同濟(jì)高等數(shù)學(xué)第七版上冊(cè)習(xí)題全解指南

1、College Mathematics Guidance eries 大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)叢書(shū)上冊(cè)同濟(jì)第七版同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編ollege athematics uidance eries 大學(xué)蠢學(xué)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)叢書(shū)習(xí)題全解指南上冊(cè)同濟(jì)第七版hematics uidance eries輔暴叢肩GAODENG SHUXUE XITI QUANJIE ZHINAN內(nèi)容提要本書(shū)是與同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫(xiě)的高等數(shù)學(xué)（第七版）相配套的學(xué) 習(xí)輔導(dǎo)書(shū)，由同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系的教師編寫(xiě)。本書(shū)內(nèi)容由三部分組成，第一 部分是按高等數(shù)學(xué)（第七版）（上冊(cè)）的章節(jié)順序編排，給出習(xí)題全 解,部分題目在解答之后對(duì)該類(lèi)題的解法作了小結(jié)、歸納，有的

2、提供了多種 解法；第二部分是全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題選解，所選擇的 試題以工學(xué)類(lèi)為主，少量涉及經(jīng)濟(jì)學(xué)類(lèi)試題；第三部分是同濟(jì)大學(xué)高等數(shù) 學(xué)試卷選編以及考題的參考解答。本書(shū)對(duì)教材具有相對(duì)的獨(dú)立性，可為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的工科和其他非數(shù) 學(xué)類(lèi)專(zhuān)業(yè)學(xué)生以及復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)準(zhǔn)備報(bào)考碩士研究生的人員提供解題指 導(dǎo),也可供講授高等數(shù)學(xué)的教師在備課和批改作業(yè)時(shí)參考。圖書(shū)在版編目（C I P）數(shù)據(jù)中國(guó)版本圖弓高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南：同濟(jì)第7版.上冊(cè)/同濟(jì) 大學(xué)數(shù)學(xué)系編北京:高等教育出版社,2014.7中國(guó)版本圖弓I.高n.同題解IV.I.高n.同題解IV.013 -44策劃編輯王強(qiáng)責(zé)任編輯于麗娜特約編輯張讓讓封面

3、設(shè)計(jì)王凌波版式設(shè)計(jì)于婕插圖繪制杜曉丹責(zé)任校對(duì)劉麗嫻責(zé)任印制朱學(xué)忠出版發(fā)行高等教育出版社社出版發(fā)行高等教育出版社社址北京市西城區(qū)德外大街4號(hào)郵政編碼100120印刷高教社（天津）印務(wù)有限公司開(kāi)本787mm x960mm 1/16印張25.25字?jǐn)?shù)460千字購(gòu)書(shū)熱詢(xún)電話(huà)400 -810 -0598 網(wǎng) 址 http：/www. hep. edu. cn http：/www. hep. coin, cn 網(wǎng)上訂購(gòu) http:/www. ltindraco. com http:/www. landraco. com. cn 2014年7月第1版2014年7月第1次印刷36.

4、70 元次次價(jià)版印定本書(shū)如有缺頁(yè)、倒頁(yè)、脫頁(yè)等質(zhì)量問(wèn)題，請(qǐng)到所購(gòu)圖書(shū)銷(xiāo)售部門(mén)聯(lián)系調(diào)換 版權(quán)所有侵權(quán)必究物料號(hào)39691 -00由同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編寫(xiě)的高等數(shù)學(xué)（第七版）已作為“十二五”普通高等 教育本科國(guó)家級(jí)規(guī)劃教材于2014年正式出版。本書(shū)是高等數(shù)學(xué)（第七版）的 配套用書(shū)，主要是為學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的大學(xué)生以及復(fù)習(xí)高等數(shù)學(xué)準(zhǔn)備報(bào)考碩士研 究生的人員提供一本解題指導(dǎo)的參考書(shū)，也可供講授高等數(shù)學(xué)的教師在備課和 批改作業(yè)時(shí)參考。本書(shū)內(nèi)容由三部分組成，第一部分是高等數(shù)學(xué)（第七版）的習(xí)題全解，包 括各章的習(xí)題與總習(xí)題及解答。在解答中，有的題在解答之后，以注釋的形式對(duì) 該類(lèi)題的解法作了歸納小結(jié)，有的題提供了常用

5、的具有典型意義的多種解法。 第二部分是全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題選解，包括函數(shù)、極限、連續(xù)， -元函數(shù)微分學(xué)，一元函數(shù)積分學(xué)，微分方程，空間解析幾何與向量代數(shù)，多元函 數(shù)微分學(xué)，多元函數(shù)積分學(xué)，無(wú)窮級(jí)數(shù)等八項(xiàng)內(nèi)容，每項(xiàng)選編的題量在30題左 右，其中不乏近幾年入學(xué)統(tǒng)一考試的試題。在每道試題的前面都注明了試題的 年份及類(lèi)別，如（2010. I ）表示為2010年第一類(lèi)考題。所選擇的試題以工科類(lèi) 為主，少量涉及經(jīng)濟(jì)學(xué)類(lèi)試題，每道試題都給出了解題的思路與方法，有的還給 出了多種解法，以供讀者參考。第三部分是同濟(jì)大學(xué)高等數(shù)學(xué)試卷選編，這部分 已作了全部更新，按上、下冊(cè)內(nèi)容，選了期中、期末各兩套試

6、卷，并提供了試題的 參考解答。本書(shū)由同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系的教師編寫(xiě)，其中第一部分第一、九章，第二部分 （一）、（二）、（六）由邱伯騶完成；第一部分第二、三、八章由徐建平完成；第一部 分第四、五、六章，第二部分（三）由朱曉平完成；第一部分第七、十二章，第二部 分（四）、（八）由應(yīng)明完成；第一部分第十、十一章，第二部分（五）、（七）由郭鏡 明完成；第三部分由朱曉平完成。在使用本書(shū)時(shí)，建議讀者在個(gè)人學(xué)習(xí)、練習(xí)的基礎(chǔ)上，再加以參考、對(duì)照，找 出自己在知識(shí)掌握方面的不足，學(xué)習(xí)分析、解題的方法和思路，學(xué)會(huì)舉一反三，采 取這種方式參考本書(shū)，必能從中獲益。本書(shū)中存在的問(wèn)題，歡迎廣大專(zhuān)家、同仁 和讀者批評(píng)指正。編者二

7、O四年六月目錄高等數(shù)學(xué)（第七版）上冊(cè)習(xí)題全解第一章函數(shù)與極限3習(xí)題習(xí)題習(xí)題-3習(xí)題-4習(xí)題 習(xí)題 習(xí)題1 習(xí)題1 習(xí)題1-5-6-7-8-9-10習(xí)題1總習(xí)題一3162023272931映射與函數(shù)數(shù)列的極限函數(shù)的極限目錄高等數(shù)學(xué)（第七版）上冊(cè)習(xí)題全解第一章函數(shù)與極限3習(xí)題習(xí)題習(xí)題-3習(xí)題-4習(xí)題 習(xí)題 習(xí)題1 習(xí)題1 習(xí)題1-5-6-7-8-9-10習(xí)題1總習(xí)題一3162023272931映射與函數(shù)數(shù)列的極限函數(shù)的極限無(wú)窮小與無(wú)窮大極限運(yùn)算法則 極限存在準(zhǔn)則兩個(gè)重要極限無(wú)介小的比較 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)353941第二章導(dǎo)數(shù)與微分49習(xí)題2

8、_1導(dǎo)數(shù)概念49習(xí)題2-2函數(shù)的求導(dǎo)法則303022375755習(xí)題2-3 髙階導(dǎo)數(shù) 62 習(xí)題2-4 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 相關(guān)變化率 67 習(xí)題2-5 函數(shù)的微分 74總習(xí)題二79第三奈總習(xí)題二79第三奈微分屮仉定邱數(shù)的應(yīng)用 87習(xí)題3-1 微分中值定理87 習(xí)題3-2 洛必達(dá)法則 91 習(xí)題3-3 泰勒公式 95 習(xí)題3-4 函數(shù)的單調(diào)性與曲線(xiàn)的凹凸性99 習(xí)題3 -5函數(shù)的極值與最大值最小值109 習(xí)題3 -6 函數(shù)圖形的描繪 118 習(xí)題3 -7 曲率123 習(xí)題3-8 方程的近似解 126 總習(xí)題三129第四章不定積分第四章不定積分139總習(xí)題四第五章定積分習(xí)題5

9、- 1 習(xí)題5 總習(xí)題四第五章定積分習(xí)題5 - 1 習(xí)題5 -2習(xí)題5 -3習(xí)題5 -4習(xí)題5 -5184178178總習(xí)題五203第六章定積分的應(yīng)用216習(xí)題4-1不定積分的概念與性質(zhì) 139 習(xí)題4-2 換元積分法 144 習(xí)題4-3 分部積分法151 習(xí)題4 -4有理函數(shù)的積分156 習(xí)題4 -5 積分表的使用161定積190大 198反常積分的審斂法 r函數(shù)200習(xí)題6-2 定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用216 習(xí)題6 -3定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用229 總習(xí)題六233第七章微分方程第七章微分方程242習(xí)題7-1微分方程的基本概念 242 習(xí)題7 -2可分離變量的微分方程 245 習(xí)題7 -3

10、齊次方程251 習(xí)題7 -4 一階線(xiàn)性微分方程258 習(xí)題7 -5 可降階的髙階微分方程 266 習(xí)題7 -6髙階線(xiàn)性微分方程 習(xí)題7 -7常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程 習(xí)題7-8 常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程 習(xí)題7-9 歐拉方程295III習(xí)題7-10 常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組解法舉例 總習(xí)題七299306、全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題選解（一）函數(shù)極限連續(xù)323（二）一元函數(shù)微分學(xué)334（三）一元函數(shù)積分學(xué)350III習(xí)題7-10 常系數(shù)線(xiàn)性微分方程組解法舉例 總習(xí)題七299306、全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題選解（一）函數(shù)極限連續(xù)323（二）一元函數(shù)微分學(xué)334（三）一元函數(shù)積分學(xué)350

11、（四）微分方程 362379379380383高等數(shù)學(xué)（上）期中考試試卷（n） 飜383參考答案384（三）高等數(shù)學(xué)（上）期末考試試卷（I ） 387醐387 參考答案388（四）髙等數(shù)學(xué)（上）期末考試試卷（n） 391飜391參考答案392一、高等數(shù)學(xué)（第七版）上冊(cè)解一、高等數(shù)學(xué)（第七版）上冊(cè)解第一章函數(shù)與極限映射與函數(shù)&1.求下列函數(shù)的自然定義域:(1)y = -/3x + 2 ；(2)(3)y = J 1 - x2x(1)y = -/3x + 2 ；(2)(3)y = J 1 - x2x(4)(5)(7)(9)y = In (% + 1 );(1)3% +20=%3(6)1()=e .，

12、即:+ 00y = arcsin ( x - 3 );y - tan(x + 1)；zz1y = y/5 - x + arctan ； xoo,-l)U(-l,l)Uoo,-l)U(-l,l)U(l,+oo).x20 =x 0 且 Ixl 1 ,即定義域?yàn)?l，0)U(0,l.1 -X2Q1，即定義域?yàn)?- I，k e z|.(2)x_0 且 14 x2 0 # lxI 0 =x -1，即定義域?yàn)?- l,+oo ).x#0,即定義域?yàn)?-x ,0) U(0, + oo ).注本題是求函數(shù)的自然定義域，一般方法是先寫(xiě)出構(gòu)成所求函數(shù)的各個(gè)簡(jiǎn)單 函數(shù)的定義域，冉求出這些定義域的交集，即得所求定義域

13、.下列簡(jiǎn)單函數(shù)及其定義 域是經(jīng)常用到的：y -0 ；y = log x,xo；第一章函數(shù)與極限 dVr = d7 = 1TX d7dh0 % 1, |dhI，d7=h + ydh1 % 21TirhAhd7o_irh，4y01 h 定價(jià)36.70元I f( x) - A I ./x2 + 1 + X1I + x當(dāng) I a I 1 或 x = - 1 時(shí)，1 ,當(dāng)X = I時(shí).X- 1為分段函數(shù)的分段點(diǎn)-1處，因?yàn)?( -1 ) =/( -1 + ) =/( -1)=0,所以 x= -1 為連續(xù)點(diǎn)；x = l 處，因?yàn)?/(1 - ) = 2 ,/(1 + ) = 0 ,/( 1 - ) /(

14、1 + ),所以* = 1為/(幻的間斷點(diǎn)，屬第一類(lèi)間斷點(diǎn)，是跳躍間斷點(diǎn).612.證明k.(excos %)(4) = (e)(4)cos % + 4(e)(cos %) zex ) ( cos 幻+- ( ex ) 7 ( cos x) w + ex ( cos a; ) (4)=excos x 4ezsin x + 6ex ( - cos x) + 4exsin x + excos x=-4excos x.1，+)，)利用圖形的對(duì)稱(chēng)性，作出圖形如圖3-10.(1)所給函數(shù)y = e-2的定義域?yàn)?-oo，+00 ),而y= 2 ( a; 1 ) e (x 1 )2，( x + 1 ) 2

15、- 3 /x + 1 + 3 In | 1 + yx + 1 | + C.id,I + 122%2 - 2)/x2 - 2 -o1 = C2 + 2C(,故 = 0 , C2 =1 ,y = xe2x.由 y - C sin(% - C2 ),得yf = C cos( x - C2).將x = 7?，y = 1及y =0代人以上兩式，得f 1 = CSin(Tr - C2) = C| sin C2 ,1() = Cj cos( it - C2 ) = - Cj cos C2.由2 +2得C； =1 ,不妨取C, =1，由式得C2 =2r+f,故即y * = cos x + sin X.故原方程的通解為 5yOJOJ1 In( 1 + ex ) iln( 1 + ex )，.+ = Inn = Inn xLx J x 1 + e + ln（l +ex） -x=lim In ex （ 1 + e x ） - % = lim ln（ 1 + e -* ） = 0 ,X