積）進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解：設(shè)圓弧的圓心為。，與切于，連接。交BC于F,連接OB、OC,設(shè)圓

15、的半徑為，則OF:-5,由勾股定理得，OB2=OF2BF即2=（-5）2（5）2,解得，=5則NBOF=60,NBOC=120,則陰影部分面積為：矩形BC的面積-（扇形BOC的面積-4BOC的面積）=10X5-X10X5=75-,故答案為：75-.【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，掌握矩形的性質(zhì)、切線的性質(zhì)和扇形的面積公式=是解題的關(guān)鍵.（湖北鄂州）如圖，=,是的中點(diǎn)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，N=0是直線上一點(diǎn)。當(dāng)為直角三角形時(shí)，p【考點(diǎn)】外接圓，切線，直角三角形的判定，勾股定理，三角函數(shù)，分類(lèi)討論思想【分析】確定點(diǎn)在直線上的位置是解決本題的關(guān)鍵。要使為直角三角形，我們就聯(lián)想到以為直徑的外接圓，但也有可

16、能為直角邊，所以要分類(lèi)討論。我們將滿足條件的逐一畫(huà)在圖上。如圖，在以為圓心的外接圓上，在。的切線11上，再根據(jù)題目的已知條件逐一解答即可?！窘獯稹拷猓悍诸?lèi)討論如下：.,.Z?.z（）為以VZ=.,.ZAZ（）為以中，vz中，vz為切點(diǎn)的。的切線,中，.,.Z?.z（）為以VZ=.,.ZAZ（）為以中，vz中，vz為切點(diǎn)的。的切線,中，中,(AB2.Bp為切點(diǎn)的。的切線,VZ=.,.Z.,.Z中，綜上，當(dāng)為直角三角形時(shí),故答案為：或書(shū)或M【點(diǎn)評(píng)】本題考查了外接圓，切線，直角三角形的判定，勾股定理，三角函數(shù)，分類(lèi)討論思想.注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用；本題難度雖然不大，但容易遺漏四種情況中，有兩種情況的

17、結(jié)果相同。湖北黃岡）如圖，。是4的外接圓，Z（第11題）【考點(diǎn)】圓心角、圓周角、等腰三角形的性質(zhì)及判定.【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半，可得出N=Z,再根據(jù)2=C可得出NC,從而得出答案【解答】解：。是4的外接圓，/=N（同弧所對(duì)的圓周角是所對(duì)的圓心角的一半）；2又：=C/C故答案為：（5.（湖北咸寧）如圖，點(diǎn)是4的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線和的外接圓相交于點(diǎn)，連接、，若N。，則N的度數(shù)為【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)心，三角形的外接圓，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì)【分析】根據(jù)是4的內(nèi)心，可知平分/A平分/B平分/C再根據(jù)圓周角定理，得出/、N,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得出/再根據(jù)

18、圓周角定理，得出/、N,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得出/CN的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，得出N的度數(shù)【解答】解：是4的內(nèi)心，平分/同理平分/,平分/,TOC o 1-5 h zVZ,/D,/Z,/N,/EeX,2ZZZE故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的內(nèi)心，三角形的外接圓，圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角性質(zhì).熟知三角形的內(nèi)心（三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)即為三角形的內(nèi)心）和根據(jù)圓周角定理得出角的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵內(nèi)心是三角形角平分線交點(diǎn)的原理：經(jīng)圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，這一點(diǎn)與圓心的連線平分兩條切線的夾角（原理：角平分線上點(diǎn)到角兩邊距離相等）。內(nèi)心定理：三角形的三個(gè)內(nèi)角

19、的角平分線交于一點(diǎn)。該點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心5.（2016四川成都5分）如圖，ABC內(nèi)接于。O,AHXBC于點(diǎn)H,若AC=24,AH=18,OO的半徑OC=13,則AB=【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心.【分析】首先作直徑AE,連接CE,易證得ABHsAEC,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得。O半徑.【解答】解：作直徑AE,連接CE,.ZACE=90,VAHXBC,.NAHB=90,.ZACE=ZADB,VZB=ZE,.ABHMAEC,；.二,.AB=,VAC=24,AH=18,AE=2OC=26,.AB=,故答案為：.上一點(diǎn).若NOAB=25,6（2016吉林長(zhǎng)春，13,3分）如圖，在。O中

20、，上一點(diǎn).若NOAB=25,NOCA=40,則NBOC的大小為30度.【考點(diǎn)】圓周角定理.【分析】由NBAO=25，利用等腰三角形的性質(zhì)，可求得NAOB的度數(shù)，又由NOCA=40,可求得NCAO的度數(shù)，繼而求得NAOC的度數(shù)，則可求得答案.【解答】解：./BAO=25,OA=OB,AZB=ZBAO=25,.ZAOB=180-ZBAO-ZB=130,NACO=40,OA=OC,.NC=NCAO=40AZAOC=180-ZCAO-ZC=100,AZBOC=ZAOB-NAOC=30.故答案為30.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì).注意利用等腰三角形的性質(zhì)求解是關(guān)鍵.（2016年浙江省

21、臺(tái)州市）如圖，ABC的外接圓O的半徑為2,NC=40,則的長(zhǎng)是n.【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；弧長(zhǎng)的計(jì)算.【分析】由圓周角定理求出NAOB的度數(shù)，再根據(jù)弧長(zhǎng)公式：1=（弧長(zhǎng)為1,圓心角度數(shù)為n,圓的半徑為R）即可求解.【解答】解：NC=40,AZAOB=80.的長(zhǎng)是=.（2016四川巴中）如圖，NA是。O的圓周角，NOBC=55,則NA=35.【考點(diǎn)】圓周角定理.【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理求出NBOC的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理計(jì)算即可.【解答】解：OB=OC,NOBC=55,.NOCB=55,.NBOC=180-55-55=70,由圓周角定理得，NA=NBOC=35,故答案為

22、：35.（山東省青島市分）如圖，AB是。O的直徑，C,D是。O上的兩點(diǎn)，若NBCD=28,則NABD=62.【考點(diǎn)】圓周角定理.【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角得到NACB=90,求出NBCD,根據(jù)圓周角定理解答即可.【解答】解：AB是。O的直徑，.NACB=90,VZBCD=28,.ZACD=62,由圓周角定理得，NABD=NACD=62,故答案為：62.（2016江蘇連云港）如圖，。P的半徑為5,A、B是圓上任意兩點(diǎn)，且AB=6,以AB為邊作正方形ABCD（點(diǎn)D、P在直線AB兩側(cè)）.若AB邊繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，則CD邊掃過(guò)的面積為9n.【分析】連接PA、PD,過(guò)點(diǎn)P作PE垂直AB于點(diǎn)E,延長(zhǎng)

23、AE交CD于點(diǎn)F,根據(jù)垂徑定理可得出AE=BE=AB,利用勾股定理即可求出PE的長(zhǎng)度，再根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合正方形的性質(zhì)即可得出EF=BC=AB,DF=AE,再通過(guò)勾股定理即可求出線段PD的長(zhǎng)度，根據(jù)邊與邊的關(guān)系可找出PF的長(zhǎng)度，分析AB旋轉(zhuǎn)的過(guò)程可知CD邊掃過(guò)的區(qū)域?yàn)橐訮F為內(nèi)圓半徑、以PD為外圓半徑的圓環(huán)，根據(jù)圓環(huán)的面積公式即可得出結(jié)論.【解答】解：連接PA、PD,過(guò)點(diǎn)P作PE垂直AB于點(diǎn)E,延長(zhǎng)AE交CD于點(diǎn)F,如圖所示VAB是。P上一弦，且PEXAB,AE=BE=AB=3.在RtAEP中，AE=3，PA=5,NAEP=90,.PE=4.四邊形ABCD為正方形，.ABCD,AB=BC=6

24、,XVPEXAB,APFCD,.EF=BC=6,DF=AE=3,PF=PE+EF=4+6=10.在RtPFD中，PF=10,DF=3,NPFE=90,APD=.若AB邊繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，則CD邊掃過(guò)的圖形為以PF為內(nèi)圓半徑、以PD為外圓半徑的圓環(huán).AS=PD2-PF2=109-100=9.故答案為：9n是弧上一點(diǎn)，則【點(diǎn)評(píng)】本題考查了垂徑定理、勾股定理、平行線的性質(zhì)以及圓環(huán)的面積公式，解題的關(guān)鍵是分析出CD邊掃過(guò)的區(qū)域的形狀.本題屬于中檔題，難度不大，但稍顯繁瑣，解決該題型題目時(shí)，結(jié)合AB邊的旋轉(zhuǎn)，找出CD邊旋轉(zhuǎn)過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域的形狀是關(guān)鍵.是弧上一點(diǎn)，則（2016江蘇南京）如圖，扇形的圓心角為_(kāi)

25、答案：119考點(diǎn)：圓內(nèi)接四邊形內(nèi)角和定理，圓周角定理。解析：由同弧所對(duì)的圓心角等于它所對(duì)的圓周角的一半，所以，與N所對(duì)同弧的圓周角度數(shù)為1N=,由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，得：2N=。二。.（2016江蘇省宿遷）如圖，在ZABC中，已知NACB=130,NBAC=20,BC=2,以點(diǎn)C為圓心，CB為半徑的圓交AB于點(diǎn)D,則BD的長(zhǎng)為.【分析】如圖，作CEXAB于E,在RTABCE中利用30度性質(zhì)即可求出BE,再根據(jù)垂徑定理可以求出BD.【解答】解：如圖，作CEXAB于E.VZB=180-ZA-ZACB=180-20-130=30,在RTABCE中，,，ZCEB=90,ZB=30,BC=2,.CE=

26、BC=1,BE=CE=,VCEXBD,.DE=EB,，.BD=2EB=2.故答案為2.【點(diǎn)評(píng)】本題考查垂徑定理、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)垂徑定理添加輔助線，記住直角三角形30度角性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，中考?？碱}型.(江蘇省揚(yáng)州如圖，。O是4ABC的外接圓，直徑AD=4,NABC=NDAC,則AC長(zhǎng)為，,【考點(diǎn)】三角形的外接圓與外心；圓周角定理.【分析】連接CD,由NABC=NDAC可得，得出則AC=CD,又NACD=90,由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求得AC的長(zhǎng).【解答】解：連接CD,如圖所示：VZB=ZDAC,，.AC=CD,AD為直徑，ZACD=90,在RtAACD中，A

27、D=6,AC=CD=AD=x4=2,故答案為：2.三、解答題i（0黑龍江大慶）如圖，在RtABC中，NC=90,以BC為直徑的。交斜邊AB于點(diǎn)M,若H是AC的中點(diǎn)，連接MH.（）求證：MH為。O的切線.（）若MH=,tanZABC=，求。的半徑.（）在（）的條件下分別過(guò)點(diǎn)A、B作。的切線，兩切線交于點(diǎn)，A與。相切于N點(diǎn)，過(guò)N點(diǎn)作NQLBC,垂足為，且交。于Q點(diǎn)，求線段NQ的長(zhǎng)度.【考點(diǎn)】圓的綜合題.【分析】（）連接OH、OM,易證OH是ABC的中位線，利用中位線的性質(zhì)可證明COHMOH,所以NHCO=NHMO=90,從而可知MH是。的切線；（）由切線長(zhǎng)定理可知：MH=HC,再由點(diǎn)M是AC的中點(diǎn)

28、可知AC=,由tan/ABC=，所以BC=4從而可知。的半徑為2（）連接CN,AO,CN與AO相交于，由AC、AN是。的切線可知AOLCN,利用等面積可求出可求得C的長(zhǎng)度，設(shè)C為，然后利用勾股定理可求得C的長(zhǎng)度，利用垂徑定理即可求得NQ.【解答】解：（）連接OH、OM,二H是AC的中點(diǎn)，。是BC的中點(diǎn)，.OH是ABC的中位線，.OHAB,AZCOH=ZABC,ZMOH=ZOMB,又OB=OM,.ZOMB=ZMBO,AZCOH=ZMOH,在ACOH與MOH中，,.,.COH0AMOH(A),AZHCO=ZHMO=9G,，MH是。O的切線；(2)：MH、AC是。O的切線，.HC=MH=,.AC=2

29、HC=3,VtanZABC=,一，.BC=4,二0O的半徑為2；(3)連接OA、CN、ON,OA與CN相交于點(diǎn)I,AC與AN都是。O的切線，二AC=AN,AO平分NCAD,AOCN,VAC=3,OC=2,由勾股定理可求得：AO=,:ACOC=AOCI,CI二，,由垂徑定理可求得：CN=,設(shè)。二，由勾股定理可得：CN2-C2=ON2-O2,二-(2)2=4-2,x二CE=，由勾股定理可求得：E=，由垂徑定理可知：=E=【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的綜合問(wèn)題，涉及垂徑定理，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的判等知識(shí)內(nèi)容，對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高，一定要注意將所學(xué)知識(shí)貫穿起來(lái)（湖北鄂州）（本題滿分分）如

30、圖，在tABC中，NACB=0AO是4ABC的角平分線。以。為圓心，OC為半徑作。0。（）（分）求證：AB是。的切線。（）（分）已知40交。于點(diǎn)E,延長(zhǎng)A0交。于1AE=2，求商的值。（）（分）在（）的條件下，設(shè)。的半徑為3求AB的長(zhǎng)。第題圖【考點(diǎn)】切線，角平分線，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二元一次方程組.【分析】（）過(guò)。作0FLAB于F,由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等即可得證;TOC o 1-5 h z（）連接CE,證明ACEsADC可得AEAC二CECD=D=（）先由勾股定理求得AE的長(zhǎng)，再證明BOFsBAC,得BFBS=BOBA=0FAC設(shè)BO=，BF=z列二元一次方程組即可

31、解決問(wèn)題【解答】證明：作OFLAB于F（分）VAO是NBAC的角平分線，NACB=90，.OC=OF（分）AB是。的切線（分）連接CE（分）AO是NBAC的角平分線，.ZCAE=ZCADNACE所對(duì)的弧與NCDE所對(duì)的弧是同弧.ZACE=ZCDE.,.ACEMADCAE.=CE=nD二（分）ACCD2先在AACO中，設(shè)AE二由勾股定理得（1分）（x+3）2=（2x）2+32，解得（1分）,?ZBFO=0=NACOTOC o 1-5 h z易證B0FstBAC（2分）得BFBS=BOBA=0FAC設(shè)BO=BF=+=+3=3即+34y=1+23z解得=7=75（分）.AB=27+400（分）【點(diǎn)評(píng)

32、】本題主要考查了切線，角平分線，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，二元一次方程組作OFLAB于F是解題的關(guān)鍵3（20湖北黃岡）（滿分分）如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)是BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，（是。的切線，切點(diǎn)為C過(guò)點(diǎn)B作B，C交C的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接BC求證：（1）NPBC=NCBD;（2）BC左ABBPAOB（第3題）【考點(diǎn)】切線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì).【分析】（）連接OC,運(yùn)用切線的性質(zhì)，可得出NOC=00,從而證明OCBd得到NCB=NOCB,再根據(jù)半徑相等得出NOCB=NBC等量代換得到NBCNCB()連接要得到()連接要得到Z入手,需證明S匕,故從證明/【解答】證明：()連接，,/是

33、。的切線，/分又:/.,.zZ*.,.ZZTOC o 1-5 h z.,.ZZ分()連接V是直徑，.,.Z又/，/ZVZZ分-AB-加BCBD,分PA4.(21湖北十堰)如圖1,AB為半圓。的直徑，D為BA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DC為半圓O的切線，切點(diǎn)為C.(1)求證：NACD=NB；(2)如圖2,NBDC的平分線分別交AC,BC于點(diǎn)E,F；求tanZCFE的值；若AC=3BC=4,求CE的長(zhǎng).【考點(diǎn)】切線的性質(zhì).【分析】(1)利用等角的余角相等即可證明.(2)只要證明NCEF二NCFE即可.由DCAsDBC,得=，設(shè)DC=kDB=4k,由CD2:DA-DB,得2=(4k-)4k,由此求出DC,DB

34、,再由DCEsDBF,得=，設(shè)EC=CF二，列出方程即可解決問(wèn)題.【解答】(1)證明：如圖1中，連接OC.VOA=OC,AZ1=Z2,CD是。切線，AOCXCD,AZDCO=90,AZ3+Z2=90,VAB是直徑，AZ1+ZB=90,AZ3=ZB.(2)解：VNCEF=NECD+NCDE,NCFE=NB+NFDB,VZCDE=ZFDB,ZECD=ZB,.ZCEF=ZCFE,VZECF=90,.ZCEF=ZCFE=45,/.tanZCFE=tan45=1.在RTABC中，VAC=3,BC=4,.AB=5,VZCDA=ZBDC,ZDCA=ZB,.,.DCAMDBC,=，設(shè)DC=3k,DB=4k,V

35、CD2=DADB,.9k2=(4k-5)4k,.k=,.CD=,DB=,VZCDE=ZBDF,ZDCE=ZB,.DCEMDBF,.=，設(shè)EC=CF=x,=，.x=.CE二【點(diǎn)評(píng)】本題考查切線的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)用方程的思想思考問(wèn)題，屬于中考?？碱}型5.（2016四川涼山州8分）閱讀下列材料并回答問(wèn)題：材料1：如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,記9上1乎，那么三角形的面積為T(mén)OC o 1-5 h z5二/p（p-己）（p-b）Cp-c）.古希臘幾何學(xué)家海倫（Heron,約公元50年），在數(shù)學(xué)史上以

36、解決幾何測(cè)量問(wèn)題而聞名.他在度量一書(shū)中，給出了公式和它的證明，這一公式稱(chēng)海倫公式.我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶（約1202-約1261）,曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：下面我們對(duì)公式進(jìn)行變形：12ab+a2+b2c2.2ab-a2-b24-c2（,a+b）2c2Ca-b）2:4i篁=;41口4=年二.這說(shuō)明海倫公式與秦九韶公式實(shí)質(zhì)上是同一公式，所以我們也稱(chēng)為海倫-秦九韶公式.問(wèn)題：如圖，&ABC中，AB=13,BC=12,AC=7,0O內(nèi)切于ABC,切點(diǎn)分別是D、E、F.(1)求ABC的面積;(2)求。O的半徑.【考點(diǎn)】三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心.【分析】(1)由已知ABC的三邊a=3,b=12

37、,c=7,可知這是一個(gè)一般的三角形，故選用海倫-秦九韶公式求解即可；(2)由三角形的面積=lr,計(jì)算即可.【解答】解：(1)：AB=13,BC=12,AC=7,p=16,S=；P(p己)(b)(。-G=;16X3X4X9=24/三；(2)ABC的周長(zhǎng)l=AB+BC+AC=32,/.S=lr=24,三322.6.(2016四川涼山州8分)如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于。O,A是5DC的中點(diǎn)，AEAC于A,與。O及CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F、E,且EF=AE.(1)求證：ADCsEBA；(2)如果AB=8,CD=5,求tanZCAD的值.【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理.【分析】（1）欲證ADCsAEBA,只要證明兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等就可以.可以轉(zhuǎn)化為證明且加二處就可以；（2）A是BDC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則AC=AB=8,根據(jù)CADsAABE得至UNCAD=NA