試談琴生不等式的高維推廣

1、琴生不等式式的高維維推廣李世杰 吳吳光耀(衢州市教教育局教教研室 浙江 32440022 )單保良(衢州職業(yè)業(yè)技術(shù)學(xué)學(xué)院，浙浙江 32440000 ) 摘 要：將琴生生(Jeenseen)不不等式作作了高維維推廣，并并由它得得到了mm維空間間的一系系列不同同類型的的函數(shù)不不等式，它它們是算算術(shù)幾何平平均值不不等式、柯柯西不等等式等的的聯(lián)合推推廣. 關(guān)關(guān)鍵詞：琴生不不等式，函函數(shù)不等等式，高高維推廣廣.Higheer DDimeensiionaal Genneraalizzatiion of Jennsenn InnequualiityLi SShijjie Wu Guaangyyao（Depa

2、artmmentt off TTeacchinng RReseearcch，QQuzhhou Eduucattionn Coommiitteee，ZZhejjianng， 32440022，Chhinaa）Dan Baooliaang（Quzhhou Colllegge oof Voccatiionaal Tecchuoologgy，Zheejiaang， 32240000，Chiina）Abstrractt：Thhe hhighher dimeensiionaal genneraalizzatiion of Jennsenn innequualiity is esttabllishhed.

3、Ass byy-prroduuctss, aa seeriees oof ddifffereent funnctiion ineequaalittiess onn m-diimennsioonall sppacee iss obbtaiinedd whhichh exxtennd tthe A-GG meean ineequaalitty aand Cauuchyys ineqquallityy. Key wwordds：Jennsenn iineqquallityy； ffuncctioon ineequaalitty；hhighher dimeensiionaal genneraalizz

4、atiion1引言1905年年，丹麥麥數(shù)學(xué)家家琴生（JJenssen ，1885919225）證證明了如如下著名名的琴生生不等式式1：設(shè)f (xx)是定定義在實(shí)實(shí)數(shù)集MM上的函函數(shù)，且且對任意意的xl、x2 M，都有 ， (1.11)則對任意的的xi M（i = 11，2，n），有 ， (1.2)在文2中，李李世杰證證明了如如下的“母”函數(shù)不不等式：設(shè)f (xx)的定定義域?yàn)闉?M（M為a，b，或或（a，b），或或無窮區(qū)區(qū)間），(x)是 M上的連續(xù)函數(shù)，且存在反函數(shù)若對任意的xl、x2 M，都有 ， (1.33)則對任意的的xi M（i = 11，2，n），有 ， (1.44) 若 (1.3)

5、 中等式式成立的的條件是是x1=x2，則 (1.4) 中等式式成立的的條件是是 x1= x2 = =xn本文下面先先給出不不等式 (1.4) 的一個個高維推推廣，為為方便計(jì)計(jì)，引入入下列記記號:設(shè)M = M1M2Mm（Mi為 ai，bi，或或（ai，bi），或或無窮區(qū)區(qū)間，mm1）. 特別別地， 收稿日期：作者簡介介：李李世杰， (1960-)，男，浙江東陽人，漢,中學(xué)高級教師，理學(xué)士, 研究方向：解析不等式及數(shù)學(xué)教學(xué)若Mi = R+ = ，i = 11，2，m，則M記作. 對于，表示示m維向量量:其它符號意意義依次次類推.2主要結(jié)結(jié)論定理1 設(shè)設(shè)f (X)的定定義域?yàn)闉?M， i (x)是定

6、定義在 Mi上的連連續(xù)函數(shù)數(shù)，且存存在反函函數(shù)，ii = 11，2，m若對X1、X2M，和常數(shù)，都有， 且 ， (22.1)等式成立的的條件是是X1=X2. 則對XXiM ( ，n2 )，都有有 (2.22)這里p是滿滿足的整整數(shù)，(2.22)中等等式成立立的條件件是X1=X2 = =Xn下面用反向向數(shù)學(xué)歸歸納法證證明這一一不等式式.證明 首首先證明明n =22 p ( pN，p2 ) 時(shí)，結(jié)結(jié)論成立立.當(dāng)n = 2時(shí)，由由 (22.1) 及其其等式成成立的條條件知結(jié)結(jié)論成立立.假設(shè)n =2 kk ( kN，k2 ) 時(shí)，結(jié)結(jié)論成立立，即對對 XiM ()，有有 ， (2.3)等式成立的的條件

7、是是X1=X2 = =. 則對XXi M ( )，有有 ， (2.44)等式成立的的條件是是 又又根據(jù)nn = 2時(shí)的的結(jié)論，在在 (22.1) 中作作置換，可得+即+， (22.5)等式成立的的條件是是，.聯(lián)合(22.3)、(22.4)、(22.5)得 (2.6)等式成立的的條件是是 ，由于存在反反函數(shù)，必必一一對對應(yīng)，故故由上面面方程組組可推得得不等式式 (22.6)中等式式成立的的條件是是X1=X 2 = =因此此對n =2 p ( pN，p2 )結(jié)論恒恒成立.當(dāng)時(shí)，前面面已證成成立結(jié)論論: (22.7)當(dāng)時(shí)，取XXn+1=Xn +2 = ，則Xn+1=Xn +2 = ，代入入（2.7）

8、式式化簡后后即可得得到（22.2）式式.綜上，我們們就證明明了不等等式（22.2）結(jié)結(jié)論對nn2恒成成立. 定理2 設(shè)f (X)的定定義域?yàn)闉?M， i (x)是定義義在 MMi上的連連續(xù)函數(shù)數(shù)，且存存在反函函數(shù)，ii = 11，2，m若對X1、X2M和常數(shù)，都有，且 ， (22.8)等式成立的的條件是是X1=X2. 則對XXiM ( ，n2 )，有 (2.9)這里p是滿滿足的整整數(shù)，(2.99)中等等式成立立的條件件是X1=X2 = =Xn證明 與與定理11相似，首首先證明明n =22 p ( pN，p2 ) 時(shí)結(jié)結(jié)論成立立，再如如對(22.7)式取特特值，即即可獲證證，過程程略去.定理3

9、設(shè)f (X)的定定義域?yàn)闉?M， i (x)是定定義在 Mi上的連連續(xù)函數(shù)數(shù)，且存存在反函函數(shù)，ii = 11，2，m若對X1、X2M，和常數(shù)，都有，且 ， 等式成立的的條件是是X1X2. 則對任任意的XXiM ( ，n2 )，有 這里p是滿滿足的整整數(shù)，等等式成立立的條件件是X1=X2 =Xn證明 與與定理11相似，略略.3應(yīng)用定理4 設(shè)設(shè)f (X)的定定義域?yàn)闉?M， i (x)是定定義在 Mi上的連連續(xù)函數(shù)數(shù)，且存存在反函函數(shù)，ii = 11，2，m若對X1、X2M，都有 ， （33.1）等式成立的的條件是是X1=X2. 則則對XiM ( ，n2 )，都有有 (3.22)等式成立的的條件

10、是是X1=X2 = =Xn證明 在在定理11中，取取，由于i (x)是定定義在 Mi上的連連續(xù)函數(shù)數(shù)，必有有故由定理11即可得得定理44中結(jié)論論.定理5 設(shè)f (X)的定定義域?yàn)闉?M， i (x)是定定義在 Mi上的連連續(xù)函數(shù)數(shù)，且存存在反函函數(shù)，ii = 11，2，m若對X1、X2M，都有 ， (33.3)等式成立的的條件是是X1=X2. 則對XXiM ( ，n2 )，有 (3.44)這里p是滿滿足的整整數(shù)，(3.44)中等等式成立立的條件件是X1=X2 = =Xn證明 同同定理44證明過過程，在在定理22中取即即可得證證.取i (xx)= xx，定理理5就變變成琴生生（ JJenssen

11、）不不等式（11.2）.定理6 （均值值型函數(shù)數(shù)不等式式）設(shè)f (X)的定義義域?yàn)椋魧θ稳我獾腦X1、X2，都有有， （3.5）等式成立的的條件是是X1X2. 則對于于Xi ( ，n2 )，有， (33.6)等式成立的的條件是是X1X2 = Xn. 證證明 在定理55中令，, 則代入定理55中(33.3)(3.4)式式即可得得(3.5)(3.66).注 在定定理6中中若令，由于對對正數(shù)，由由于不等等式恒成成立，定定理6就就變?yōu)樗闼阈g(shù)幾何平平均值不不等式：，同理，若再再令，由著名名的柯西西（Caauchhy）不不等式可得其推廣廣形式取，得文3中中證明的的新的函函數(shù)不等等式.定理1和定定理2中中

12、的函數(shù)數(shù)不等式式是m維空間間某些函函數(shù)不等等式的一一個共同同來源，我我們可把把它們稱稱為高維維的“母”函數(shù)不不等式.由它們們我們還還可得到到乘積型型、方冪冪型函數(shù)數(shù)不等式式等，限限于篇幅幅，這些些結(jié)果就就不再一一一列出出了. 參考文獻(xiàn)1匡繼繼昌.常常用不等等式（第第三版）.山東科科學(xué)技術(shù)術(shù)出版社社，20004年年1月.P3448-3380.2李世世杰.一一個重要要的“母”函數(shù)不不等式 J.撫州州師專學(xué)學(xué)報(bào)，119999（3）：3740.3黃仁仁壽.一一個新的的函數(shù)不不等式J.數(shù)學(xué)通通訊，119933（6）：23.4COONSTTANTTIN P, Connvexxityy Acccorrdinng to thee geeomeetriic mmeannJ.Maatheematticaal IIneqquallitiies Apppliicattionns ,20000,(2):1555-1667.5李世世杰.凸凸函數(shù)JJenssen不不等式的的一個推推廣及應(yīng)應(yīng)用JJ.江江西:撫撫州師專專學(xué)報(bào)（自自然科學(xué)學(xué)版）,19888,(3):3037.作者簡介：李世杰杰， 119600年12月生生，男，浙浙江省東東陽人，中中學(xué)高級級教師，理理學(xué)士，119833年畢