題型九-幾何探究題課件

1、微專題截長補短法構(gòu)造線段和差(2020年23(3)題)題型九幾何探究題（必考） 截長補短法：具體作法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，使之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以證明此方法適用于：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和(或差)等于另一條線段(或幾條線段的和或差)時模型分析微專題截長補短法構(gòu)造線段和差(2020年23(3)題)題型 輔助線的作法有兩種：如圖，在ABC中，C2B，12.1. 截長法：在AB上截取AEAC，連接DE，則有ACDAED.2. 補短法：延長AC到點F，使得AFAB，連接DF，則有ABDAFD. 輔助線的作法有兩種：如圖，在ABC中，C

2、2B，11. 如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，點E是AB上一個動點，若B60，ABBC，且DEC60.求證：ADAEBC.模型應(yīng)用第1題圖證明：如解圖，在BC上截取BFBE，連接EF，B60，BEF是等邊三角形，BEEF，BEFBFE60，CFE120.又ABBC，AECF.ADBC，BAD120.第1題解圖1. 如圖，在四邊形ABCD中，ADBC，點E是AB上一個在EAD中，EDA180EADDEA60DEA.又CEF180BEFDECDEA60DEA，CEFEDA. 在EAD和CFE中， EADCFE(ASA)，ADEF，ADBE，ABADAE，ADAEBC.在EAD中，EDA180E

3、ADDEA602. 如圖，在正方形ABCD中，點F是CD的中點，點E是BC邊上的一點，且AF平分DAE.求證：AEECCD.第2題圖證明：如解圖，延長AF交BC的延長線于點G，四邊形ABCD為正方形，DBCDGCF90，ADDC.在ADF和GCF中，ADFGCF(ASA)，第2題解圖2. 如圖，在正方形ABCD中，點F是CD的中點，點E是BC第2題解圖ADCGCD，DAFG，AF平分DAE，EAFDAF，EAFG，AEEG.AEEGECCGECCD，AEECCD.【一題多解】如解圖，在AH上截取HEEC，證得ADFAHF，從而證得AEECCD.第2題解圖ADCGCD，DAFG，1. 若題中已知

4、45角，常通過作垂線構(gòu)造等腰直角三角形：方法分析微專題由數(shù)量關(guān)系的 、 、 倍構(gòu)造直角三角形(2020年23(3)題)類型一 構(gòu)造含45角的直角三角形( 倍的數(shù)量關(guān)系)(2020年23(3)題)1. 若題中已知45角，常通過方法分析微專題由數(shù)量關(guān)系的2. 若題中無45角，常通過尋找直角，作腰相等構(gòu)造等腰直角三角形：2. 若題中無45角，常通過尋找直角，作腰相等構(gòu)造等腰直角針對訓(xùn)練第1題圖1. 如圖，在等腰三角形ABC中，CACB，過點C作CEAB于點E，點D在AB的延長線上，連接CD，EF平分CED交CD于點F，連接BF，且BFCD.求證：AECE EF.證明：如解圖，過點F作FPEF，交AD

5、于點P.CEAD，EF平分CED，1245.FPEF，6245.EFPF. PEEF.第1題解圖針對訓(xùn)練第1題圖1. 如圖，在等腰三角形ABC中，CACB又BFCD，343590，即45 .又12，26，16.在CFE和BFP中，CFEBFP(ASA)BPCE . CACB，CEAB，AEBE.AECEBEBPPE EF.第1題解圖又BFCD，第1題解圖1. 若題中已知30角，常通過作垂線構(gòu)造含30角的直角三角形；方法分析類型二 構(gòu)造含30角的直角三角形( 、 倍的數(shù)量關(guān)系)1. 若題中已知30角，常通過作垂線構(gòu)造含30角的直角三2. 若題中無30角，常通過尋找直角，截長補短構(gòu)造含30角的直角

6、三角形2. 若題中無30角，常通過尋找直角，截長補短構(gòu)造含30針對訓(xùn)練第2題圖2. 如圖，已知等邊三角形ABC，D是邊AB上一點，連接CD，E是線段CD上一點，連接AE，BE使得AEBE，且AED2BED.求證：CE BE.證明：如解圖，在CD上截取CFAE，過點F作FGBE于點G，連接FB，第2題解圖針對訓(xùn)練第2題圖2. 如圖，已知等邊三角形ABC，D是邊ABAEBE，AED2BED，AED60，BED30，EACACD60，ACDFCB60，EACFCB，在ACE 和CBF中， ACECBF(SAS)，CEBF，AECCFB，第2題解圖AEBE，AED2BED，第2題解圖BFDAED60，

7、EBF30，BED30，EFB是等腰三角形，F(xiàn)GBE，EGGB，在RtBFG中，BF BG，BF BE，CE BE.第2題解圖BFDAED60，EBF30，第2題解圖微專題半角模型(2018年23(3)題，2014年23(3)題)如圖，在正方形ABCD中，EAF45，繞點A順時針旋轉(zhuǎn)ADF到ABG，使AD與AB重合模型分析模型一90含45的半角模型(2018年23(3)題)類型一正方形的半角模型【結(jié)論】AEFAEG，EFEGBEDF.微專題半角模型(2018年23(3)題，2014年23(3模型應(yīng)用1. 如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且EAF45，分別連接EF、BD，

8、且BD與AF、AE分別相交于點M、N.(1)若BE2，DF3，EF5，求正方形ABCD的邊長；(2)求證：AE平分BEF；(3)線段BN、MN、DM是否滿足BN2DM2MN2，說明理由第1題圖模型應(yīng)用1. 如圖，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC(1)解：設(shè)正方形的邊長為x，BE2，DF3，CEx2，CFx3，在RtCEF中，EF5，EF2CE2CF2，52(x2)2(x3)2，解得x6或1(舍)，正方形ABCD的邊長為6；AE平分BEF；(1)解：設(shè)正方形的邊長為x，(2)證明：如解圖，延長CB至點G，使BGDF，連接AG，四邊形ABCD為正方形，ABAD，BADADFABEABG90

9、，在ABG和ADF中，ABGADF(SAS)，DAFBAG，AFAG，第1題解圖(2)證明：如解圖，延長CB至點G，使BGDF，連接AG第1題解圖DAFBAG，AFAG，GAEBAGBAEDAFBAEBADEAF904545EAF，在AEF和AEG中，AEFAEG(SAS)，BEAFEA，AE平分BEF；第1題解圖DAFBAG，AFAG，(3)解：線段BN、MN、DM滿足BN2DM2MN2.理由如下：如解圖，在AG上截取AHAM，連接HN、BH， 在AHB和AMD中，AHBAMD(SAS)，BHDM，ABHADB45，第1題解圖(3)解：線段BN、MN、DM滿足BN2DM2MN2.第又ABD4

10、5，HBN90.BH2BN2HN2.在AHN 和AMN中，AHNAMN(SAS)，MNHN.BN2DM2MN2.第1題解圖又ABD45，第1題解圖模型分析類型二等腰三角形的半角模型如圖，在RtBAC中，BAC90，DAE45，繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)ABD到ACF，使AB與AC重合【結(jié)論】AEFAED，EFED，CFBD.模型分析類型二等腰三角形的半角模型如圖，在RtBAC中，模型應(yīng)用2. 如圖，ABC為等腰直角三角形，ABAC，BAC90，點D、E在邊BC上，連接AD、AE，且DAE45.(1)若BAD20，求AED的度數(shù)；(2)若BAD15，求證：DE2BD；(3)如圖，過點C作CFAC交AE延長

11、線于點F，連接DF，求證：ADF是等腰直角三角形第2題圖模型應(yīng)用2. 如圖，ABC為等腰直角三角形，ABAC，(1)解：ABAC，BAC90，BC45，DAE45，BAD20，EAC90204525，AEDCEAC254570； (2)證明：如解圖，將AEC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90得到ABK，連接DK.BAKBADBADEAC904545，DAKDAE，第2題解圖(1)解：ABAC，BAC90，第2題解圖ADAD，AKAE，DAKDAE，ADEADKABDBAD60，DKDE，KDB60，ABKABC45，KBD90，BKD30，DK2BD，DKDE，DE2BD；第2題解圖ADAD，AKAE，第2

12、題解圖(3)證明：CFAC，ACF90，ACBFCE45，DAE45，DAEFCE，AEDCEF，AEDCEF， (3)證明：CFAC，AECDEF，AECDEF，DFEACE45，DAFDFE45，ADF是等腰直角三角形AECDEF，模型二120含60的半角模型(2014年23(3)題)如圖，ABC是等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120，以D為頂點作一個60角，使其兩邊分別交AB于點E，交AC于點F，連接EF，繞點D順時針旋轉(zhuǎn)DBE到DCG，使DB與DC重合模型分析【結(jié)論】DEFDGF，EFGFBECF.模型二120含60的半角模型(2014年23(3)題)模型應(yīng)用3. 如圖，AB

13、C是正三角形，BDC是等腰三角形，BDCD，BDC120，以D為頂點作一個60角，角的兩邊分別交AB、AC邊于M、N兩點，連接MN.(1)探究BM、MN、NC之間的關(guān)系，并說明理由(2)若ABC的邊長為2，求AMN的周長第3題圖模型應(yīng)用3. 如圖，ABC是正三角形，BDC是等腰三角形 解：(1)MNBMNC；理由如下：如解圖，延長AC至E，使得CEBM，連接DE，BDC為等腰三角形，ABC為等邊三角形，BDCD，DBCDCB，ABCACB60，又BDDC，且BDC120，DBCDCB30，ABCDBCACBDCB603090，MBDECD90，第3題解圖 解：(1)MNBMNC；第3題解圖第3

14、題解圖在MBD與ECD中，MBDECD(SAS)，MDDE，BDMCDE，又BDC120，MDN60，BDMNDCBDCMDN60，CDENDC60，即NDE60，第3題解圖在MBD與ECD中，MDNNDE60，在DMN與DEN中，DMNDEN(SAS)，MNEN，又NENCCE，BMCE，MNBMNC；第3題解圖MDNNDE60，第3題解圖(2)ABC為等邊三角形，ABBCAC2，由(1)可得，BMCE，MNEN，AMN的周長AMMNAN AMNEAN AMANNCCE AMANNCBM (AMBM)(NCAN) ABAC224.第3題解圖(2)ABC為等邊三角形，第3題解圖一般通過一線三等

15、角找等角或進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換，來證明三角形全等或相似，當(dāng)證明三角形全等時必須還有一組對應(yīng)邊相等. 常見基本圖形如下：方法分析微專題一線三等角(2017、2013、2011年23題)(1)兩個三角形在直線同側(cè)，點P 在線段AB上銳角一線三等角直角一線三垂直鈍角一線三等角一般通過一線三等角找等角或進(jìn)行角度轉(zhuǎn)換，來證明三角形全等或相已知：123.利用三角形任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和得到一組對應(yīng)角相等從而可得兩三角形相似【結(jié)論】CAPPBD；當(dāng)ACBP或APBD或CPPD時，CAPPBD.已知：123.利用三角形任意一個外角等于與它不相鄰(2)兩個三角形在直線異側(cè)，點P在AB(或BA)的延長線

16、上銳角一線三等角直角一線三垂直已知：123.利用三角形任意一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和得到一組對應(yīng)角相等從而可得兩三角形相似【結(jié)論】CAPPBD；當(dāng)ACBP或APBD或CPPD時，CAPPBD.鈍角一線三等角(2)兩個三角形在直線異側(cè)，點P在AB(或BA)的延長線上模型應(yīng)用1. 如圖，在正方形ABCD中，AB4，點E是DC延長線上的一點，連接BE，過點E作EFBE，與AD的延長線交于點F，若CE2，求DF的長第1題圖解：四邊形ABCD是正方形，BCEEDF90，EFBE，BEF90，模型應(yīng)用1. 如圖，在正方形ABCD中，AB4，點E是DC 即 CBEBEC90，BECDEF90，CB

17、EDEF，BCEEDF，解得DF3.DF的長為3. 即 CBEBEC90，2. 如圖，在矩形ABCD中，已知ADAB.在邊AD上取點E，連接CE.過點E作EFCE，與邊AB的延長線交于點F.(1)求證：AEFDCE；(2)若AB3，AE4，DE6，求線段BF的長第2題圖 (1)證明：四邊形ABCD是矩形，AD90，AEFF90.EFCE，CEDAEF90，CEDF，AEFDCE；2. 如圖，在矩形ABCD中，已知ADAB.在邊AD上取點(2)解：由(1)知，AEFDCE， ABCD3，AE4，DE6，解得BF5.BF的長為5.(2)解：由(1)知，AEFDCE，3. 如圖，在等邊ABC中，BC

18、8，過BC邊上一點P，作DPE60，分別與邊AB，AC相交于點D與點E.(1)在圖中找出與EPC始終相等的角，并說明理由；(2)若PDE為正三角形，求BDCE的值解：(1)BDPEPC；理由如下：ABC為等邊三角形，B60.DPE60，DPEB.DPC是BDP的外角，DPEEPCBBDP，EPCBDP；第3題圖3. 如圖，在等邊ABC中，BC8，過BC邊上一點P，作(2)PDE為正三角形，PDPE.在BDP和CPE中，BDPCPE(AAS)，BDCP，BPCE，BDCECPBPBC8.(2)PDE為正三角形，4. 如圖， 在四邊形ABCD中， 點P在邊AB上 (點P不與點A、B重合) ，ABD

19、PC.(1)求證：DAPPBC.(2) 若PD5，PC10，BC9，求AP的長(3)如圖， 在ABC中，ACBC4，AB6，點P在邊AB上 (點P不與點A、B重合)，連接CP，作CPEA，PE與邊BC交于點E. 當(dāng)CE3EB時， 求AP的長第4題圖4. 如圖， 在四邊形ABCD中， 點P在邊AB上 (點P(1)證明：DPBAADP，DPCCPBAADP，ADPC，ADPCPB，AB，DAPPBC；(1)證明：DPBAADP，(2)解：DAPPBC，AP ；(2)解：DAPPBC，由(1)得CAPPBE， ACBEAPBP，BC4，CE3EB，BE1，AC4，BPABAP6AP，AP(6AP)4

20、，AP3 或AP3 .(3)解：ACBC，AB，CPEA，ACPEB，由(1)得CAPPBE，(3)解：ACBC，A微專題手拉手模型(2016、2015、2014年23題， 2011年22題)模型分析模型一共頂點兩等腰三角形，旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生全等三角形(2016、2015、2014年23題)微專題手拉手模型模型分析模型一共頂點兩等腰三角形，旋轉(zhuǎn)后模型展示模型特點在ABC中，ABAC，在ADE中，ADAE，BACDAE，繞公共頂點A旋轉(zhuǎn)，連接BD、CE交于點P結(jié)論CAEBAD(SAS)，BDCE，BPCBAC(“8字型”證角相等)模型展示模型特點在ABC中，ABAC，在ADE中，AD1. 如圖，ABD

21、與BCE都為等邊三角形，連接AE與CD，延長AE交CD于點H.(1)求證：AHD60；(2)連接HB，求證：HB平分AHC.模型應(yīng)用第1題圖1. 如圖，ABD與BCE都為等邊三角形，連接AE與CD證明：(1)ABEABDEBD，DBCEBCEBD，ABDEBC60，ABEDBC.在ABE和DBC中，ABEDBC(SAS)EABCDB.AHDABD60；證明：(1)ABEABDEBD，(2)如解圖，過B作AH、DC的垂線，垂足分別為點M、N.ABEDBC，SABESDBC.即 AEBM CDBN.又AECD，BMBN.HB平分AHC.第1題解圖(2)如解圖，過B作AH、DC的垂線，垂足分別為點M

22、、N.第模型分析模型二共頂點的兩個相似三角形，旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生相似三角形(2011年22題)模型展示模型特點AOCBOD，且繞公共頂點O旋轉(zhuǎn)總結(jié)AOBCOD，且 模型分析模型二共頂點的兩個相似三角形，旋轉(zhuǎn)后產(chǎn)生相似三角形模型應(yīng)用2. 如圖，在ABC和ADE中，ACBAED90，連接BD、CE，EACDAB.(1)求證：ABCADE；(2)求證：BADCAE；(3)已知BC4，AC3，AE .將AED繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E落在線段CD上時，求BD的長第2題圖模型應(yīng)用2. 如圖，在ABC和ADE中，ACBAE(1)證明：EACDAB，CABEAD，ACBAED90，ABCADE；(2)證明：由(1)知ABC

23、ADE， EACBAD，BADCAE；(1)證明：EACDAB，(2)證明：由(1)知A(3)解：ACB90，BC4，AC3，AB ，ABCADE， AD 如解圖，將AED繞點A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點E落在線段CD上時，AECADB90，BD 第2題解圖(3)解：ACB90，BC4，AC3，第2題解圖微專題 十字模型(2017年23題)(1)如圖，經(jīng)過頂點：在正方形ABCD中，AEBF，借助“同角的余角相等”模型一 正方形類十字模型(2017年23題)模型分析微專題 十字模型(2017年23題)(1)如圖，經(jīng)過頂可證ADEBAF，從而可得AEBF.(2)如圖，不經(jīng)過頂點：在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H

24、分別為AB、BC、CD、DA邊上的點，其中EGFH.構(gòu)選全等三角形，可得EGFH.(注意：在正方形的對邊分別取點并相連，所得兩條線段，若垂直，則相等；若相等，則垂直)模型應(yīng)用1. 已知正方形ABCD.(1)如圖，E是AD上一點，過BE上一點O作BE的垂線，交AB于點G，交CD于點H，求證：BEGH；第1題圖可證ADEBAF，從而可得AEBF.模型應(yīng)用1. 已（1）證明：如解圖，過點A作GH的平行線，交DC于點H，交BE于點O.四邊形ABCD是正方形，D90，HADAHD90.GHBE，AHGH，AHBE.HADBEA90.第1題解圖（1）證明：如解圖，過點A作GH的平行線，交DC于點H，BEA

25、AHD.在BAE和ADH中， BAEADH(AAS)，BEAHGH；BEAAHD.(2)如圖，過正方形ABCD內(nèi)任意一點作兩條互相垂直的直線，分別交AD，BC于點E，F(xiàn)，交AB，CD于點G，H，求證：EFGH.(2)解：如解圖，過E作EMBC，過G作GNCD，GN交EF于點Q.EMFGNH90，又GHEF，EOGGOF90，MEFEQG90，NGHEQG90，MEFNGH，又GNEM，EMFGNH，EFGH.第1題解圖第1題圖(2)如圖，過正方形ABCD內(nèi)任意一點作兩條互相垂直的直線模型二 矩形類十字模型模型分析(1)如圖，經(jīng)過頂點：在矩形ABCD中，ABa，ADb，其中AEBF.探究AE與B

26、F的關(guān)系；可證：ADEBAF AE BF.模型二 矩形類十字模型模型分析(1)如圖，經(jīng)過頂點：在矩(2)如圖，不經(jīng)過頂點：在矩形ABCD中，ABa，ADb，E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA邊上的點其中EGFH，探究EG與FH的關(guān)系；過B作BMFH交AD于M.過A作ANEG交CD于N，可證：ADNBAM = EG FH.模型應(yīng)用2. 如圖，已知矩形ABCD，點E為AD上一點，BEAC于F點(1)若AEAD，SAEF1，求ABC的面積；第2題圖(2)如圖，不經(jīng)過頂點：在矩形ABCD中，ABa，AD解：(1)四邊形ABCD是矩形，ADBC，ADBC，AEFCBF， ，AE AD，BF3EF

27、，CF3AF，SAEF1，SCBF9SAEF9，SABF3SAEF3，SABCSABFSCBF12；解：(1)四邊形ABCD是矩形，(2)若AD4，tanEAF ，求AF的長解：AD4，tanEAF ，DCADtanEAF2，ABDC2，EAFBAF90，BAFABF90，EAFABF，tanABF ，即BF2AF，AF2BF2AB2，AF2(2AF)24，AF .(2)若AD4，tanEAF ，求AF的長解：典例精講類型一與全等三角形有關(guān)的問題(2014、2011年23題)例1(2020合肥瑤海區(qū)二模改編)如圖，在等邊ABC中，AB6，BDCE, AD、BE交于點F.(1)求證：ABDBCE

28、；例1題圖典例精講類型一與全等三角形有關(guān)的問題(2014、2011年解：(1)ABC是等邊三角形，ABACBC，ABDC60，在ABD和BCE中，ABDBCE(SAS)；【思維教練】根據(jù)BDCE，又因為ABC為等邊三角形可得邊的關(guān)系 ，角的關(guān)系 所以可得ABDBCE.ABBCCABCBAC60解：(1)ABC是等邊三角形，【思維教練】根據(jù)BDCE(2)當(dāng)FAE45時，求AE的值；【思維教練】由(1)可知，EBCBAD，所以ABEFAE45，又因為BAE60，AB6，考慮ABE中有兩個特殊角，通過作垂線構(gòu)造兩個特殊直角三角形，簡化圖如下圖，若設(shè)AHa，則其余邊均可表示出來，因為AB6，所以可列等

29、式即可求得AE的長(2)當(dāng)FAE45時，求AE的值；【思維教練】由(1)解：如解圖，作EHAB，垂足為H，設(shè)AHa，BAE60，ABE45，HEHB a ，即a a6，解得a3 3，AE 2AH2a6 6.例1題解圖解：如解圖，作EHAB，垂足為H，設(shè)AHa，例1題解圖(3)如圖，連接FC，若CFAD時，求證：BDCD .【思維教練】考慮F點在等邊三角形內(nèi)部，通常考慮將ABF繞A點旋轉(zhuǎn)，構(gòu)造等邊三角形，可以延長BE至G，使得FGFA，結(jié)合(1)的結(jié)論AFG60，可得AFG為 ，從而可證得 ，所以AGCAFB例1題圖等邊三角形ABF AGC(3)如圖，連接FC，若CFAD時，求證：BDCD ._

30、，所以FGC60，所以AFCG ，此時 ，而BFCG，CG和FG關(guān)系由GFC30，GCF90可得，問題得以證明證明：如解圖，延長BE至G，使FGAF，連接AG，CG，由(1)知AFE60，BADCBE，AFG是等邊三角形，例1題解圖120_，所以FGC60，所以AFCG ，此時FAG60，AFAG，BACFAG60，BACCADFAGCAD，即BAFCAG，在BAF和CAG中，BAFCAG(SAS)，ABFACG，CGBF，又ABCBAC，BADCBE，ABCCBEBACBAD，即ABFCAF，F(xiàn)AG60，AFAG，ACGCAF，AFCG，AFC90，AFE60，CFCG，CFG30，F(xiàn)G2C

31、G，F(xiàn)G2BF，F(xiàn)DCG，BFDBGC， ，BD DC.ACGCAF，類型二與相似三角形有關(guān)的問題(2019年23題,2012/2011年22題)典例精講例2(2020滁州模擬)已知，在ABC中，ABC90，(1)如圖，分別過A、C兩點作經(jīng)過點B的直線MN的垂線，垂足分別為M、N.求證：AMBBNC；例2題圖類型二與相似三角形有關(guān)的問題(2019年23題,2012/證明：ABC90，ABMCBN90，AMBM，ABMBAM90，BAMCBN，BAMCBN，AMBBNC90，AMBBNC；【思維教練】欲證明AMBBNC，可將圖形簡化得到一線三垂直模型，根據(jù)同角的余角相等，可證另外一組角相等，即可

32、證相似證明：ABC90，ABMCBN90，【思若AMBABC，求證：ACAMCN；【思維教練】由AMBABC可得MABBAC，即BA平分MAC，根據(jù)角平分線性質(zhì)想到此處用到的輔助線為 ，由CNBN，同理結(jié)合已證明的結(jié)論AMBBNC，可得類似條件 ，即 從而根據(jù)證明三角形全等進(jìn)行線段之間的等量代換，從而可求證證明：如解圖，作BPAC于P，則APBABC90，又BAPCAB，APBABC，例2題解圖作BPAC于點PAMBAPBBAMBAP若AMBABC，求證：ACAMCN；【思維教練】令A(yù)MBABC，AMBAPB，BAMBAP，在BAM和BAP中， AMBAPB(AAS)，APAM，同理可證，CP

33、CN，ACAPCPAMCN；令A(yù)MBABC，AMBAPB，（2）如圖，點D是CA延長線上的一點，DEEB，AEAB，ADBCCA335，求 的值【思維教練】考慮到承接上一小問，盡可能利用上問結(jié)論，需要構(gòu)造k字形相似模型，對比可發(fā)現(xiàn)，需要過A點向BE所在直線作垂線，如下圖所示，AMBE，CNBE，垂足分別為M、N，此時構(gòu)造出上一問結(jié)論模型，這是我們做幾何壓軸例2題圖（2）如圖，點D是CA延長線上的一點，DEEB，AEA題常用思維之一同時，由條件AEAB，結(jié)合AMBE，可得 ，同時，由條件DEAMCN，可得 ，再根據(jù)線段之間的比例關(guān)系求得 的值解：設(shè)如解圖，過點A作AMBE于M，過點C作CNBE交EB的延長線于N，DEB90，CNAMDE，例2題解圖題常用思維之一同時，由條件AEAB，結(jié)合AMBE，可得令 ,在RtABC中， , ,由(1)可知，AMBBNC, , AEAB，AMBE，EMMB，EMBMBN332，BMBNCN1289,設(shè)BM12k，則BN8k，CN9k，此時在RtBCN中，BC k. .令 ,類型三與全等和相似三角