高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計案例-冪函數(shù)

1、13 冪函數(shù)教材分析冪函數(shù)是基本初等函數(shù)之一，是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念與函數(shù)性質(zhì)之后，全面掌握有理指數(shù)冪和根式的基礎(chǔ)上來研究的一種特殊函數(shù)，是對函數(shù)概念及性質(zhì)的應(yīng)用從教材的整體安排看，學(xué)習(xí)了解冪函數(shù)是為了讓學(xué)生進(jìn)一步獲得比較系統(tǒng)的函數(shù)知識和研究函數(shù)的方法，為今后學(xué)習(xí)三角函數(shù)等其他函數(shù)打下良好的基礎(chǔ)在初中曾經(jīng)研究過yx，yx2，yx1三種冪函數(shù)，這節(jié)內(nèi)容，是對初中有關(guān)內(nèi)容的進(jìn)一步的概括、歸納與發(fā)展，是與冪有關(guān)知識的高度升華知識的安排環(huán)環(huán)緊扣，非常緊湊，充分體現(xiàn)了知識的發(fā)生、發(fā)展過程對冪函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)的理論研究，在研究過程中得出相應(yīng)的結(jié)論固然重要，但更為重要的是，要讓學(xué)生了解系統(tǒng)研究一類函數(shù)的方法

2、這節(jié)課要特別讓學(xué)生去體會研究的方法，以便能將該方法遷移到對其他函數(shù)的研究教學(xué)目標(biāo)1. 通過過對冪函函數(shù)概念念的學(xué)習(xí)習(xí)以及對對冪函數(shù)數(shù)圖像和和性質(zhì)的的歸納與與概括，讓讓學(xué)生體體驗數(shù)學(xué)學(xué)概念的的形成過過程，培培養(yǎng)學(xué)生生的抽象象概括能能力2. 使學(xué)學(xué)生理解解并掌握握冪函數(shù)數(shù)的圖像像與性質(zhì)質(zhì)，并能能初步運(yùn)運(yùn)用所學(xué)學(xué)知識解解決有關(guān)關(guān)問題，培培養(yǎng)學(xué)生生的靈活活思維能能力任務(wù)分析學(xué)生對抽象象的冪函函數(shù)及其其圖像缺缺乏感性性認(rèn)識，不不能夠在在理解的的基礎(chǔ)上上來運(yùn)用用冪函數(shù)數(shù)的性質(zhì)質(zhì)為此此，在教教學(xué)過程程中讓學(xué)學(xué)生自己己去感受受冪函數(shù)數(shù)的圖像像和性質(zhì)質(zhì)是這一一堂課的的突破口口因此此，這節(jié)節(jié)課的難難點(diǎn)是冪冪函數(shù)圖

3、圖像和性性質(zhì)的發(fā)發(fā)現(xiàn)過程程，教學(xué)學(xué)重點(diǎn)是是冪函數(shù)數(shù)的性質(zhì)質(zhì)及運(yùn)用用首先先，從學(xué)學(xué)生已經(jīng)經(jīng)掌握的的最簡單單的冪函函數(shù)yx，yyx22和yx-11的知識識出發(fā)，利利用實例例，由師師生共同同歸納、總總結(jié)出冪冪函數(shù)的的定義，認(rèn)認(rèn)清冪函函數(shù)的特特點(diǎn)，深深刻理解解其定義義域其其次，舉舉出幾個個簡單的的冪函數(shù)數(shù)引導(dǎo)學(xué)學(xué)生從定定義出發(fā)發(fā)研究其其定義域域、值域域、奇偶偶性、單單調(diào)性、是是否過公公共定點(diǎn)點(diǎn)這幾個個性質(zhì)，讓讓學(xué)生自自己去探探究，把把主動權(quán)權(quán)交給學(xué)學(xué)生然然后，再再由學(xué)生生自己結(jié)結(jié)合性質(zhì)質(zhì)去畫冪冪函數(shù)的的圖像，讓讓學(xué)生在在獲得一一定的感感性認(rèn)識識的基礎(chǔ)礎(chǔ)上，通通過歸納納、比較較上升為為理性認(rèn)認(rèn)識，從從而

4、形成成對概念念與性質(zhì)質(zhì)的完整整認(rèn)識最后通通過例題題3與練練習(xí)，讓讓學(xué)生利利用圖像像與性質(zhì)質(zhì)，比較較兩個數(shù)數(shù)的大小小，從而而提高學(xué)學(xué)生獲取取知識的的能力教學(xué)設(shè)計一、問題情情景下列問題中中的函數(shù)數(shù)各有什什么共同同特征？（1）如果果張紅購購買了每每千克11元的蔬蔬菜w（kkg），那那么她應(yīng)應(yīng)支付ppw元元這里里p是ww的函數(shù)數(shù)（2）如果果正方形形的邊長長為a，那那么正方方形的面面積為SSa22這里里S是aa的函數(shù)數(shù)（3）如果果立方體體的邊長長為a，那那么立方方體的體體積為VVa33這里里V是aa的函數(shù)數(shù)（4）如果果一個正正方形場場地的面面積為SS，那么么這個正正方形的的邊長為為a這里aa是S的的函數(shù)

5、（5）如果果某人tt（s）內(nèi)內(nèi)騎車行行進(jìn)了11km，那那么他騎騎車的平平均速度度為vt-11（kmms）這里vv是t的的函數(shù)由學(xué)生討論論，總結(jié)結(jié)，即可可得出：pww，sa2，a，vt-11都是自自變量的的若干次次冪的形形式教師指出：我們把把這樣的的都是自自變量的的若干次次冪的形形式的函函數(shù)稱為為冪函數(shù)數(shù)二、建立模模型定義：一般般地，函函數(shù)yxa叫作冪冪函數(shù)，其其中x是是自變量量，a是是實常數(shù)數(shù)教師指出：由于無無理指數(shù)數(shù)冪的意意義我們們還沒學(xué)學(xué)到，因因此目前前只討論論a是有有理數(shù)的的情況思考討論：在冪函函數(shù)yxn中，當(dāng)當(dāng)n00時，其其表達(dá)式式怎樣？定義域域、值域域、圖像像如何？教師指出：此時yy

6、x001；定義域域為（，00）（0，），特特別強(qiáng)調(diào)調(diào)，當(dāng)xx為任何何非零實實數(shù)時，函函數(shù)的值值均為11，圖像像是從點(diǎn)點(diǎn)（0，11）出發(fā)發(fā)，平行行于x軸軸的兩條條射線，但但點(diǎn)（00，1）要要除外三、解釋應(yīng)應(yīng)用例題一1. 求下下列函數(shù)數(shù)的定義義域解：（1）RR（22）R（33）xxx0（44）xxxR且x0）（5）xxx02. 求下下列函數(shù)數(shù)的定義義域，并并判斷函函數(shù)的奇奇偶性解：（1）xxxR且x0），偶函函數(shù)（22）R，非非奇非偶偶函數(shù)（3）RR，奇函函數(shù)（44）xxx0，非非奇非偶偶函數(shù)問題探究究1. 對于于冪函數(shù)數(shù)yxxa，討論論當(dāng)a1，22，3，1時的函數(shù)性質(zhì)表13-11以上問題給給學(xué)生

7、留留出充分分時間去去探究，教教師引導(dǎo)導(dǎo)學(xué)生從從函數(shù)解解析式出出發(fā)來研研究函數(shù)數(shù)性質(zhì)2. 在同同一坐標(biāo)標(biāo)系中，畫畫出yx，yyx22，yx3，yy，yyx-1的圖圖像，并并歸納出出它們具具有的共共同性質(zhì)質(zhì)教師講評：冪函數(shù)數(shù)的性質(zhì)質(zhì)（1）所有有的冪函函數(shù)在（00，）上都都有定義義，并且且圖像都都過點(diǎn)（11，1）（2）如果果a00，則冪冪函數(shù)的的圖像通通過原點(diǎn)點(diǎn)，并在在區(qū)間0，）上上是增函函數(shù)（3）如果果a00，則冪冪函數(shù)在在（0，）上上是減函函數(shù)，在在第一象象限內(nèi)，當(dāng)當(dāng)x從右右邊趨向向于原點(diǎn)點(diǎn)時，圖圖像在yy軸右方方無限地地趨近yy軸；當(dāng)當(dāng)趨向向于時，圖圖像在xx軸上方方無限地地趨近軸思考討論：（

8、1）在在冪函數(shù)數(shù)yxxa中，當(dāng)當(dāng)a是正正偶數(shù)時時，這一一類函數(shù)數(shù)有哪種種重要性性質(zhì)？（2）在冪冪函數(shù)yyxaa中，當(dāng)當(dāng)a是正正奇數(shù)時時，這一一類函數(shù)數(shù)有哪種種重要性性質(zhì)？教師講評：（1）在在冪函數(shù)數(shù)yxxa中，當(dāng)當(dāng)a是正正偶數(shù)時時，函數(shù)數(shù)都是偶偶函數(shù)，在在第一象象限內(nèi)是是增函數(shù)數(shù)（2）在冪冪函數(shù)yyxaa中，當(dāng)當(dāng)a是正正奇數(shù)時時，函數(shù)數(shù)是奇函函數(shù)，在在第一象象限內(nèi)是是增函數(shù)數(shù)例題二比較下列各各題中兩兩個值的的大小解：（1）冪函數(shù)yx1.5是增函數(shù)，又0.70.6，0.71.50.61.5（2）冪冪函數(shù)yy是減減函數(shù)，又又2.221.8，注意：由于于學(xué)生對對冪函數(shù)數(shù)還不是是很熟悉悉，所以以在講評

9、評中要刻刻意體現(xiàn)現(xiàn)出冪函函數(shù)yx1.5與yy的圖圖像的畫畫法，即即再一次次讓學(xué)生生體會根根據(jù)解析析式來畫畫圖像解解題這一一基本思思路練習(xí)比較下列各各題中兩兩個值的的大小四、拓展延延伸1. 如果果把函數(shù)數(shù)圖像向向上凸的的函數(shù)稱稱為凸函函數(shù)，把把函數(shù)圖圖像向下下凸的函函數(shù)稱為為凹函數(shù)數(shù)，對于于冪函數(shù)數(shù)yxxa，x0，），當(dāng)當(dāng)a00且a1時，研研究其凸凸凹性2. 研究究冪指數(shù)數(shù)與冪函函數(shù)奇偶偶性的關(guān)關(guān)系3. 研究究冪指數(shù)數(shù)與冪函函數(shù)單調(diào)調(diào)性的關(guān)關(guān)系（以上問題題的探究究可以借借助計算算機(jī)來完完成）點(diǎn)評這篇案例的的突出特特點(diǎn)是，緊緊緊圍繞繞教學(xué)目目標(biāo)，遵遵循直觀觀式、啟啟發(fā)式原原則而展展開在在這節(jié)課課中，教教師放手手讓學(xué)生生去探索索與研究究，并在在一旁適適時地引引導(dǎo)學(xué)生生根據(jù)幾幾個實例例函數(shù)的的公共特特點(diǎn)歸納納、總結(jié)結(jié)冪函數(shù)數(shù)的定義義，對幾幾個特殊殊冪函數(shù)數(shù)的性質(zhì)質(zhì)先進(jìn)行行初步探探索，再再根據(jù)研研究的結(jié)結(jié)果結(jié)合合描點(diǎn)作作圖畫出出冪函數(shù)數(shù)的圖像像，讓學(xué)學(xué)生觀察察和分析析所作的的圖像，歸歸納得出出圖像特特征，并并由圖像像特征得得到相應(yīng)應(yīng)的函數(shù)數(shù)性質(zhì)，讓讓學(xué)生充充分體會會系統(tǒng)研研究函數(shù)數(shù)的方法法整個個教學(xué)過過程的絕絕大部分分時間都都給了學(xué)學(xué)生，讓讓學(xué)生動動腦