第二章隨機(jī)變量的分布和數(shù)字特征習(xí)題課

1、.第二章 隨機(jī)向量的分布和數(shù)字特征的習(xí)題課一：選擇題：1. 若隨機(jī)變量的分布函數(shù)為與則a,b取值為 時(shí),可使F=a-b為某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。A.3/5,-2/5 B.2/3,2/3 C.-1/2,3/2 D.1/2,-3/2分析：由分布函數(shù)在的極限性質(zhì),不難知a,b應(yīng)滿足a-b=1,只有選項(xiàng)A正確。 答案 選：A2. 設(shè) X,且 = ,其分布函數(shù)為F,則對任意實(shí)數(shù)a, F=。 A.1-dB.-dC.F D.2F-1分析：是偶函數(shù),可結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布來考慮；dFF；F0.5；FF=1答案 選：B3.設(shè)XN,則隨著的增大,P|X-| 。A.單調(diào)增大 B.單調(diào)減少 C.保持不變 D.增減不定 答案

2、 選：C4.設(shè)隨機(jī)變量X與Y均服從正態(tài)分布,XN,YN,記PX4=,PY+5=,則 正確。A.對任意實(shí)數(shù),均有= B. 對任意實(shí)數(shù),均有答案 選： A5. 設(shè)是隨機(jī)變量且,則對任意常數(shù),成立。分析：答案 選：由,得顯然二：題空題1.設(shè)在每次伯努里試驗(yàn)中,事件A發(fā)生的概率均為p,則在n次伯努里試驗(yàn)中,事件A至少發(fā)生一次的概率為 ,至多發(fā)生一次的概率為 。答案 填：1-; +np由伯努里概型的概率計(jì)算公式,據(jù)題意可知,事件A至少發(fā)生一次的概率為或,事件A至多發(fā)生一次的概率為=+2. 設(shè)隨機(jī)變量Y在區(qū)間1,6上服從均勻分布,則方程有實(shí)根的概率為 。分析：方程有實(shí)根當(dāng)且僅當(dāng)0,即|Y|2,則P=d=0

3、.8 答案 填：0.83. 設(shè) X ,對X的三次獨(dú)立重復(fù)觀察中, 事件 X 0.5出現(xiàn)的次數(shù)為隨機(jī)變量Y,則PY=2=。分析：PX0.5=0.25,Y服從B分布,則PY=2=答案 填: 4. 設(shè)XB,YB,且PX1=,則PY1=。分析：由PX1=1-PX=0=,可得p=,則PY1=1-PY=0= 答案 填：5.設(shè)隨機(jī)變量X服從均值為10,標(biāo)準(zhǔn)差為0.02的正態(tài)分布,設(shè)x為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù),已知2.5=0.993 8,則X 落在區(qū)間9.95,10.05內(nèi)的概率為 。分析：P9.95x10.05=P9.95-10 x-1010.05-10=P-2.5/0.022.5=-= 2-1=2*0.9938

4、-1=1.9876-1=0.9876答案 填：0.98766. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 若k使得P X k =2/3,則k的取值范圍是 。分析：答案 填：1,37. 設(shè)隨機(jī)變量Xf=,-x+,則X F=。答案 填： 分析：當(dāng)x0時(shí),F=dd當(dāng)x0時(shí),F=ddd8. 設(shè)XU,則Y=在內(nèi)的概率密度 。答案 填：分析：當(dāng)0y4時(shí),此時(shí),=注：由于Y=在內(nèi)是單調(diào)函數(shù),可直接用公式做！9.設(shè)X的分布函數(shù) ,則A=,P |x| =。答案 填：1； 10. 設(shè)X的分布函數(shù)F為：, 則X的概率分布為 。分析：其分布函數(shù)的圖形是階梯形,故x是離散型的隨機(jī)變量答案： P=0.4,P=0.4,P=0.2.11.設(shè)

5、隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)則 E=,=.分析：由X的概率密度函數(shù)可見XN,則E=1,=. 答案 填：1；.12. 設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布,且Z=3X-2, 則E=. 答案 填：4 13. 設(shè)XN且P2X4=0.3,則PX0= 。 即,則答案 填：0.214.設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,則 .分析：首先知道EX1,關(guān)鍵求Ee- 2X 答案 填：15. 設(shè)X表示10次獨(dú)立重復(fù)射擊命中目標(biāo)的次數(shù)且每次命中率為0.4,則= 。分析：XB,則答案 填：18.416.設(shè)隨機(jī)變量在區(qū)間上服從均勻分布；隨機(jī)變量則。答案 填：17.設(shè)一次試驗(yàn)的成功率為,進(jìn)行100此獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),當(dāng)時(shí) ,成功次

6、數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大,最大值為。解：據(jù)題意可知,即令,得且答案：18. 設(shè),則。解：。 答案 填：19. 設(shè)隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松Poisson分布,且已知,則。分析：參數(shù)為的泊松Poisson分布的期望和方差均為。由,得到E-3EX+2=1,2310答案 填：120.設(shè)隨機(jī)變量X的方差為2,則根據(jù)切比雪夫不等式有 。答案 填：21.設(shè),則利用切貝謝夫不等式可知 。 據(jù)切貝謝夫不等式：由,得答案：填三：計(jì)算題：1.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間2,5上服從均勻分布,求對X進(jìn)行的三次獨(dú)立觀測中,至少有兩次的觀測值大于3的概率。解：P=d=, 則所求概率即為2.設(shè)某儀器有三只獨(dú)立工作的同型號電子元件,其壽命單

7、位：小時(shí)均服從同一指數(shù)分布,其參數(shù)為1/600,求在儀器使用的最初200小時(shí)內(nèi),至少有一只電子元件損壞的概率。解：設(shè)隨機(jī)變量表示第i只元件的使用壽命,i=1,2,3,則P 200=d得所求概率為： 1 - 3. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù),求隨機(jī)變量Y=1-的概率密度函數(shù)。解：Y的分布函數(shù)為 =則 =注：由于是單調(diào)函數(shù),可直接用公式做！4. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度 = , x0,求Y=的概率密度。解：當(dāng)y1時(shí),0當(dāng)y1時(shí),由于,則知當(dāng)y1時(shí),=0, 當(dāng)y1時(shí),=注：由于Y=在內(nèi)是單調(diào)函數(shù),可直接用公式做！5. 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布為P=0.2,P=0.3,P=0.5,寫出其分布函數(shù)F。 答案

8、：當(dāng)x1時(shí),F=0; 當(dāng)1x2時(shí),F=0.2; 當(dāng)2x3時(shí),F=0.5;當(dāng)3x時(shí),F=16.設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間1,2上服從均勻分布,求Y=的概率密度f。答案：當(dāng)時(shí),f=,當(dāng)y在其他范圍內(nèi)取值時(shí),f=0.7.對某地抽樣調(diào)查的結(jié)果表明,考生的外語成績按百分制計(jì)近似服從正態(tài)分布,平均72分,且96分以上的考生數(shù)占2.3%。求考生的外語成績在60分至84分之間的概率。解：設(shè)X表示考生的外語成績,且XN,則P96=1-P=1-=0.023,即 =0.977,查表得=2,則 =12,即且XN,故P=P=2-1=0.682excel計(jì)算的函數(shù)為 NORMINV8. 設(shè)測量誤差XN,求在100次獨(dú)立重復(fù)測量中

9、至少有三次測量誤差的絕對值大于19.6的概率,并用泊松分布求其近似值精確到0.01。解：由于XN,則P=1- P=21-=0.05且顯然YB,故P=1- P=1-設(shè)=np=1000.05=5,且YP,則P=1- P=1-=0.8753489. 設(shè)一大型設(shè)備在任何長為t的時(shí)間內(nèi),發(fā)生故障的次數(shù)N服從參數(shù)為t的泊松分布,求：1相繼兩次故障之間的時(shí)間間隔T的概率分布；2在設(shè)備已無故障工作8小時(shí)的情況下,再無故障工作8小時(shí)的概率。解：1 只需求出T的分布函數(shù)F：當(dāng) t0時(shí),F=P=0當(dāng) t0時(shí),F=P=1-Pt= 1-PN=0= 可見T服從參數(shù)為的指數(shù)分布。2P16|T 8=10.設(shè)X服從參數(shù)為2的指

10、數(shù)分布,求證：Y=1-在0,1上服從均勻分布。證明： 由X的分布可見其有效取值范圍是0,+,則Y的有效取值范圍是0,1,從而：當(dāng)y0時(shí),F=0; 當(dāng)y1 時(shí),F=1;當(dāng)0y1, F=P= P1-y =PX=1-=1-=y對F關(guān)于y求導(dǎo)數(shù)即得Y的密度函數(shù)： 故Y在0,1上服從均勻分布。11. 從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有三個(gè)交通崗,設(shè)在各交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的,其概率均為0.4,用X表示途中遇到紅燈的次數(shù),求X的分布律、分布函數(shù)和數(shù)學(xué)期望。解：顯然XB,其分布律為,i=0,1,2,3,分布函數(shù)為： , E=12. 設(shè),求隨機(jī)變量的期望。解：由,可知13.設(shè)且與同分布,與獨(dú)立,求：1值；

11、2的期望。解：1由設(shè)且與同分布,與獨(dú)立,可知當(dāng)時(shí),即與相矛盾,因而,即, 即即,即,不合題意,舍去2。14. 由自動(dòng)線加工的某種零件的內(nèi)徑毫米服從正態(tài)分布,內(nèi)徑小于10或大于12的為不合格品,其余為合格品,銷售每件合格品獲利,銷售每件不合格品虧損。設(shè)銷售利潤元與銷售零件的內(nèi)徑的關(guān)系為問平均內(nèi)徑取何值時(shí),銷售一個(gè)零件的平均利潤最大？解：由,即且,可知由得令,即即即,平均內(nèi)徑取時(shí),銷售一個(gè)零件的平均利潤最大。15. 設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為,機(jī)器發(fā)生故障時(shí),全天停止工作。一周五個(gè)工作日,若無故障,可獲利10萬元；若發(fā)生一次故障,仍可獲利5萬元；若發(fā)生兩次故障,獲利為零；若至少發(fā)生三次故障,要虧損2萬元。求一周內(nèi)的利潤期望。解：設(shè)一周共五個(gè)工作日,機(jī)器發(fā)生故障的天數(shù)且則：所以一周內(nèi)的利潤期望為萬元。16.設(shè)商店經(jīng)銷某種商品的每周需求量服從區(qū)間上的均勻分布,而進(jìn)貨量為區(qū)間中的某一個(gè)整數(shù),商店每售一單位商品可獲利500元,若供大于求,則削價(jià)處理,每處理一單位商品虧損100元,若供不應(yīng)求,則從外部調(diào)劑供應(yīng),此時(shí)每售出一單位商品僅獲利300元,求此商店每周最小進(jìn)貨量為多少,可使獲利的期望不少于9280元。解：設(shè)一商店經(jīng)銷某種商品的每周進(jìn)貨量為且 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí),即 且 令,即,即,取。答：此商店每周最小進(jìn)貨量為21個(gè)單位