基于冗余偏好關(guān)系的決策方法探討

1、PAGE PAGE 9科研項(xiàng)目：國家杰出青年科學(xué)基金（70525004）；國家自然科學(xué)基金（70121001，70471035） 基于廣義Fuzzy偏好關(guān)系的決策方法探討董玉成11，徐寅寅峰1,2（1.西西安交通通大學(xué)管管理學(xué)院院； 22.機(jī)械械制造系系統(tǒng)工程程國家重重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)室）摘要：本本文提出出了廣義義模糊偏偏好關(guān)系系的概念念。設(shè)計(jì)計(jì)了互補(bǔ)補(bǔ)化排序序和加性性一致化化排序兩兩種排序序方法，討論了了兩種排排序方法法的相關(guān)關(guān)性質(zhì)?；谶@這兩種排排序方法法，定義義了冗余余一致性性指標(biāo)和和加性一一致性指指標(biāo)，并并討論了了采用加加權(quán)算術(shù)術(shù)平均算算子（算算子）或或有序加加權(quán)平均均算子（算子）對廣義義模糊

2、偏偏好關(guān)系系進(jìn)行集集結(jié)，其其群體偏偏好一致致性（包包括冗余余一致性性和加性性一致性性）的相相關(guān)性質(zhì)質(zhì)。本文文結(jié)果對對進(jìn)一步步完善基基于模糊糊偏好關(guān)關(guān)系的群群決策模模型具有有理論和和現(xiàn)實(shí)意意義。關(guān)鍵詞：廣義模模糊偏好好關(guān)系；排序方方法；冗冗余一致致；加性性一致；信息集集成算子子中圖分類類號：CC9344 文獻(xiàn)標(biāo)標(biāo)識碼：AStuddy oon ddeciisioon mmakinngusinng ggeneerallizeed ffuzzzy preffereencee relaatioonsAbsttracct: Thhis papper firrst inttrodducees tthe co

3、nnceppt oof ggeneerallizeed ffuzzzy ppreffereencee reelattionns aand dessignns ttwo metthodds tto oobtaain thee prriorritiies vecctorr frrom theem. Moreeoveer, we disscusssdeesirred prooperrtiees oon tthesse ttwo priioriity metthodds. At lasst, we givve ssomee reesullts on reddunddanccy cconssistten

4、ccy aand addditiive connsisstenncy of thee coolleectiive preeferrencce rrelaatioon aaggrregaatedd byy weeighhtedd avveraaginng ooperratoor oor oordeeredd weeighhtedd avveraaginng ooperratoor. Theese ressultts aare verry iimpoortaant forr GDDM wwithh fuuzzyy prrefeerennce rellatiionss.Keywwordds: gen

5、neraalizzed fuzzzy preeferrencce rrelaatioons; prriorrityy meethood; reddunddanccy cconssisttenccy;aaddiitivve cconssisttenccy; infformmatiion agggreggatiion opeerattor.1 引言言偏好關(guān)系系又稱判判斷矩陣陣，在多多屬性決決策中被被廣泛研研究。模模糊互補(bǔ)補(bǔ)偏好關(guān)關(guān)系是最最常見的的偏好關(guān)關(guān)系11-8。當(dāng)決策策者在某某準(zhǔn)則下下對個方方案進(jìn)行行兩兩比比較構(gòu)造造一個典典型的模模糊互補(bǔ)補(bǔ)偏好關(guān)關(guān)系時，一般需需要經(jīng)過過次判斷斷。然而而決策者者

6、有時可可能對某某些比較較判斷缺缺少把握握或不想想發(fā)表意意見，這這樣就會會使偏好好關(guān)系中中的某些些項(xiàng)出現(xiàn)現(xiàn)空缺，對這類類偏好關(guān)關(guān)系一般般稱為殘殘缺互補(bǔ)補(bǔ)偏好關(guān)關(guān)系88-9。另一一方面，決策者者也可能能作出多多達(dá)次比比較判斷斷，這樣樣就出現(xiàn)現(xiàn)了冗余余判斷，使模糊糊互補(bǔ)偏偏好關(guān)系系失去互互補(bǔ)性,我們稱稱這種偏偏好關(guān)系系為廣義義模糊偏偏好關(guān)系系。這一一新概念念引入是是基于如如下理由由：1）有些些學(xué)者10-11在AHHP的研研究中，認(rèn)為放放棄乘性性偏好關(guān)關(guān)系的互互反性是是合理的的，比如如在一場場球賽中中，球隊(duì)隊(duì)擊敗了了球隊(duì)，但是球球隊(duì)同樣樣可以擊擊敗了球球隊(duì)，這這種情形形在現(xiàn)實(shí)實(shí)生活中中的成對對比較判判

7、斷里很很常見。這些研研究和分分析也完完全適合合模糊互互補(bǔ)偏好好關(guān)系，它為我我們引入入廣義模模糊偏好好關(guān)系提提供了理理論支持持。2）在采采用一些些最常見見信息集集成算子子對模糊糊互補(bǔ)偏偏好關(guān)系系進(jìn)行集集成時，無法保保證集成成的群體體偏好關(guān)關(guān)系的互互補(bǔ)性。比如采采用有序序加權(quán)平平均算子子（）122對模模糊互補(bǔ)補(bǔ)偏好關(guān)關(guān)系進(jìn)行行集成后后，無法法保證集集成的群群體偏好好關(guān)系是是互補(bǔ)的的133。因因此，討討論從廣廣義模糊糊偏好關(guān)關(guān)系中發(fā)發(fā)展權(quán)向向量就有有了必要要性，而而這些排排序方法法也能應(yīng)應(yīng)用于CChicclanna等提提出的模模糊多人人決策模模型113-116。本文的主主要目的的是對基基于廣義義模糊

8、偏偏好關(guān)系系的決策策方法進(jìn)進(jìn)行探討討。文章章給出了了廣義模模糊偏好好關(guān)系排排序的兩兩種方法法；定義義了廣義義模糊偏偏好關(guān)系系的冗余余一致性性和加性性一致性性，并研研究采用用加權(quán)算算術(shù)平均均算子（）或有有序加權(quán)權(quán)平均算算子（）對廣義義模糊偏偏好關(guān)系系進(jìn)行集集成，其其群體偏偏好一致致性（包包括冗余余一致性性和加性性一致性性）的相相關(guān)性質(zhì)質(zhì)。本文文研究對對進(jìn)一步步完善基基于模糊糊偏好關(guān)關(guān)系的群群決策模模型具有有理論和和現(xiàn)實(shí)意意義。2 廣義義模糊偏偏好關(guān)系系排序方方法2.1 廣義模模糊偏好好關(guān)系的的互補(bǔ)化化排序?yàn)榱藬⑹鍪龇奖阆认冉o出幾幾個定義義：定義 11 令 是是一矩陣陣，若對對任意有有，則稱稱為模

9、糊糊矩陣17。本文文定義為為廣義模模糊偏好好關(guān)系。定義 226，7令令 是一一矩陣，若對任任意有，則稱稱為模糊糊互補(bǔ)偏偏好關(guān)系系(或稱稱為互補(bǔ)補(bǔ)模糊偏偏好關(guān)系系)。令是階廣廣義模糊糊偏好關(guān)關(guān)系集合合，是階模糊糊互補(bǔ)偏偏好關(guān)系系集合，由定義義知。為為了通過過廣義模模糊偏好好關(guān)系對對方案進(jìn)進(jìn)行排序序，從中中發(fā)展權(quán)權(quán)向量，一個直直觀的方方法是采采用模糊糊互補(bǔ)偏偏好關(guān)系系去貼近近廣義模模糊偏好好關(guān)系，然后借借助有關(guān)關(guān)模糊互互補(bǔ)偏好好關(guān)系的的排序方方法66-8，最終終獲取權(quán)權(quán)向量。本文采采用歐氏氏距離定定義兩矩矩陣和的貼近近程度，即：。那么這這種方法法可歸納納為尋找找一最貼貼近的模模糊互補(bǔ)補(bǔ)偏好關(guān)關(guān)系。

10、數(shù)數(shù)學(xué)模型型如下：設(shè)，。令 （11）其中，即即為最貼貼近模糊糊互補(bǔ)偏偏好關(guān)系系。通過過模糊互互補(bǔ)偏好好關(guān)系的的排序方方法66-8（本文文采用最最小方差差法，具具體見文文獻(xiàn)77）對進(jìn)行排排序，其其排序向向量可以以近似作作為的排排序向量量。定理 11 設(shè)，為最貼近近模糊互互補(bǔ)偏好好關(guān)系，那么。證明：（1）等等價如下下優(yōu)化問問題 （2）（2）等等價于（3） （33）令得 ，化簡簡得 （44）令，令為為采用最最小方差差法排序序公式7對對進(jìn)行排排序的權(quán)權(quán)向量，那么 （5）把（4）代入（5）得得 （66）把近似作作為的排排序權(quán)向向量，我我們稱該該排序方方法為廣廣義模糊糊偏好關(guān)關(guān)系互補(bǔ)補(bǔ)化排序序。2.2廣廣

11、義模糊糊偏好關(guān)關(guān)系的加加性一致致化排序序定義 33 令令是一模模糊互補(bǔ)補(bǔ)偏好關(guān)關(guān)系，若若對任意意有，則稱A是加性性一致模模糊互補(bǔ)補(bǔ)偏好關(guān)關(guān)系。令是階加加性一致致模糊互互補(bǔ)偏好好關(guān)系集集合，由由定義知知。在這這一節(jié)，我們考考慮通過過尋找一一個最貼貼近廣義義模糊偏偏好關(guān)系系的加性性一致模模糊互補(bǔ)補(bǔ)偏好關(guān)關(guān)系，從從而直接接獲取權(quán)權(quán)向量。數(shù)學(xué)模型型如下：設(shè)，令 （77）稱為的最最貼近加加性一致致模糊互互補(bǔ)偏好好關(guān)系。令，記記為對應(yīng)的的權(quán)向量量。因?yàn)闉槭悄：有砸灰恢缕煤藐P(guān)系，我們有有6-8 （88）由（8）代入（7）有有 （9） 稱稱為的排序序向量。定理 22設(shè)。為的最貼貼近模糊糊互補(bǔ)偏偏好關(guān)系系

12、，為采采用加性性一致化化排序方方法獲取取的權(quán)向向量。那那么，。證明：（9）等等價如下下優(yōu)化問問題 （110）構(gòu)造拉格格朗日函函數(shù)，令令，得 （111） （112）聯(lián)立（111）（12）得 （13）聯(lián)立（88）（113）得得 （144）3進(jìn)一步步討論3.1 兩種排排序方法法的相關(guān)關(guān)性質(zhì)一種廣義義模糊偏偏好關(guān)系系的排序序方法可可以看作作由到的一個個映射, 記為為。并稱是廣義模模糊偏好好關(guān)系的的排序向向量。下下面討論論兩種排排序方法法的一些些性質(zhì)。定理 33 當(dāng)當(dāng)是模糊互互補(bǔ)偏好好關(guān)系（即）時時，本文文兩種排排序方法法（公式式（6）和公式式（133）等等價于模模糊互補(bǔ)補(bǔ)偏好關(guān)關(guān)系排序序的最小小方差法

13、法。證明：因因?yàn)?，所所?，把這這兩式分分別代入入（6）和（113），都可得得，這即即為模糊糊互補(bǔ)偏偏好關(guān)系系的最小小方差法法排序公公式。得得證。定理3顯顯示本文文兩種排排序方法法是廣義義最小方方差排序序法。定義 44 一種種排序方方法稱為為強(qiáng)條件件下保序序的，如如果對任任意，有有和，則, 且當(dāng)前前者所有有等式成成立時, 有。定義4 推廣了了模糊互互補(bǔ)偏好好關(guān)系強(qiáng)強(qiáng)條件保保序的概概念。定定理4將將證明兩兩種排序序方法是是強(qiáng)條件件保序的的。定理 44 廣義義模糊偏偏好關(guān)系系互補(bǔ)化化排序方方法（公公式（66）和和加性一一致化排排序方法法（公式式（133）是是強(qiáng)條件件下保序序的。證明：對對任意，有和

14、，將其其代入（6）或或者（113），有, 且當(dāng)前前者所有有等式成成立時, 有。所以以得證。類似模糊糊互補(bǔ)偏偏好關(guān)系系，定義義廣義模模糊偏好好關(guān)系排排序方法法的置換換不變性性。定義 55 設(shè)是一種種排序方方法，是任一一個給定定的廣義義模糊偏偏好關(guān)系系，記的排排序權(quán)向向量為。如果對對于任一一置換不不變矩陣陣,均有，則稱這這種排序序方法是是置換不不變的。定理 55廣義模模糊偏好好關(guān)系互互補(bǔ)化排排序（公公式（66）和和加性一一致化排排序（公公式（113）是置換換不變的的。證明：設(shè)設(shè)，且設(shè)設(shè)是置換換不變矩矩陣，。令，分別是是A 和B 在公式（6）下下的排序序向量, 經(jīng)置置換后, 的第第行成了了的第行,的

15、第列成成了的第第列, 因此此類似若，分別是是和在公式（9）下下的排序序向量，則有所以兩種種排序方方法具有有置換不不變性。3.2群群決策與與一致性性偏好關(guān)系系一致性性測量一一般包括括兩個問問題33：（1）什什么時候候決策者者提供的的個體偏偏好關(guān)系系是一致致的；（2）什什么時候候，一群群人提供供的偏好好關(guān)系是是一致的的。對于于第（22）個問問題一般般討論兩兩個方面面：（aa）群體體偏好關(guān)關(guān)系的一一致性13, 188-199；（b）群群體決策策的共識識測量 200?；诒疚奈膬煞N排排序方法法，我們們給出廣廣義模糊糊偏好關(guān)關(guān)系的冗冗余一致致性指標(biāo)標(biāo)和加性性一致性性指標(biāo)（）（見見定義66）?；谶@些

16、些一致性性指標(biāo)，集中討討論一致致性測量量的第（2）個個問題的的第（aa）方面面（注：廣義模模糊偏好好關(guān)系一一致性測測量的其其它相關(guān)關(guān)問題我我們在今今后的研研究中討討論），即采用用算子和和算子對對廣義模模糊偏好好關(guān)系進(jìn)進(jìn)行群集集成后群群體偏好好關(guān)系的的一致性性問題。關(guān)于無無冗余判判斷的乘乘性偏好好關(guān)系和和模糊互互補(bǔ)偏好好關(guān)系的的群體一一致性問問題，文文獻(xiàn)113，118-119作作過一些些討論，本節(jié)研研究可以以認(rèn)為是是這些討討論的繼繼續(xù)。定義 66設(shè)。定義為的冗余一一致性指指標(biāo)。定定義為的加性一一致性指指標(biāo)。由互補(bǔ)化化排序方方法原理理（公式式（4）可知知 （115）由加性一一致化排排序方法法原理（

17、公式（14）可知知 （16）顯然越大大，則中中冗余判判斷越多多，當(dāng)，則認(rèn)認(rèn)為是冗余一一致的（即是模模糊互補(bǔ)補(bǔ)偏好關(guān)關(guān)系）。同樣越越大，則則加性一一致性越越差，當(dāng)，則認(rèn)認(rèn)為是加性一一致的（即是加加性一致致模糊互互補(bǔ)偏好好關(guān)系）?？梢砸苑謩e為為和設(shè)定臨臨界值和和。當(dāng)則認(rèn)認(rèn)為廣義義模糊偏偏好關(guān)系系是冗余一一致可接接受；當(dāng)當(dāng)可認(rèn)為為是加性一一致可接接受。當(dāng)當(dāng)和同時成成立，則則認(rèn)為是是一致可可接受，此時從從中發(fā)展展的權(quán)向向量才認(rèn)認(rèn)為是可可靠和有有效的。對臨界界值的設(shè)設(shè)定，AAHP的的一致性性檢驗(yàn)可可以給我我們啟示示： (1)類類似Saaatyy211在AAHP中中使用的的方法，通過使使用平均均隨機(jī)一一致

18、性指指標(biāo)對一一致性指指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化，然然后經(jīng)驗(yàn)驗(yàn)性的去去設(shè)定臨臨界值；(2) 也可可類似采采用P.Jonng 22 的統(tǒng)統(tǒng)計(jì)方法法，把臨臨界值設(shè)設(shè)定歸結(jié)結(jié)為卡方方檢驗(yàn)。限于本本文篇幅幅，作者者在今后后研究中中詳細(xì)討論論該問題題。用算子進(jìn)進(jìn)行群決決策設(shè)為決策策者給出出的個廣義模模糊偏好好關(guān)系。采用加加權(quán)算術(shù)術(shù)平均算算子（算算子）對對進(jìn)行集集成，得得到群體體模糊偏偏好關(guān)系系記為。其其中，為專家家的權(quán)重重且。定理 66設(shè)。（aa）若，那么；（b）若，那么么。證明：我我們僅證證明（aa）。（b）可可以完全全類似證證明，限限于篇幅幅省略。因?yàn)?，所?（17）（18）聯(lián)立（117）和和（188）得 （119

19、）從定理66可得：采用算算子進(jìn)行行集成，若個體體廣義模模糊偏好好關(guān)系的的一致性性水平（包括冗冗余一致致性和加加性一致致性）都都是可接接受的，那么群群體偏好好必然是是一致可可接受的的。（2）用用算子進(jìn)進(jìn)行群決決策采用有序序加權(quán)算算術(shù)平均均算子（算子）對進(jìn)行行集成，得到群群體廣義義模糊偏偏好關(guān)系系記為。其其中，且且為中第大的的元素。為 算子子相關(guān)聯(lián)聯(lián)的加權(quán)權(quán)向量，其中。定義 77 設(shè)是一組組廣義模模糊偏好好關(guān)系，定義為為其第次次序廣義義模糊偏偏好關(guān)系系。定理 77設(shè)。（aa）若，那么；（b）若，那么么。證明：由由定理66和定義義7可直直接得證證。從定理77可知：采用算算子進(jìn)行行集成，若次序序廣義模

20、模糊偏好好關(guān)系的的一致性性水平（包括冗冗余一致致性和加加性一致致性）都都是可接接受的，那么群群體偏好好必然是是一致可可接受的的。4 算例例為了敘述述方便，記，為采用用本文第第一種排排序方法法（公式式6）和和第二種種排序方方法（公公式133）從廣廣義模糊糊偏好關(guān)關(guān)系中獲獲取的權(quán)權(quán)向量。記, 為的冗余一一致性指指標(biāo)和加加性一致致性指標(biāo)標(biāo)的值?，F(xiàn)考慮慮有兩個個決策者者對四個個方案進(jìn)進(jìn)行評估估，分別別給出自自己的廣廣義模糊糊偏好關(guān)關(guān)系。按照本文文方法計(jì)計(jì)算出，的值，具體如如下。,，, , , 如按算子子對進(jìn)行行集成，加權(quán)向向量設(shè)為為，得到到群體偏偏好關(guān)系系為。并并計(jì)算出出，?？梢砸钥闯?，這與與定理66

21、相符合合。，如按算子子對進(jìn)行行集成，加權(quán)向向量不妨妨設(shè)為，得到群群體偏好好關(guān)系為為。為的次序序廣義模模糊偏好好關(guān)系。并計(jì)算算出，的值?？梢钥纯闯觯@與與定理77相符合合。，5 結(jié)論論本文主要要做了如如下工作作：（11）提出出了廣義義模糊偏偏好關(guān)系系的概念念，并設(shè)設(shè)計(jì)了互互補(bǔ)化排排序和加加性一致致化排序序兩種排排序方法法；（22）討論論了兩種種排序方方法的一一些相關(guān)關(guān)性質(zhì)；（3）給出了了冗余一一致性指指標(biāo)和加加性一致致性指標(biāo)標(biāo)的公式式，并討討論了采采用加權(quán)權(quán)算術(shù)平平均算子子（算子子）和有有序加權(quán)權(quán)平均算算子（算算子）對對廣義模模糊偏好好關(guān)系進(jìn)進(jìn)行集結(jié)結(jié)，其群群體偏好好一致性性（包括括冗余一一致性

22、和和加性一一致性）的一些些性質(zhì)。本文結(jié)結(jié)果對完完善基于于模糊偏偏好關(guān)系系的群決決策模型型具有理理論和現(xiàn)現(xiàn)實(shí)意義義。在今今后的研研究中，我們將將進(jìn)一步步探討這這些問題題。參考文獻(xiàn)獻(xiàn)1 Orllorsski S AA. DDeciisioon-mmakiing witth aa fuuzzyy prrefeerennce rellatiion J. FFuzzzy SSetss annd SSysttemss, 33(19978) 1555-1167.2 Tanninoo T. Fuuzzyy prrefeerennce ordderiingss inn grroupp deecissionn m

23、aakinng J, Fuzzzy Setts aand Sysstemms 112 (19884) 1177-1331.3 Herrrerra-VVieddma E, Herrrerra FF, CChicclanna FF ett all. SSomee isssuees oon cconssisttenccy ooffuuzzyy prrefeerennce rellatiionss JJ. Eurropeean Jouurnaal oof OOperratiionaal RReseearcch 1154 (20004):988-1009.4樊樊治平,姜艷萍萍,肖四漢漢.模糊糊判斷矩矩陣

24、的一一致性及及其性質(zhì)質(zhì)J.控制制與決策策.20001, 166(1):699:711.5 Ma Jiaan, Fann Zhhi-PPingg, JJianng YYan-Pinng eet aal. A mmethhod forr reepaiirinng tthe incconssisttenccy oof ffuzzzy ppreffereencee reelattionns J. Fuzzzy Setts aand Sysstemms 1157 (20006):200-333.6 樊治平平,姜艷萍萍.模糊糊判斷矩矩陣排序序方法研研究的綜綜述JJ.系系統(tǒng)工程程.20001, 199(5)

25、:122-188.7 徐澤水水.模糊糊互補(bǔ)判判斷矩陣陣排序的的最小方方差法J.系統(tǒng)工工程理論論與實(shí)踐踐.20001, 211(100):993-996:1130.8 徐澤水水.不確確定多屬屬性決策策方法及及應(yīng)用M.清華大大學(xué)出版版社.220044.9 徐澤水水.基于于殘缺互互補(bǔ)判斷斷矩陣的的交互式式群決策策方法J.控制與與決策.20005, 20(8):9133-9116.10 Kooczkkodaaj WW W, Orrlowwskii M. Ann orrthoogonnal bassis forr coompuutinng aa coonsiisteent appproxximaatio

26、on tto aa paairwwisee coompaarissonss maatriix J, Compputeers andd Mathhemaaticcs wwithh Appllicaatioons. 344(19997):411-477. 11 Kooczkkodaaj WW W, Orrlowwskii M. Coompuutinng aa coonsiisteencyy appprooximmatiion to genneraalizzed paiirwiise commparrisoons mattrixx JJ, Compputeers andd Mathhemaaticc

27、s wwithh Appllicaatioons. 377(19999):799-855. 12 Yaagerr RRR. OOn oordeeredd weeighhtedd avveraaginng aaggrregaatioon ooperratoors in mullticcritteriia ddeciisioon mmakiing J.IEEEE TTrannsacctioons on Sysstemms, Mann annd CCybeerneeticcs. 188(19988):18831190.13 Chhicllanaa F, Heerreeraaa F, Heerreer

28、a-Vieedmaaa EE. AA noote on thee reecipproccityy inn thhe aaggrregaatioon oof ffuzzzy ppreffereencee reelattionns uusinng OOWA opeerattorss JJ. Fuzzzy Setts aand Sysstemms. 1337 (20003):7183.14Chiiclaana F, Herrrerra FF, HHerrreraa-Viiedmma EE. IInteegraatinng tthreee rreprreseentaatioon mmodeels in

29、 fuzzzy mulltippurpposee deecissionnmakkingg baasedd onn fuuzzyy prrefeerennce rellatiionss JJ. Fuzzzy Setts aand Sysstemms. 97 (19998):333-488.15 Chhicllanaa F, Herrrerra FF, HHerrreraa-Viiedmma EE. IInteegraatinng mmulttipllicaativve ppreffereencee reelattionns iin aa muultiipurrpossedeecissionn-m

30、aakinng mmodeel bbaseed oon ffuzzzy ppreffereencee reelattionns J. FuuzzyySetts aand Sysstemms. 1222 (20001): 2777-2291.16 Chhicllanaa F, Herrrerra FF, HHerrreraa-Viiedmma EE. AA noote on thee innterrnall coonsiisteencyy offvarriouusprrefeerennce reppressenttatiionss JJ. Fuzzzy Setts aand Sysstemms. 1331 (20002