高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例-兩角和與差的正弦

1、42 兩角和與差的正弦 教材分析在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當(dāng)，將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種負(fù)擔(dān)針對這個特點，應(yīng)充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生理解公式的形成過程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式同時，通過練習(xí)使學(xué)生能夠熟練地運用這些公式當(dāng)然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式通過誘導(dǎo)公式sin（） sin，sin（ ）cos（為任意角），可以實現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（）（）cos（），sin（）（）cos（）.借助于C+和C-即可推導(dǎo)出公式S+和S-C+，C-，S+和S-四個公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角，的正、余弦形式不同點為公式S+，S-兩邊的運算符

2、號相同，C+與C-兩邊的運算符號相反S+與S-中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而C-與C+的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積任務(wù)分析這節(jié)課計劃劃采用啟啟發(fā)引導(dǎo)導(dǎo)和講練練結(jié)合的的教學(xué)方方式，對對三角函函數(shù)中的的每一個個公式要要求學(xué)生生會推導(dǎo)導(dǎo)，會使使用，要要求不但但掌握公公式的原原形，還還應(yīng)掌握握它們的的變形公公式，會會把“aasinnbbcoss”類類型的三三角函數(shù)數(shù)化成一一個角的的三角函函數(shù)在在課堂教教學(xué)中，將將采用循循序漸進(jìn)進(jìn)的原則則，設(shè)計計有一定定梯度的的題目，以以利于培培養(yǎng)學(xué)生生通過觀觀察、類類比的方方法去分分析問題題和解決決問題的的能力，培培養(yǎng)學(xué)生生良好的的思維習(xí)習(xí)慣在在教學(xué)中中，及

3、時時提醒學(xué)學(xué)生分析析、探索索、化歸歸、換元元、類比比等常用用的基本本方法在在三角變變換中的的作用這節(jié)課課的重點點是準(zhǔn)確確、熟練練、靈活活地運用用兩角和和差的正正、余弦弦公式進(jìn)進(jìn)行三角角函數(shù)式式的求值值、化簡簡和證明明，難點點是公式式的變形形使用和和逆向使使用教學(xué)目標(biāo)1. 能用用兩角差差的余弦弦公式導(dǎo)導(dǎo)出兩角角和的余余弦公式式，兩角角和差的的正弦公公式，并并了解各各個公式式之間的的內(nèi)在聯(lián)聯(lián)系2. 能運運用兩角角和差的的正、余余弦公式式進(jìn)行三三角函數(shù)數(shù)式的化化簡、求求值和證證明3. 通過過公式的的推導(dǎo)過過程，培培養(yǎng)學(xué)生生的邏輯輯思維能能力，同同時滲透透數(shù)學(xué)中中常用的的換元、整整體代換換等思想想方法

4、教學(xué)過程一、問題情情景如圖42-1，為為了保持持在道路路拐彎處處的電線線桿OBB的穩(wěn)固固性，要要加一根根固定鋼鋼絲繩，要要求鋼絲絲繩與地地面成775角角已知知電線桿桿的高度度為5mm，問：至少要要準(zhǔn)備多多長的鋼鋼絲繩？設(shè)電線桿與與地面接接觸點為為B，頂頂端為OO，鋼絲絲繩與地地面接觸觸點為AA在RtAAOB中中，如果能求出出sinn75的值，那那么即可可求出鋼鋼絲繩的的長度75角可表表示成兩兩個特殊殊角455與330的的和，那那么siin755的值值能否用用這兩特特殊角的的三角函函數(shù)值來來表示呢呢？二、建立模模型1. 探究已知coss（）cosscoossinnsiin，則則sinn（），ss

5、in（）中中的角及及函數(shù)名名與coos（）和和coss（）有有何關(guān)系系？通過誘導(dǎo)公公式可實實現(xiàn)正、余余弦函數(shù)數(shù)的轉(zhuǎn)換換，即ssin（）推導(dǎo)以上公公式的方方法并不不是唯一一的，其其他推導(dǎo)導(dǎo)方法由由學(xué)生課課后自己己探索3. 分析析公式的的結(jié)構(gòu)特特征S+與與S-中兩兩邊的加加減運算算符號相相同，右右邊為與角角的異名名三角函函數(shù)的乘乘積應(yīng)應(yīng)特別注注意公式式兩邊符符號的差差異三、解釋應(yīng)應(yīng)用例題一已知sinn，且為第四四象限角角，求ssin（）cos（）的值分析：本題題主要訓(xùn)訓(xùn)練公式式S-與SS+的使用用由sin及及為第第四象限限角，可可求出ccos，再再代入公公式求值值練習(xí)一分析：1. （11）強(qiáng)調(diào)調(diào)公

6、式的的直接運運用，尋尋找所求求角與已已知角之之間的關(guān)關(guān)系，（330）30，再利利用已知知條件求求出coos（330）2. 應(yīng)注注意三角角形的內(nèi)內(nèi)角之間間的關(guān)系系，C（AAB），再再由誘導(dǎo)導(dǎo)公式ccos（）coos，要要求coos即即轉(zhuǎn)化為為求ccos（AAB）3. 應(yīng)注注意分析析角之間間的關(guān)系系，2（）（），因因此，求求coss2還還應(yīng)求出出sinn（）和和coss（）解此題題時，先先把與看看成單角角，然后后把2用這兩兩個單角角來表示示4. 該題題是在已已有知識識的基礎(chǔ)礎(chǔ)上進(jìn)一一步深化化，引導(dǎo)導(dǎo)學(xué)生分分三步進(jìn)進(jìn)行：（11）求出出角的某某個三角角函數(shù)值值（22）確定定角的范范圍（33）確定定角的

7、值值其中中，求的的某個三三角函數(shù)數(shù)值時，應(yīng)應(yīng)分清是是求coos（）還還是求ssin（）已知向量（3，44），若若將其繞繞原點旋旋轉(zhuǎn)455到的位位置，求求點P（x，y）的坐坐標(biāo)解：設(shè)OP，OPP55，cos，siinx55coss（45）55（coosccos445sinnsiin455），y5ssin（455）5（ssincoss45coosssin445），P ，已知向量（4，33），若若將其繞繞原點旋旋轉(zhuǎn)600，1355到11，2的位置置，求點點P1，P2的坐標(biāo)標(biāo)例題三求下列函數(shù)數(shù)的最大大值和最最小值（1）ycossssinxx（2）y3siinx4coosx（3）yasiinxbcoos

8、x，（）注：（1），（22）為一一般性問問題，是是為（33）作鋪鋪墊，推推導(dǎo)時，要要關(guān)注解解題過程程，以便便讓學(xué)生生充分理理解輔助助角滿滿足的條條件（3）解：考查以以（，）為坐坐標(biāo)的點點P（，），設(shè)設(shè)以O(shè)PP為終邊邊的一個個角為，則練習(xí)三求下列函數(shù)數(shù)的最大大值和最最小值（1）ycossxssinxx（2）ysinnxssin（xx）（3）已知知兩個電電流瞬時時值函數(shù)數(shù)式分別別是I11122sinn（tt455），II2100sinn（tt300），求求合成的的正弦波波III1I2的函數(shù)數(shù)式四、拓展延延伸出示兩道延延伸性問問題，引引導(dǎo)學(xué)生生獨立思思考，然然后師生生共同解解決1. 已知知三個電電流

9、瞬時時值的函函數(shù)式分分別為II15ssint，II26ssin（t660），II3100sinn（tt600），求求它們合合成后的的電流瞬瞬時值的的函數(shù)式式III1I2I3，并指指出這個個函數(shù)的的振幅、初初相和周周期2. 已知知點P（xx，y），與與原點的的距離保保持不變變繞原點點旋轉(zhuǎn)角到點點P（xx，yy）（如如圖422-2），求求證：點評這篇案例設(shè)設(shè)計完整整，思路路清晰案例首首先通過過問題情情景闡述述了兩角角和、差差正弦公公式產(chǎn)生生的背景景，然后后引導(dǎo)學(xué)學(xué)生體會會公式的的形成過過程，進(jìn)進(jìn)一步理理解和分分析化歸歸、換元元、類比比等數(shù)學(xué)學(xué)常用思思想方法法在三角角變換中中的作用用例題題的設(shè)計計由淺入入深，完完整，全全面“拓拓展延伸伸”的設(shè)設(shè)計有新新意，有有一定深深度，為為學(xué)生的的數(shù)學(xué)