數(shù)字圖像處理第3章-1zy課件

1、 3.1 圖像的幾何變換 3.2 圖像的離散傅立葉變換 3.3 圖像變換的一般表示形式 3.4 圖像的離散余弦變換 3.5 圖像的小波變換第3章 圖像變換 圖像和其它信號一樣，既能在空間域（簡稱空域）處理，也能在頻率域（簡稱頻域）處理。把圖像信息從空域變換到頻域，可以更好地分析、加工和處理。圖像信息的頻域處理具有如下特點(diǎn) : (1) 能量守恒，但能量重新分配； (2) 有利于提取圖像的某些特征； (3) 正交變換具有能量集中作用，可實(shí)現(xiàn)圖像的高效壓縮編碼； (4) 頻域有快速算法，可大大減少運(yùn)算量，提高處理效率。 本章除介紹圖像的幾何變換外，主要介紹離散傅立葉變換、離散余弦變換、小波變換等 。

2、 概 述圖像的幾何變換包括: 圖像的空間平移、比例縮放、旋轉(zhuǎn)、仿射變換和圖像插值。圖像幾何變換的實(shí)質(zhì): 改變像素的空間位置，估算新空間位置上的像素值。3.1 圖像的幾何變換圖像幾何變換的一般表達(dá)式 : 其中， 為變換后圖像像素的笛卡爾坐標(biāo)， 為原始圖像中像素的笛卡爾坐標(biāo)。這樣就得到了原始圖像與變換后圖像的像素的對應(yīng)關(guān)系。 如果 ， ，則有 ， 即變換后圖像僅僅是原圖像的簡單拷貝。3.1 圖像的幾何變換平移變換 : 若圖像像素點(diǎn) 平移到 ，則變換函數(shù)為 ，寫成矩陣表達(dá)式為： 其中， 和 分別為 和 的坐標(biāo)平移量。 3.1 圖像的幾何變換3.1 圖像的幾何變換比例縮放 :若圖像坐標(biāo) 縮放到（ )倍

3、，則變換函數(shù)為： 其中, 分別為 和 坐標(biāo)的縮放因子，其大于1表示放大，小于1表示縮小。3.1 圖像的幾何變換旋轉(zhuǎn)變換 : 將輸入圖像繞笛卡爾坐標(biāo)系的原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) 角度，則變換后圖像坐標(biāo)為：圖像旋轉(zhuǎn)變換的示例 :(a) 原始圖像 (b) 逆時針旋轉(zhuǎn)30度后的圖像3.1 圖像的幾何變換仿射變換 :仿射變換的一般表達(dá)式為: 平移、比例縮放和旋轉(zhuǎn)變換都是一種稱為仿射變換的特殊情況。仿射變換具有如下性質(zhì)：（1）仿射變換有6個自由度（對應(yīng)變換中的6個系數(shù)），因此，仿射變換后 互相平行直線仍然為平行直線，三角形映射后仍是三角形。但卻不能保 證將四邊形以上的多邊形映射為等邊數(shù)的多邊形。（2）仿射變換的乘積

4、和逆變換仍是仿射變換。（3）仿射變換能夠?qū)崿F(xiàn)平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等幾何變換。3.1 圖像的幾何變換上式可以表示成如下的線性表達(dá)式 : 設(shè)定加權(quán)因子 和 的值，可以得到不同的變換。例如，當(dāng)選定 ， ， ，該情況是圖像剪切的一種列剪切。 （a）原始圖像 （b）仿射變換后圖像 3.1 圖像的幾何變換透視變換 : 把物體的三維圖像表示轉(zhuǎn)變?yōu)槎S表示的過程，稱為透視變換，也稱為投影映射，其表達(dá)式為: 透視變換也是一種平面映射 ，并且可以保證任意方向上的直線經(jīng)過透視變換后仍然保持是直線。 透視變換具有9個自由度（其變換系數(shù)為9個），故可以實(shí)現(xiàn)平面四邊形到四邊形的映射。3.1 圖像的幾何變換灰度插值 :(1)

5、最近鄰插值法：也稱作零階插值，就是令變換后像素的灰度值等于距它最近的輸入像素的灰度值。 最近鄰插值是最簡單的插值，在這種算法中，每一個插值輸出像素的值就是在輸入圖像中與其最臨近的采樣點(diǎn)的值。這種插值方法的運(yùn)算量非常小。但當(dāng)圖像中的像素灰度級有細(xì)微變化時，該方法會在圖像中產(chǎn)生人工的痕跡。(2)雙線性插值: 也稱作一階插值,該方法通常是沿圖像矩陣的每一列（行）進(jìn)行插值，然后對插值后所得到的矩陣再沿著行（列）方向進(jìn)行線性插值。雙線性插值的輸出像素值是它在輸入圖像中22鄰域采樣點(diǎn)的平均值，它根據(jù)某像素周圍4個像素的灰度值在水平和垂直兩個方向上對其進(jìn)行插值。雙線性灰度插值的平滑作用可能使得圖像的細(xì)節(jié)產(chǎn)生

6、退化，這種現(xiàn)象在進(jìn)行圖像放大時尤其明顯。3.1 圖像的幾何變換灰度插值 :(3)雙立方插值:使用三次插值函數(shù)，選擇44的鄰域采樣點(diǎn)，取得的效果比較好，但相應(yīng)的計算量較大。 MATLAB圖像處理工具箱提供了三種插值方法： 最近鄰插值（Nearest neighbor interpolation） 雙線性插值（Bilinear interpolation） 雙立方插值（Bicubic interpolation）利用imresize函數(shù)通過一種特定的插值方法可實(shí)現(xiàn)圖像大小的調(diào)整。該函數(shù)的語法如下： B=imresize(A,m,method) B=imresize(A,mrows ncols,me

7、thod) B=imresize(,method,n) B=imresize(,method,h) 這里參數(shù)method用于指定插值的方法，可選的值為nearest 、bilinear、 bicubic 。缺省時為bicubic。 下面是使用不同的插值方法對圖像進(jìn)行放大的程序清單： load woman2 imshow(X,map); X1=imresize(X,4,nearest); figure,imshow(X1,); X2=imresize(X,4,bilinear); figure,imshow(X2,); X3=imresize(X,4,bicubic); figure,imsho

8、w(X3,);3.2 圖像的離散傅立葉變換一維離散傅立葉變換（1D-DFT） :1D-DFT的定義 ：對于有限長序列 ,其DFT定義為： ， 1D-DFT的矩陣表示 ：3.2 圖像的離散傅立葉變換其中： ， ，其中的 稱為變換矩陣。同理可得到反變換的矩陣表示：3.2 圖像的離散傅立葉變換二維離散傅立葉變換（2D-DFT）1、 2D-DFT的定義: 其中， 都是整數(shù)， 它們的取值范圍: 2、幾個相關(guān)參數(shù): 傅立葉變換表示為復(fù)數(shù)形式: 上式也可表示成指數(shù)形式： 通常稱 為 的頻譜或幅度譜， 為相位。 ， 頻譜的平方稱為功率譜，即:3.2 圖像的離散傅立葉變換3、 2D-DFT的性質(zhì) :（1）變換核

9、的可分離性 ： 在離散傅立葉變換中， 稱為變換核，將 代入2D-DFT定義式的正變換中，得 該性質(zhì)說明2D-DFT可通過兩次1D-DFT完成，即按如下兩種方法來實(shí)現(xiàn)2D-DFT ：或3.2 圖像的離散傅立葉變換（2）移位特性：若 ，則：a.空間移位:b.頻域移位:c.移位時幅度不變: ，d.頻譜中心化:令 ，則即使 的頻譜從原點(diǎn) 移到中心 。 （a）原圖像 （b）|F(u, v)|的示意圖 （c）|F(u-N/2, v-N/2)|的示意圖3.2 圖像的離散傅立葉變換（3）周期性和共軛對稱性：a.周期性 : 其中 和 為整數(shù) 。b.共軛對稱性: 圖像 為實(shí)函數(shù)，則 具有共軛對稱性，即:（4）旋轉(zhuǎn)

10、不變性:若用極坐標(biāo) ,則 以及其傅立葉變換 就可以轉(zhuǎn)化為 和 ， 這樣 ， 則 3.2 圖像的離散傅立葉變換 從上式可見，空域中函數(shù) 旋轉(zhuǎn) 角度，它的傅立葉變換 也旋轉(zhuǎn)同樣大小的角度，反之亦然。 （a）原始圖像 （b）頻譜 （c）圖像旋轉(zhuǎn)45o （d）圖c的頻譜（5）實(shí)偶函數(shù)的DFT: 若 , 則，僅有余弦項(xiàng)的實(shí)部。3.2 圖像的離散傅立葉變換 （6）實(shí)奇函數(shù)的DFT: 若 , 則 ，僅有正弦項(xiàng)的虛部。（7）線性性: 若 和 是常數(shù)，傅立葉的正反變換都是線性變換，即（8）比例性（尺度變換）:若 和 是標(biāo)量， ，則 3.2 圖像的離散傅立葉變換（9）平均值: 數(shù)字圖像的平均值可以定義為: 將 代

11、入 公式，有: 故 。 （10）卷積定理: 3.2 圖像的離散傅立葉變換其中： 3.2 圖像的離散傅立葉變換 2D-DFT的計算 根據(jù)傅立葉變換核的可分離性，2D-DFT可用兩步1D-DFT來實(shí)現(xiàn)，而1D-DFT有快速算法FFT，這也就說明2D-DFT就可用FFT來完成，即 5. 二維傅立葉變換的MATLAB實(shí)現(xiàn) 下面，舉例來說明傅立葉變換的實(shí)現(xiàn)語句Bfft2(A)，該語句執(zhí)行對矩陣A的二維傅立葉變換。給出一幅圖像（saturn2.tif），其傅立葉變換程序如下： figure(1); load imdemos saturn2; %裝入原始圖像 imshow(saturn2); %顯示圖像 f

12、igure(2); B=fftshift(fft2(saturn2); %進(jìn)行傅立葉變換 imshow(log(abs(B),); %顯示變換后的系數(shù)分布 colormap(jet(64); colorbar; 傅立葉變換能夠用來分析兩幅圖像的相關(guān)性，相關(guān)性可以用來確定一幅圖像的特征，在這個意義下，相關(guān)性通常被稱為模板匹配。例如，假如我們希望在圖像text.tif中定位字母“a”，可以采用下面的方法定位。 將包含字母“a”的圖像與text.tif圖像進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，也就是首先將字母a和圖像text.tif進(jìn)行傅立葉變換，然后利用快速卷積的方法，計算字母a和圖像text.tif的卷積，提取卷積運(yùn)算

13、的峰值，如圖所示的白色亮點(diǎn)，即得到在圖像text.tif中對字母“a”定位的結(jié)果。6. 快速傅立葉變換的應(yīng)用圖像特征識別 I=imread(text.tif); %讀入圖像text.tif I=im2double(I); a=I(77:89,111:122); %從圖像中抽取字母a的圖像 imshow(I); figure,imshow(a); C=real(ifft2(fft2(I).*fft2(rot90(a,2),314,330); figure,imshow(C,); thresh=58; %選擇閾值 figure,imshow(Cthresh);%顯示像素值超過閾值的像素3.3 圖像

14、變換的一般表示形式 前面介紹的2D-DFT只是可用于圖像變換的一種可分離的、正交變換，根據(jù)它的計算方法及特性，我們總結(jié)出圖像變換的一般表達(dá)形式。 1. 圖像變換的一般表達(dá)式 其中 和 分別稱為正、反變換核。 2. 正交變換 將圖像變換公式中的正變換寫成矩陣表達(dá)式，為其中的 稱為變換矩陣 。3.3 圖像變換的一般表示形式正交變換矩陣及其主要性質(zhì) a.定義:定義1若 階實(shí)數(shù)矩陣 滿足 ,則 稱為正交矩陣；定義2若 階復(fù)數(shù)矩陣 滿足 ,則 稱為酉矩陣。 其中， 表示 的轉(zhuǎn)置， 表示 的共軛， 表示單位矩陣。b.幾個性質(zhì):性質(zhì)1 若 為正交矩陣，則 若 為酉矩陣，則性質(zhì)2（正交歸一）若 為正交（或酉）

15、矩陣，則在 中各行（或列）向量的模為1，任意不同行（或不同列）向量之間正交。3.3 圖像變換的一般表示形式性質(zhì)3 若 是正交（或酉）矩陣，則其行列式的模 。性質(zhì)4 若 是正交（或酉）矩陣，則 和 也是正交（或酉）矩陣。性質(zhì)5 若 和 是正交（或酉）矩陣，則 也是正交（或酉）矩陣。(2) 正交變換: 變換矩陣是正交（或酉）矩陣的變換稱為正交變換。如前面介紹的2D-DFT就是正交變換。(3) 二維正交變換下的能量守恒: 即3.3 圖像變換的一般表示形式可分離變換（1） 可分離變換核: 若 ，則稱正變換核是可分離的。 若 ，則稱反變換核是可分離的。（2） 可分離變換: 變換核可分離的變換稱為可分離變

16、換。二維可分離變換可由兩步一維變換來完成，即 或3.3 圖像變換的一般表示形式可分離正交變換其中 是數(shù)字圖像矩陣， 是經(jīng)正變換后得到的變換域的結(jié)果： 和 是正變換核 分離后所得的變換矩陣：如果 和 都有逆矩陣存在，則可得到反變換為:3.3 圖像變換的一般表示形式 變換核可分離的正交變換，稱為可分離正交變換。分離后的變換矩陣 和 都是正交矩陣（或酉矩陣）。 根據(jù)正交變換矩陣的性質(zhì),得到可分離正交變換的反變換為: , 和 為酉矩陣。 或 ， 和 為正交矩陣。 因此，可分離正交變換的矩陣表示式為上節(jié)介紹的2D-DFT就是可分離的正交變換，其變換核也是對稱的。3.4 圖像的離散余弦變換 在傅立葉級數(shù)展

17、開式中，如果函數(shù)對稱于原點(diǎn)，則其級數(shù)中將只有余弦函數(shù)項(xiàng)。從這一現(xiàn)象受到啟示，人們提出了另一種圖像變換方法離散余弦變換（DCT）。由于離散余弦變換具有把圖像的重要可視信息都集中在變換的一小部分系數(shù)中，所以DCT變換在圖像的壓縮中非常有用，是JPEG ( Joint Photographic Expert Group)算法的基礎(chǔ)。3.4 圖像的離散余弦變換 二維離散余弦變換（2D-DCT）公式將構(gòu)造的偶函數(shù)代入2D-DFT公式，進(jìn)行整理后就得到2D-DCT公式：2D-DCT的反變換定義為：式中： ， 2D-DCT的矩陣表示二維變換核函數(shù)a(m,n;u,v)：則二維DCT變換公式可表示為：物理意義二

18、維變換核函數(shù)a(m，n；u，v)按m，n，u，v分別展開后得到的是NN個NN點(diǎn)的像塊組，又稱為基圖像。一個88的DCT基圖像示意如圖所示。圖 88的DCT基圖像示意圖 源圖像88樣本數(shù)據(jù)塊實(shí)質(zhì)上是64點(diǎn)離散信號（空間范圍m和n的函數(shù)）, FDCT將其變換成64個正交基信號, FDCT的輸出是64個DCT系數(shù)（即基信號振幅）。 在u、v兩個方向頻率都為零的系數(shù)F(0,0)對應(yīng)于圖像f(m,n)的平均亮度，叫直流系數(shù)（DC）, 其余63個系數(shù)是交流系數(shù)（AC）。 由于圖像幀上點(diǎn)與點(diǎn)之間的樣本值變化比較緩慢, 大多數(shù)信號集中在低頻區(qū)，即圖中的左上角區(qū)域。 一個NN的像素塊的二維DCT變換的物理意義是

19、將空間像素的幾何分布變換為空間頻率分布。變換系數(shù)F(u,v)的空間頻率分布特點(diǎn)： 變換系數(shù)矩陣中左上角F（0，0）處為直流系數(shù)（DC），其余為交流系數(shù)（AC）。 水平方向，從左向右表示水平空間頻率增加的方向； 垂直方向，從上向下表示垂直空間頻率增加的方向。變換系數(shù)的能量分布特點(diǎn)： 絕大部分的能量集中在直流分量和少數(shù)的低頻分量上(即左上角低頻區(qū))，大致可認(rèn)為，以左上角為圓心，在相同半徑的圓弧上的系數(shù)其能量基本相等，離圓心越遠(yuǎn)，能量越小。高頻區(qū)大部分DCT變換系數(shù)很小或近似為零。 離散余弦變換的MATLAB實(shí)現(xiàn) 下面舉例來說明二維余弦正反變換在MATLAB中的實(shí)現(xiàn)。 RGB=imread(autumn.tif); %裝入圖像 figure(1),imshow(RGB); I=rgb2gray(RGB); %將真彩圖像轉(zhuǎn)化為灰度圖像 figure(2),imshow(I); %畫出圖像 J=dct2(I); %進(jìn)行余弦變換 figure(3),imshow(log(abs(J),); colormap(jet(64),Colorbar; J(abs(J)10)=0; %將DCT變換值小于10的元素設(shè)為0 K=idct2(J)/255; %進(jìn)行余弦反變換 figure(4),imshow(K); 離散余弦變換的應(yīng)用 在JPEG圖像壓縮算法中，