大學期中試卷

1、廈門大學高等代數課程試卷數學科學學院全部系2004年級各專業(yè)主考教師：林鷺、杜妮試卷種類：（A卷）注意:全部答案請寫在答題紙上一選擇題（7題4分)1設n階實對稱矩陣A是正交矩陣，則_。A。A=I；B.A與I相像;C。A2I；D.A與I合同.2以下說法錯誤的選項是_。A.A、B為n階實對稱矩陣,若存在n階可逆方陣C，使得CACB,則A與B合同;B。A為n階實對稱矩陣，且對隨意n維向量x，都有xAx0，則A=0；C.兩個n階實對稱矩陣合同的充分必需條件是它們有同樣的秩;D。實對稱矩陣的秩r和符號差s擁有同樣的奇偶性。3設A為n階實對稱矩陣，則以下條件中有_個必保證A為負定.A的正慣性指數=0；A的

2、全部次序主子式0；A的全部特點值0；對隨意非零向量x，都有xAx0。A。1B.2C.3D。44以下表達中錯誤的選項是_。A。A為可逆矩陣，則A2必是正定矩陣；B。A為正定矩陣，則存在可逆矩陣Q,使AQQ；C.A為正定矩陣，則A的全部對角元必大于零;D。A為正定矩陣，則A必正交相像于對角矩陣.5設n階實對稱矩陣A的特點值為1,2,n,則當t_時，AtI為正定矩陣。A.min1,2,nB。min1,2,n；C。max1,2,n;D。max1,2,n.16設是歐氏空間V的線性變換,則以下命題中_不可以作為是正交變換的等價命題.A.在某一組基下表示矩陣是正交陣;B。1*；C.保積同構;D。保持距離不變

3、。7設是歐氏空間V的自陪伴算子,則以下命題中正確的有_個.在V的某組基下表示矩陣是對角陣；的特點值模為1;的屬于不一樣特點值的特點向量必正交;x,yV,(x),y)(y),x)。A。1；B.2;C。3;D。4。二填空題（7題4分）1n階實對稱矩陣按合同分類，共有_類；而n階對稱正交矩陣按相像分類，共有_類。1111012設A1,B1,C11,D102222D中，_與A正交相像，_與A合同.是R上3階方陣。則在B，C，103設Aaijnn為n階正交矩陣，且a111，則矩陣方程Ax的解x=_。04R13中，定義內積為標準內積,則向量(1,2,2),(1,0,1)的夾角是_，距離是_.5設1,2,3

4、,4是歐氏空間V的一組標準正交基,V1L(1,2),此中123，2124，則_是V1的一組標準正交基。12346在R14中，與矩陣A2345的每個行向量都正交的全體向量所組成的子空間W的維數為_。34567設1,2,n是n維歐氏空間V的一組基,對于這組基的胸懷矩陣G，V上線性變換在這組基下的矩陣為A,則的陪伴算子*在這組基下的矩陣是_，進而為自陪伴算子的充分必需條件是_.2(12分)已知二次型f(x,y,z)(x2y2z2)2xy2xz2yz。1請寫出該二次型的相伴矩陣；2取什么值時，f是正定的？3當=1時,將二次型f化為標準型并求出相應的非退化線性替代。四（12分）設A，B都是實對稱矩陣，證明：存在正交矩陣T，使得T1ATB的充分必需條件是A，B有同樣的特點值.(10分）設A,B都是實對稱矩陣，且B是正定的。若BA的特點值都大于0,證明A是正定矩陣。六（10分)設是n維歐氏空間V上的正交變換，令