氣體動理論基礎(chǔ)

1、第10章氣體動理論基礎(chǔ)教學基本要求掌握系統(tǒng)、平衡態(tài)、溫度、狀態(tài)方程、準靜態(tài)過程等概念；理解并掌握理想氣體的壓強公式、溫度的統(tǒng)計解釋；掌握波耳茲曼分布率的簡單應用。理解能量均分定理，掌握理想氣體內(nèi)能的計算；理解并掌握麥克斯韋速率分布律的意義及其簡單應用；掌握平均自由程和平均碰撞頻率及其簡單應用。教學內(nèi)容提要氣體動理論，是從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，依據(jù)每個粒子所遵循的力學規(guī)律，用統(tǒng)計的觀點和統(tǒng)計平均的方法，尋求宏觀量與微觀量之間的關(guān)系，研究氣體的性質(zhì)。本章從氣體分子微觀模型出發(fā)，揭示理想氣體壓強產(chǎn)生的原因和實質(zhì)，然后用壓強的微觀表示式與理想氣體狀態(tài)方程進行比較，得到平均平動動能與溫度的關(guān)系式，從而說明

2、溫度的微觀本質(zhì)。接著介紹理性氣體平衡狀態(tài)下的幾個統(tǒng)計規(guī)律：能量均分定理、麥克斯韋速率分布律和波耳茲曼分布率、平均碰撞次數(shù)和平均自由程等。1熱力學系統(tǒng)的微觀量、宏觀量平衡態(tài)及準靜態(tài)過程熱力學系統(tǒng)由大量作無規(guī)則運動的粒子組成，簡稱系統(tǒng)。微觀量描寫系統(tǒng)中單個粒子運動狀態(tài)的物理量。宏觀量描述系統(tǒng)整體特性的物理量。平衡態(tài)一個與外界沒有聯(lián)系的孤立系統(tǒng)，不管它開始時處于何種狀態(tài)，經(jīng)過一段時間以后，都會達到一個宏觀性質(zhì)不隨時間變化的狀態(tài)，這樣的狀態(tài)稱為平衡態(tài)。平衡態(tài)的氣體常用宏觀量壓強p、體積V和溫度T等狀態(tài)參量描述。準靜態(tài)過程如果過程進行得十分緩慢，使其中的每一步所經(jīng)歷的時間均比馳豫時間長的多，則每一步都有

3、充分的時間來建立新的平衡態(tài)，使過程中的每一中間狀態(tài)均可以近似看作平衡態(tài)，這樣的過程稱為準靜態(tài)過程。理想氣體的狀態(tài)方程pV二M-TT，其中M為物質(zhì)的質(zhì)量，M為物質(zhì)的摩爾質(zhì)量MmolmolNp=成T，其中n=v為分子數(shù)密度理想氣體的壓強公式1212=mmv2=n，33t其中r=t2.為分子平均平動動能4玻耳茲曼分布Ein=AekT式中A為待定常量，大小由氣體的溫度、氣體的總分子數(shù)及分子本身的屬性決定，e史稱為玻耳茲曼因子，它是決定分子按能量分布的關(guān)鍵因素。.統(tǒng)計規(guī)律和速率分布函數(shù)統(tǒng)計規(guī)律存在于大量無規(guī)行為或偶然事件中的群體規(guī)律。統(tǒng)計規(guī)律隨條件變化而變化。速率分布函數(shù)八短二dN7速率分布函數(shù)八短二d

4、N7，其物理意義是：在平衡態(tài)下，速率在v值附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率，也表示一個分子的速率出現(xiàn)在v值附近單位速率區(qū)間的概率。速率分布函數(shù)必須滿足歸一化條件由速率分布函數(shù)八的和總分子數(shù)N,可得速率區(qū)間的分子數(shù)速率區(qū)間的分子數(shù)比率為分布曲線下微元矩形的面積。速率區(qū)間的分子數(shù)速率區(qū)間的分子數(shù)比率為分布曲線下的面積。.各種速率的統(tǒng)計平均值平均速率審=時（切血方均速率.理想氣體的麥克斯韋速率分布函數(shù)TOC o 1-5 h z麥克斯韋分布的最概然速率V二四二巨.1.41：RTLpmmMMMmolmol麥克斯韋分布的平均速率V=8kT-=：”空氏1.60：旦兀m、兀MMMmmolTmol麥克

5、斯韋分布的方均根速率、不二亙二包.1.73：TLm：MMmmolTmol.理想氣體的能量分子平均平動動能（溫度公式）r=3kTt2分子平均動能r=LkTk2理想氣體的內(nèi)能E=隴LkT=四LrT，其中|!=-M-表示氣體a22M的摩爾數(shù)，i=t+r為分子自由度，t=3為平動自由度，/為轉(zhuǎn)動自由度。單原子分子r=0,i=3，雙原子分子r=2,i=5，多原子分子r=3,i=6。.平均碰撞頻率和平均自由程平均碰撞頻率Z=.J2n冗d2V平均自由程無=嚴22dd2p重點和難點分析理想氣體狀態(tài)方程系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，具有一些可確定的宏觀屬性，這樣的屬性可以用相應的物理量來表示，從這些物理量中選取一些相互獨

6、立的、由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定的物理量來描述系統(tǒng)的平衡態(tài)，這些物理量稱狀態(tài)參量。狀態(tài)參量之間的關(guān)系式叫系統(tǒng)的狀態(tài)方程。在任意平衡態(tài)下，理想氣體可以用壓強p、體積V，溫度T3個狀態(tài)參量來描述，它們之間的關(guān)系式稱理想氣體狀態(tài)方程。pVMmolpVMmolRT上式還可以改寫為p=nkTn為單位體積內(nèi)氣體分子數(shù)。對于一定質(zhì)量的理想氣體，從一個平衡態(tài)(p,V,T)變化到另一個平衡態(tài)(p,V,T)時，其狀態(tài)參量之間的關(guān)系是：111222pVpV-1=22TT12若在狀態(tài)變化過程中，質(zhì)量發(fā)生變化，上式不成立。對于實際氣體，在壓強不太大，溫度不太低的情況下，可近似地當作理想氣體來計算。理想氣體的壓強為了推導理想氣體

7、的壓強公式，首先在一定實驗事實的基礎(chǔ)上，提出了理想氣體分子的微觀模型：把理想氣體分子看成是彈性小球并能自由運動的質(zhì)點，然后根據(jù)力學規(guī)律計算單個分子對器壁碰撞的平均沖力；利用統(tǒng)計平均的方法，計算大量氣體分子對器壁的平均沖力的總和。最后用氣體壓強的定義容器壁單位面積上所受氣體的作用力，導出理想氣體壓強公式。2_p=n3t從壓強公式的導出可以看出，上式表明了宏觀量p與微觀量不、n之間是一個統(tǒng)計規(guī)律的關(guān)系，注意，統(tǒng)計規(guī)律中未考慮外場的作用，忽略了重力。從微觀看，個別分子對器壁的碰撞是斷續(xù)的，作用在容器壁上的沖力的大小是不確定的、有起伏的，只有當所取容器壁單位面積足夠大，觀測時間足夠長時，大量氣體分子連

8、續(xù)不斷地作用在器壁單位面積上的平均沖力才有確定的值。氣體壓強應該時大量分子對容器壁不斷碰撞的統(tǒng)計平均結(jié)果，p是一個統(tǒng)計平均值。溫度的統(tǒng)計解釋溫度是一個直接表征系統(tǒng)熱平衡狀態(tài)的宏觀物理量，氣體分子平均平動動能與溫度的關(guān)系式為=1mV2=3kTt22上式表明溫度是分子平均平動動能的量度。而分子平均平動動能是大量分子熱運動的一個統(tǒng)計平均值，因而溫度也是一個統(tǒng)計平均值。分子平均平動動能不包括氣體有規(guī)則運動提供的分子平動動能，只有分子無規(guī)則熱運動的平均平動動能才對溫度有貢獻。氣體分子永不停息作無規(guī)則熱運動，平均平動動能不可能為零，因此，熱力學溫度不能達到零度。處于平衡狀態(tài)下不同的熱力學系統(tǒng)，只要溫度相同

9、，則分子平均平動動能相同，與分子種類無關(guān)。能量按自由度均分定理氣體分子的自由度需要根據(jù)其結(jié)構(gòu)進行具體分析才能確定。能量按自由度均分定理是在平衡態(tài)下，大量分子無規(guī)則熱運動碰撞的結(jié)果，是經(jīng)典統(tǒng)計物理學的結(jié)論。對于個別分子來說，在任一瞬時，每一自由度上的能量和總能量完全可能與能量均分定理所得的平均能量值有很大的差別，而且每一種形式的能力也不一定按自由度均分。在溫度不高時，因分子運動表現(xiàn)出明顯的量子特性，這原理就不適用了。能量均分定理可用來計算理想氣體的內(nèi)能。在平衡態(tài)下，每一個自由度的平均動能均為1kT。一個自由度為/的氣體分子，平均能量2為7=LkT。式中i=t+,其中t表示平動自由度，表示轉(zhuǎn)動自由

10、度。k2對于理想氣體，不計分子間相互作用力，分子間的勢能可忽略。內(nèi)能為氣體分子平均能量之總和，即E=叫LkT=日-RTA22氣體分子速率分布規(guī)律在平衡態(tài)下，因大量氣體分子作無規(guī)則熱運動，每個分子的速度、能量都在不斷地發(fā)生變化，在任一時刻，每個分子的速度、能量大小完全是偶然的，但對大量分子整體而言，氣體分子熱運動的速率、速度和能量等都遵循著一定的統(tǒng)計規(guī)律。在某一平衡態(tài)下，氣體分子具有向各個方向從零到無限大的各種可能速率。然而，氣體分子在各個速率區(qū)間的分子數(shù)AN占總分組數(shù)N的百分比是存在確定的統(tǒng)計分布規(guī)律的，是速率v的確定函數(shù)，用f(v)表示，則f(f(v)=limAvf0AN_dNNAvNdv其

11、物理意義是：氣體分子在速率v附近，處于單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。若以f(v)為縱坐標，v為橫坐標，測得分子速率分布曲線如圖10.1所示，圖中窄條面積為f(vf(v)dv=dNdv=NdvdNN表示速率v附近dv區(qū)間內(nèi)的分組數(shù)占總分子數(shù)的比率。曲線下的總面積表示分布在08的速率區(qū)間內(nèi)所有分子與總分組數(shù)的比率，其值等于1,即f(v)滿足rf(v)dv=i的歸一化條件。圖10.1分子速率分布曲線平均碰撞頻率和平均自由程在任一時刻，大量分子的無規(guī)則運動，使得分子在連續(xù)兩次碰撞之間所經(jīng)過的自由路程是無規(guī)則的，真正意義的是這些自由路程的統(tǒng)計平均值。同樣，大量分子的無規(guī)則熱運動，使得分子在單

12、位時間內(nèi)與其他分子碰撞的次數(shù)布確定，具有偶然性，有意義的是其平均碰撞頻率。平均碰撞頻率、平均自由程和平均速度三者之間的關(guān)系式為例題分析例10.11mol氫氣，在溫度為27時，它的平動動能、轉(zhuǎn)動動能和內(nèi)能各是多少?解：理想氣體分子的能量E=u-RT2平動動能轉(zhuǎn)動動能r23平動動能轉(zhuǎn)動動能r23E=-x8.31x3003739.5Jt2E=2x8.31x3002493Jr2內(nèi)能i-58.31x3006232.5J例10.2說明下列各物理量的物理意義(1)f(1)f(v)dv(2)nf(v)dv(3)Nf(v)dv(4)Iv(4)Ivf(v)dv0(5)卜f(v)dv0(6)卜2Nf(v)dvv1解

13、：f(v”表示一定質(zhì)量的氣體，在溫度為T的平衡態(tài)時，分布在速率v附近單位速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.(1)f(v)dv：表示分布在速率v附近，速率區(qū)間dv內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.(2)nf(v)dv:表示分布在速率v附近、速率區(qū)間dv內(nèi)的分子數(shù)密度.(3)Nf(v)dv:表示分布在速率v附近、速率區(qū)間dv內(nèi)的分子數(shù).(4)fvf(v)dv:表示分布在vv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比.012(5)卜f(v)dv：表示分布在。8的速率區(qū)間內(nèi)所有分子，其與總分子0數(shù)的比值是1.(6)卜2Nf(v)dv:表示分布在vv區(qū)間內(nèi)的分子數(shù).v1例10.3設(shè)由N個粒子，其速率分布函數(shù)為av

14、v0f(x)=2a-vv00作出速率分布曲線；(2)由n和v求a的值；0(3)求v;p(4)求N個粒子的平均速率v;(5)求速率介于0%之間的粒子數(shù)；2(6)求，v區(qū)間內(nèi)粒子的平均速率v。20解(1)速率分布曲線例10.3所示。(2)由分布函數(shù)必須滿足歸一化條件，即卜f(v)dv=10有Jf(v)dv=-ax2v=1020所以1所以av0（3）由v的物理意義知v（3）由v的物理意義知vppv0（4）N個粒子的平均速率vJvJvdNJvf(v)dvJ0N0aav(一v)dv+J2vov(2a一一v)dv=vvvv0000（5）0（5）0”的粒子數(shù)aNvdvAN=Jv0dN=Jv0Nf(v)dv=Jv0N(a-v)aNvdv0v0（6）v02v內(nèi)平均速率v（6）v02v內(nèi)平均速率v00vdN-%v=ANJv0vNf(v)dv%v0Nf(v)dvvo2Jvov(a-v)dv；v0=0.778vJv0O-vddy%v20布率E_布率E_EpnnekT，0_mgynne_kTy0例10.4