變量間的相關(guān)關(guān)系教案

1、變量間的相關(guān)關(guān)系一、教材分析學(xué)生情況分析：學(xué)生已經(jīng)具備了對(duì)樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行初步分析的能力，且掌握了一定的計(jì)算基礎(chǔ)。教材地位和作用：變量間的相關(guān)關(guān)系是高中新教材人教A版必修3第二章節(jié)的內(nèi)容,本節(jié)課主要探討如何利用線性回歸思想對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。為以后更好地研究選修2-3第三章節(jié)回歸分析思想的應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。二、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)與技能：利用散點(diǎn)圖判斷線性相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想及線性回歸方程系數(shù)公式的推導(dǎo)過(guò)程，求出回歸直線的方程并對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，通過(guò)實(shí)例加強(qiáng)對(duì)回歸直線方程含義的理解。2、過(guò)程與方法：通過(guò)自主探究體會(huì)數(shù)形結(jié)合、類比、及最小二乘法的數(shù)學(xué)思想方法。通過(guò)動(dòng)手操作培養(yǎng)學(xué)生觀察

2、、分析、比較和歸納能力。3、情感、態(tài)度與價(jià)值觀：類比函數(shù)的表示方法，使學(xué)生理解變量間的相關(guān)關(guān)系，增強(qiáng)應(yīng)用回歸直線方程對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)的意識(shí)。三、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：利用散點(diǎn)圖直觀認(rèn)識(shí)兩個(gè)變量之間的線性相關(guān)關(guān)系，了解最小二乘法的思想并利用此思想求出回歸方程。難點(diǎn)：對(duì)最小二乘法的數(shù)學(xué)思想和回歸方程的理解，教學(xué)實(shí)施過(guò)程中的難點(diǎn)是根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程。四、教學(xué)設(shè)計(jì)一、創(chuàng)設(shè)情境 導(dǎo)入新課1、相關(guān)關(guān)系的理解我們?cè)?jīng)研究過(guò)兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系：一個(gè)自變量對(duì)應(yīng)著唯一的一個(gè)函數(shù)值，這兩者之間是一種確定關(guān)系。生活中的任何兩個(gè)變量之間是不是只有確定關(guān)系呢如：學(xué)生成績(jī)與教師水平之

3、間存在著某種聯(lián)系，但又不是必然聯(lián)系，對(duì)于學(xué)生成績(jī)與教師水平之間的這種不確定關(guān)系，我們稱之為相關(guān)關(guān)系。這就是我們這節(jié)課要共同探討的內(nèi)容變量間的相關(guān)關(guān)系。生活中還有很多描述相關(guān)關(guān)系的成語(yǔ)，如：“虎父無(wú)犬子，“瑞雪兆豐年。通過(guò)學(xué)生熟悉的函數(shù)關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注生活中兩個(gè)變量之間還存在的相關(guān)關(guān)系。讓學(xué)生體會(huì)研究變量之間相關(guān)關(guān)系的重要性。感受數(shù)學(xué)來(lái)源于生活。二、初步探索，直觀感知1、根據(jù)樣本數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，直觀感知變量之間的相關(guān)關(guān)系。在研究相關(guān)關(guān)系前，先回憶一下函數(shù)的表示方法有哪些一一列表，畫(huà)圖象，求解析式。下面我們就用這些方法來(lái)結(jié)論：隨著年齡增長(zhǎng)，脂肪含量在增加。用x軸表示年齡，y軸表示脂肪。一組樣本數(shù)

4、據(jù)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)點(diǎn)。散點(diǎn)圖這個(gè)圖跟我們所學(xué)過(guò)的函數(shù)圖象有區(qū)別，它叫作散點(diǎn)圖。2、判斷正、負(fù)相關(guān)、線性相關(guān)：請(qǐng)觀察這4幅圖，看有什么特點(diǎn)脂肪含量403530251000800600圖1呈上升趨勢(shì)，圖2呈下降趨勢(shì)。4這就像函數(shù)中的散點(diǎn)圖這個(gè)圖跟我們所學(xué)過(guò)的函數(shù)圖象有區(qū)別，它叫作散點(diǎn)圖。2、判斷正、負(fù)相關(guān)、線性相關(guān)：請(qǐng)觀察這4幅圖，看有什么特點(diǎn)脂肪含量403530251000800600圖1呈上升趨勢(shì)，圖2呈下降趨勢(shì)。4這就像函數(shù)中的10200即一吊:從小瓠大，另0510152025 .3.0. 35 40、455055606510角度來(lái)解釋5線附近。我們稱圖1、2中的兩個(gè)33、4中的兩個(gè)變量是非線性

5、相關(guān)關(guān)系圖和減函數(shù)。即上解|.屬隊(duì)小.剎大，另大到小。對(duì)于圖工中的兩個(gè)變|的扁圖2中的兩個(gè)變量的相關(guān)關(guān)系，,稱為負(fù)相關(guān)9 t后面兩個(gè)圖很亂，前面兩個(gè)圖中點(diǎn)的分布呈條狀。從數(shù)學(xué)的 :即圖1、2中的點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直E量具有線性相關(guān)關(guān)系。這條直線叫做回歸直線。圖，個(gè)變量也從小到大，或從050100關(guān)系，我們稱它為正才相關(guān)。圖250100150AAA學(xué)生萬(wàn)案一AAA學(xué)生萬(wàn)案一第二種三、循序漸進(jìn)、延伸拓展1、找回歸直線師：下面我們?cè)賮?lái)看一下年齡與脂肪的散點(diǎn)圖，從整體上看，它們是線性相關(guān)的。如果可以求出回歸直線的方程，我們就可以清楚地了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性。這條直線可以作為兩個(gè)變量具

6、有線性相關(guān)關(guān)系的代表。能否畫(huà)出這條直線數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)1: 畫(huà)出回歸直線AAA學(xué)生萬(wàn)案一第一種多種方法展示總結(jié)：第二種方法好，因?yàn)樗械狞c(diǎn)離這條直線最近。從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離和最小。2、利用最小二乘法推導(dǎo)回歸系數(shù)公式假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù):31，片邑,y 3,兒。當(dāng)自變量X取x i =1, 2, ，n時(shí)，可以得到= bXi+ a，二1,2, n,它與實(shí)際收集到的乂之間的偏差是乂 - . = 乂 -嫵+ ai = 1, 2,n,這樣用n個(gè)偏差的和來(lái)刻畫(huà)“各點(diǎn)與此直線的整體偏差是比較合適的?？偟钠頽n為咨，偏差有正有負(fù)，易抵消，所以采用絕對(duì)值 習(xí)乂-V，由于帶絕對(duì)

7、值計(jì)算n2不方便所以換成平方，Q=凈yf =ybx-a2+為-bx,-a+為一嫵a2+-yn-bx-a現(xiàn)在的問(wèn)題就歸結(jié)為：當(dāng)。,b取什么值時(shí)Q最小。將上式展開(kāi)、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值時(shí)L-12I 將上式展開(kāi)、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值時(shí)L-12I 二, 一、/ 、二- L 二 | yXi - x X- - yQ = n pgy姬E上歹b三也距項(xiàng)2 =飛a = y - bx/?琪中-+咨2.I二 -gX- *Dnj 1?當(dāng) n 喜推導(dǎo)過(guò)程用到偏差的平方，由于平方又叫二乘方，所以這種使“偏差的和最小的方法叫“最小二乘法。3、求出回歸直線方程，并分析它的意義利用最小二乘法就可

8、以求出回歸系數(shù)，進(jìn)一步求出回歸方程。下面我們具體操作一下。我們先明確幾個(gè)符號(hào)的含義：X表示年齡，x是23, X是27,直到知是61。i從1到14,又表示脂肪，乂是，力是。也必表示年齡與脂肪的成績(jī)，氣之表示 年齡的平方52972915211681202524012500n1.=-24012500n1.=-輔X表示自變量年齡的平2809n1均數(shù)，y = - Vn白29163136乂表示因變量脂32493364n肪的平均數(shù)，*2：x表示自變量的36003721n平方和， X y.表示自變量與因34181i =1變量乘積的和。要求出a , b,必須先求出這些量。ny 1 V Y x =,人.一nn2n

9、222 Xi 一 nxa = ynn2n222 Xi 一 nxa = y - bx 二y = bx + a通過(guò)計(jì)算，求出了 a = -0.448, b = 0.5765=0.5765 x 0.448求出回歸直線方程有什么用呢表格中選取年齡x的一個(gè)值代入上述回歸直線的方程，看看得出的數(shù)據(jù)與真實(shí)數(shù)值之間的關(guān)系。估計(jì)值是29.272 ,與實(shí)際值28.2有偏差，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的結(jié)果回歸直線是估計(jì)出的，把。帶入肯定有誤差。試預(yù)測(cè)某人37歲時(shí)，他體內(nèi)的脂肪含量。并說(shuō)明結(jié)果的含義。代入計(jì)算V = 0.5765 X 37 - 0.448=20.882我們不能說(shuō)他的體內(nèi)脂肪含量的百分比一定是%只能說(shuō)他體內(nèi)的脂

10、肪含量在%，附近的可能性比較大。四、線性回歸分析思想在實(shí)際中的應(yīng)用總結(jié)：我們利用回歸直線對(duì)年齡與脂肪的關(guān)系做了上述分析，這種分析方法叫做線性回歸分析。利用這種分析方法可以對(duì)生活中的很多問(wèn)題進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。例2有一個(gè)同學(xué)家開(kāi)了一個(gè)小賣部，他為了研究氣溫對(duì)銷售熱飲的影響，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì),得到一個(gè)賣出的熱飲杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)比表：攝氏溫度/c-504712151923273136熱飲杯數(shù)15615013212813011610489937654(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖從散點(diǎn)圖中發(fā)現(xiàn)氣溫與熱飲銷售杯數(shù)之間關(guān)系的一般規(guī)律求回歸方程如果某天的氣溫是2C,預(yù)測(cè)這天賣出的熱飲杯數(shù)nn2數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)3：求出以下各式的值(n=11

11、)nn2n-1 LX = J X =n備a =亍-bx =y = bx + a (五)利用相關(guān)系數(shù)判斷線性相關(guān)程度利用最小二乘法求出回歸直線的方程后，可以對(duì)上面兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。是不是所有的相關(guān)關(guān)系都可以求出回歸直線的方程請(qǐng)大家觀察這4幅圖(五)利用相關(guān)系數(shù)判斷線性相關(guān)程度利用最小二乘法求出回歸直線的方程后，可以對(duì)上面兩個(gè)變量的關(guān)系進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。是不是所有的相關(guān)關(guān)系都可以求出回歸直線的方程請(qǐng)大家觀察這4幅圖對(duì)于r,假設(shè)E -1,-0.75,那么負(fù)相關(guān)很強(qiáng)，假設(shè)E 0.75,1，那么正相關(guān)很強(qiáng)，假設(shè) y (0.75, 0.30r e 0.30,0.75 )，那么相關(guān)性一般，假設(shè)E

12、-0.25,0.25 ，那么相關(guān)性較弱，不同的相關(guān)性可以從散點(diǎn)圖上直觀地反應(yīng)出來(lái)，觀察這幾幅散點(diǎn)圖，判斷圖中的兩個(gè)變一一量的相關(guān)關(guān)系的強(qiáng)弱。圖1、2正線性相關(guān)，圖1中的點(diǎn)密集，相關(guān)性比圖2好。利用相關(guān)系數(shù)也可以看出相關(guān)性，圖1中r二接近1,圖2中r二，所以可以總結(jié)出相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大，線性相關(guān)關(guān)系就越強(qiáng)。五、歸納總結(jié)，內(nèi)化知識(shí)回歸直線方程的求法：先判斷變量是否線性相關(guān)假設(shè)線性相關(guān)，利用公式計(jì)算出。、b利用回歸方程對(duì)生活實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)高考統(tǒng)計(jì)部分線性回歸方程具體如何應(yīng)用線性回歸方程為$ = bx + a的求法:11 先求變量X的平均值，既尤=-叫+ X2 + % + + xn22求變量

13、J的平均值，既y = 乂 + y2 + % + ynn3求變量X的系數(shù)b，有兩個(gè)萬(wàn)法X。無(wú)乂刃法ib=牛題目給出不用記憶 x-無(wú)2i =1需理解并會(huì)代入數(shù)據(jù)_ 01 無(wú)* 刃+。2 無(wú)為刃+。 無(wú)義刃X1 X 2 + x2 x 2 + . + xn x 2需理解并會(huì)代入數(shù)據(jù)nZ 氣無(wú)叫刃法2b =牛題目給出不用記憶 無(wú)2i=1也* 也* + x 4 + .%義_庶.y-蚌 + x +.+x - nx 2這個(gè)公式需要自己記憶，稍微簡(jiǎn)單些4求常數(shù)a ,既a = y-bxy = bx-a y與yy = bx-a y與y不做區(qū)分例：已知凡y之間的一組數(shù)據(jù):012313571小-、解：1先求變量X的平均值，既x =彳0 +1 + 2 + 3 = 1.5(2)1- f ，求變量J的平均值，既y = 4(1 + 3 + 5 + 7) = 4(2)(3)求變量(3)求變量X的系數(shù)b，有兩個(gè)萬(wàn)法%了 乂y+ %了為?+%工羽y+氣了為y(0 -1.5)(1 - 4) + (1 -1.5)(3 - 4) + (2 -1.5)(5 - 4) + (3 -1.5)(7 - 4) 5, , g 仔+ x yg 仔+ x y2 + .Mn 義卜心 yP x1 + 1x 3 + 2 x 5 + 3 x 7