水星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

1、APAGEA1AAPAGEA1A水星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律摘要本文主要在已知水星的遠(yuǎn)日點(diǎn)和繞日運(yùn)行的線速度的條件下，通過建立微分方程模型，使用解析法和數(shù)值方法求解水星的軌道方程與位置。解析法的求解的過程中，結(jié)合了開普勒三大定律，準(zhǔn)確的給出了微分方程的精確解，求得水星到太陽的最近距離r4.6016B10i0（m）,水星繞太陽運(yùn)行的周期約為天。數(shù)值計(jì)算求解水星自m遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)行50天后的位置時(shí)，本文分別采用了Simpson求積法，基于壓縮映射的求根方法以及經(jīng)典的四階龍格一庫塔法，使用matlab數(shù)學(xué)軟件編程，得到了較為合理的行星運(yùn)行模型的近似解，三種方法所得結(jié)果對(duì)應(yīng)分3.791，r4.767BB010，113.7

2、91，r4.767H0i0及3.802，r4.779IH010。2233關(guān)鍵詞行星軌道微分方程法四階龍格一庫塔法matlab問題重述水星到太陽的最遠(yuǎn)距離為0.6982M011m此時(shí)水星繞太陽運(yùn)行的線速度為3.88604/s試求問題一水星到太陽的最近距離問題二水星繞太陽運(yùn)行的周期問題三從遠(yuǎn)日點(diǎn)開始的第50天（地球天）結(jié)束時(shí)水星的位置并畫出軌道曲線問題分析求水星到太陽的最近距離以及水星繞太陽運(yùn)行的周期等，需要先將水星軌道方程求出，因此可以根據(jù)第二定律及萬有引力定律mMGenmdZ，建立微r2dt2分方程模型，將原問題轉(zhuǎn)化為求解帶有初值條件的微分方程問題，進(jìn)而采用解析法或數(shù)值方法求解遠(yuǎn)日點(diǎn)和周期。三

3、模型假設(shè)1水星運(yùn)行的軌道是以太陽為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓2從太陽指向水星的線段在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等3水星運(yùn)行周期的平方與其運(yùn)行軌道橢圓長軸的立方之比為常量四符號(hào)系統(tǒng)v水星在遠(yuǎn)日點(diǎn)的線速度0.M太陽的質(zhì)量.m水星的質(zhì)量.r水星在遠(yuǎn)日點(diǎn)的距離o.T周期五建立模型與求解模型一水星的軌跡方程設(shè)太陽中心所在的位置為復(fù)平面的原點(diǎn)O,在時(shí)刻t,水星位于Z(t)rei所表示的點(diǎn)P。這里rr(t),(t)均為t的函數(shù)，分別表示Z(t)的模和輻角。于是水星的速度為dZdrenired5e-(drird)，加速度為dtdtdtdtdt華ei?d2rr學(xué))2)i(r華.2dr?：(1.1)，而太陽對(duì)行星的引力依萬有引d

4、t2dt2dtdt2dtdt力定律，大小為mMG，方向由行星位置P指向太陽的中心O,故為BmMGe，其r2r2中M1.989印030(kg)為太陽的質(zhì)量，m為水星的質(zhì)量，G6.672IH0i(Nm2/kg2)為萬有引力常數(shù)。依Newton定律，我們得到mMG依Newton定律，我們得到mMGd2ZeaImdt2(1.2),將(1.1)代入(1.2),d2_d2_cdrdr2I0dt2dtdtMGTOC o 1-5 h z，一.MG,2rdr()24t2dt這是兩個(gè)未知函數(shù)的二階微分方程組。在確定某一行星軌道時(shí)，需要加上定解條件。假設(shè)當(dāng)t=0時(shí)，行星正處于遠(yuǎn)日點(diǎn)，而遠(yuǎn)日點(diǎn)位于正實(shí)軸上，距原點(diǎn)O為

5、外行星的速度為v。那么就有初值條件:0irrMt0tJ0dr0dt畫TOC o 1-5 h zWvoIdttmr0因此問題轉(zhuǎn)化為求解帶初值問題的微分方程組d2drdB2I0dtdt2dtdt92rMG2dt2r2Hrt0AtJ0ddr副J0dtt又將r”-2包變B0兩邊同乘以r，即得(r2)-0，從而r2Ue(1.3),dt2dtdtdtdtdt1其中eKrv，這樣有向線段而在時(shí)間內(nèi)掃過的面積等于皆1r2工dt；，1002dt2t這個(gè)正是Kepler的第二定律，從太陽指向水星的線段在單位時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等。TOC o 1-5 h z將(1.3)代入drr(d!)2mmMG得d2rMG，于是我

6、們可以得到水dt2dtr2dt2r3r2星運(yùn)行的較為簡單形式的數(shù)學(xué)模型：為了求得行星的軌跡方程，要消去變量t,令r1,那么N3可以改寫為udtr2ddrd，dud2udd2uCU2從而一()2U2將上式代入dt1dt1dtd1d-dt1d-d2rc2MGd2u1c2,1、.+，化簡后為IU(1.4)，其中p-，引進(jìn)uu，立dt2r3r2d2pMGp即可以求出u-1uAcos()，這里A和是待定的常數(shù)。記eAp，上式可p00以寫為rp1ecos(Hfl)0這個(gè)就是水星的軌道方程，是一條平面二次曲線。由于水星繞太陽運(yùn)行，故必有0e1。由于r在t=0時(shí)取道最大值(遠(yuǎn)日點(diǎn))，這個(gè)就意味著此時(shí)函數(shù)cos

7、(B-)取道最大值1.于是就有0,e1p，從而軌跡方程為00r0r一p。對(duì)于水星而言，r0.6980n(m),v3.88604(m/s)，又水星的1eco00近日點(diǎn)到太陽的距離爐1二二。依據(jù)已知數(shù)據(jù)，可知crv2.7130i5(m2/s),crv2.7130i5(m2/s),p100c25.5470i0(m)MG算水星到太陽的最近距離為rm算水星到太陽的最近距離為rm4.6016B10i0(m)模型二水星的運(yùn)行周期設(shè)水星的周期為，那么利用第二定律，我們有設(shè)水星的周期為，那么利用第二定律，我們有tttt1CT211dr202dt上式左端為水星軌跡橢圓所圍的面積，記為S由于橢圓的半長軸擊，半短軸b

8、-JL=vle2p2，從而有S一3(1e2)2將上式代入式()解得T2p23C(1e2)21)將有關(guān)數(shù)據(jù)代入，易得T7.602506(s)87.9919(d)模型三水星的位置由于水星的運(yùn)行滿足第二定律，則該式可改寫為r2dC1，從而可得pdt0C(1ecos1如果我們要求tT1時(shí)相應(yīng)的和r，則意味著首先要解方程CTF()一1，p2其中F()1d0(1ecosB)2在求出了,1時(shí)的后，立即可以由r-后島得到相應(yīng)的。下面用數(shù)值方法求解水星的位置1.1CT由被積函數(shù)aseE的恒正性可知F(B)單調(diào)，從而方程F()方的根必存在且唯一。取h,kh(k1,2,.),記FF()。若FkkCTCT,F1-1，

9、p2nI1p2那么位于與之間，在適當(dāng)小時(shí)，可取。nnI1計(jì)算F()可采用不同的數(shù)值積分法，本文采用Simpson法，取步長h=0.001,具體求解過程見附錄一，最后結(jié)果為13.791，r4.767IK010基于壓縮映像的求根方法我們引入水星軌道橢圓的參數(shù)方程，由于橢圓的半長軸/e2,半短軸b-=p=，從而中心到焦點(diǎn)的距離為,：1立ae。因左焦點(diǎn)為原點(diǎn)，故橢圓中：1e2心位于(，)，于是得到參數(shù)方程a(ecosI)IyIbsin它們與人的關(guān)系為yx2y2r2,_tanIx此式可改寫成CItIIIIII(xyIyx)dIIabesin(IIII)IesinIIabII1當(dāng)t71時(shí)解方程C7esin

10、iabCT記C11abg()sin，那么上式即g()，就是說要去求函數(shù)g()的不動(dòng)點(diǎn)，求解方程不動(dòng)點(diǎn)可以采用簡單迭代法，對(duì)于水星，我們已計(jì)算出e0.2055，由于很小，因此迭代收斂理論上可以很快，當(dāng)時(shí)間從遠(yuǎn)日點(diǎn)開始的第天結(jié)束時(shí)，意味著T0.43207(s)從而1CTCT3一(1e2)23.5703abp2不妨取0，于是0esin3.5703TOC o 1-5 h z10esin3.655721esin3.674754sin3.674765故3.6747由式xa(ecos),ybsin,x2y2r2,tan，可以計(jì)算出相應(yīng)的,x即由tanbsin一0.75849a(ecos)得i，而3.791此

11、時(shí)的距離r為r個(gè)a(ecosH)2bsin1214.7668H1010()經(jīng)典四階法由我們將由最初的微分方程組求解水星的位置，方程組見下jq.R.MGdtr3r2dr學(xué)qFCidtr2TOC o 1-5 h zrrtID0dr0tJ0若記這個(gè)微分方程組中方程的右端依次為(t,q,r,),R(t,q,r四和S(t,q,r四,則相應(yīng)的四階迭代格式法為hTOC o 1-5 h zqq-(K2K2KK)kk61234hrr-(L2L2LL)kk61234h-(N2N2NN)kk61234h這里對(duì)于qq-(K2K2KK)，有kk61234KQ(t,q,r,)1kkkkhhKhLhNKQ(t,q,r,i)

12、2k2k2k2k2hKhK3Q(tk5,qk2,rI2,1I2)2k2k2KIQ(tIh,qIhK,rIhL,IIhN)4kk3k3k3初值為q0,rr,0，則對(duì)于給定的步長值h，類似可以逐步計(jì)算一系列的0000q,r,，由于行星繞著太陽運(yùn)行，只需取22，而取得行星軌道上一kkknnI1系列點(diǎn)的近似坐標(biāo)(r,)，再通過極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，繼而可以繪出軌道kk曲線。通過編程求解得3.802，r4.779010,軌道曲線如下水星繞太陽運(yùn)行的軌道由線，近日點(diǎn)增遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)行5口天后的位置程序見附錄二。水星繞太陽運(yùn)行的軌道由線，近日點(diǎn)增遠(yuǎn)日點(diǎn)運(yùn)行5口天后的位置程序見附錄二。六模型推廣本文建立的微分方程模型對(duì)于求解行星繞日運(yùn)行軌道具有廣泛的應(yīng)用空間，只需給出行星的遠(yuǎn)日點(diǎn)和在遠(yuǎn)日點(diǎn)的運(yùn)行線速度即可計(jì)算出軌道方程，用數(shù)學(xué)軟件繪出近似的軌道曲線，對(duì)于研究天體運(yùn)行有所幫助。此外，本文采用的求解微分方程的數(shù)值方法，具有較為快速且準(zhǔn)確的收斂效果，可以